Неопределенный интеграл. Методы интегрирования

1. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования.

2. Определение: Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на промежутке Х, если

Определение:
x X
F ( x) f ( x)
Теорема: Если функция f(х) непрерывна при x X ,то для f(х)
существует первообразная F(х) на Х.
Замечание 1: Условие непрерывности не является необходимым для
существования первообразной. Пример разрывной функции, имеющей
первообразную:
Пусть
х 0,
0,
f ( x)
1
1
2 х sin x cos x , х 0.
х 0,
0,
F ( х) 2
1
х
sin
, х 0.
x

3.

Найдите первообразную функции
f ( x) x 1 2 x 1 на R.
Решение. Данная функция может быть записана в виде:
2 x 2 3 x 1, если x 1,
f x
2 x 2 3 x 1, если x 1.
3
2
F1 ( x) x 3 x 2 x C1 , если x 1;
2
3
2 3 3 2
x x x C2 , если x 1.
F2 ( x)
2
3
Найдем соотношение между С1 и С2 , при котором F1 (1) F2 (1) :
1
С1 С2 .
3
1
2 3 3 2
3 x 2 x x 3 C , если x 1,
F ( x)
2 x3 3 x 2 x C,
если x 1.
3
2

4. Основные свойства неопределенного интеграла.

1.
f ( x)dx f ( x).
2. f x dx f ( x) C.
3. kf ( x) dx k f ( x) dx.
4. f1 x f 2 ( x) dx f1 ( x) dx f 2 ( x) dx.
5. f kx b dx
1
F kx b C.
k
6. f x d g x f x g x g x d f x .

5.

6.

Табличный.
Сведение к табличному преобразованием
подынтегрального выражения в сумму или
разность.
Интегрирование с помощью замены
переменной (подстановкой).
Интегрирование по частям.

7. Нахождение интеграла методом преобразования подынтегральной функции в сумму или разность.

1
1
1
1. sin 3x cos x sin 4 x sin 2 x dx cos 4 x cos 2 x C.
2
8
4
dx
cos 2 5 x sin 2 5 x dx
1
1
2. 2
2
dx
2
2
2
2
sin 5 x cos 5 x
sin 5 x cos 5 x
sin 5 x cos 5 x
1
1
ctg 5 x tg 5 x C.
5
5
x 4 3x 2 1
1
1 3
2
3.
dx x 2 2 dx x 2 x arctg x C.
2
x 1
x 1
3

8. Интегрирование методом замены переменной.

1
2
3
2
1
1 t
1 2
1. x 3 x 1 dx t dt C 3 x 1 3 x 2 1 C.
6
6 3
9
2
1
2
2
Пусть 3x 1 t , тогда 6 x dx dt , т. е. x dx dt .
6
sin 2 x dx
1 7
1 t 6
1
2.
t dt
C
C.
7
6
cos 2 x
2
2 6
12 cos 2 x
1
Пусть cos 2 x t , тогда dt 2 sin 2 x dx, т. е. sin 2 x dx dt .
2

9. Интегрирование выражений, содержащих радикалы, методом подстановки.

t 2 1
1 4 2
1 5 1 3
1. x 2 x 1 dx
t t dt t t dt t t C
2
2
10
6
1
1
2
2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 C.
10
6
Пусть
t 2 1
2 x 1 t , тогда x
, dx t dt .
2

10.

2
x dx
2. 3
2 x
2 t 3t dt 3 4t 4t
t
3 2
2
4
t 7 dt
12 5 3 8
6t
t t C
5
8
12
3
2
3
2 x 2 x 2 x 2 3 2 x 2 C.
5
8
2
63 2 x
2
Пусть
3
2 x t , тогда x 2 t 3 ,
т. е. dx 3t 2 dt
.

11. Интегрирование по частям.

1. x cos x dx x d sin x x sin x sin x dx x sin x cos x C.
1 2
1 2
3. x sin 2 x dx x d cos 2 x x cos 2 x cos 2 x dx 2
2
2
1 2
1 2
1
x cos 2 x x cos 2 x dx x cos 2 x x d sin 2 x
2
2
2
1 2
1
x cos 2 x x sin 2 x sin 2 x dx
2
2
1 2
1
1
x cos 2 x x sin 2 x cos 2 x C.
2
2
4
2

12. Избранные задачи интегрального исчисления (найдите неопределенный интеграл, используя указанный способ)

13.

14.

15.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: