Неопределенный интеграл

1. Неопределенный интеграл

Лекция7

2. Элементы интегрального исчисления

1.Первообразная и неопределенный
интеграл
2.Основные приемы вычисления
неопределенных интегралов
3.Интегрирование функций, содержащих
квадратный трехчлен
4.Интегрирование дробно-рациональных
функций
5.Интегрирование тригонометрических
функций
6.Интегрирование некоторых
иррациональностей

3. Неопределенный интеграл, его свойства и вычисление

4. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Функция F x называется
первообразной функции f x , определенной на
некотором промежутке, если F x f x для
каждого x из этого промежутка.
Например, функция cos x является
первообразной функции sin x , так как
cos x sin x .

5. Первообразная и неопределенный интеграл

Очевидно, если F x - первообразная
функции f x , то F x C , где C некоторая постоянная, также является
первообразной функции f x .
Если F x есть какая-либо первообразная
функции f x , то всякая функция вида
Ф x F x C также является
первообразной функции f x и всякая
первообразная представима в таком виде.

6. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Совокупность всех
первообразных функции f x ,
определенных на некотором
промежутке, называется
неопределенным интегралом от
функции f x на этом промежутке и
обозначается f x dx .

7. Первообразная и неопределенный интеграл

Если F x - некоторая первообразная функции
f x , то пишут f x dx F x C , хотя
правильнее бы писать f x dx F x C .
Мы по устоявшейся традиции будем писать
f x dx F x C .
Тем самым один и тот же символ
f x dx будет обозначать как всю
совокупность первообразных функции f x ,
так и любой элемент этого множества.

8. Свойства интеграла, вытекающие из определения

Производная неопределенного
интеграла равна подынтегральной
функции, а его дифференциалподынтегральному выражению.
Действительно:
1.( f ( x)dx) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x);
2.d f ( x)dx ( f ( x)dx) dx f ( x)dx.

9. Свойства интеграла, вытекающие из определения

Неопределенный интеграл от
дифференциала непрерывно
дифференцируемой функции равен
самой этой функции с точностью до
постоянной:
3. d ( x) ( x)dx ( x) C ,
так как (x )
является первообразной
для (x).

10. Свойства интеграла

Сформулируем далее следующие свойства
неопределенного интеграла:
4.Если функции f1 x и f 2 x имеют
первообразные, то функция f1 x f 2 x
также имеет первообразную, причем
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

11. Таблица неопределенных интегралов

1. dx x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

12. Таблица неопределенных интегралов

11.
dx
arcsin x C .
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
a x
13.
a x
2
arcsin
2
x
C ..
a
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
19.
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x C .
20.
14.
15.
dx
dx
16.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x

13. Свойства дифференциалов

При интегрировании удобно
пользоваться свойствами:
1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3. xdx dx ,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

14. Примеры

Пример . Вычислить cos 5xdx .
Решение. В таблице интегралов найдем
cos xdx sin x C .
Преобразуем данный интеграл к табличному,
воспользовавшись тем, что d ax adx .
Тогда:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

15. Примеры

Пример. Вычислить x 3x x 1 dx .
Решение. Так как под знаком интеграла
находится сумма четырех слагаемых, то
раскладываем интеграл на сумму четырех
интегралов:
2
3
2 3x3 x 1 dx x 2 dx 3 x3dx xdx dx .
x
x4 x2
x3
x C
3
2
4
3

16. Независимость от вида переменной

При вычислении интегралов удобно
пользоваться следующими свойствами
интегралов:
Если f x dx F x C , то
f x b dx F x b C .
Если f x dx F x C , то
1
f
ax
b
dx
F ax b C .
a

17. Пример

Вычислим
1
6
(2 3x) dx 3 6 (2 3x) C.
5

18. Методы интегрирования

19. Интегрирование по частям

Этот метод основан на формуле udv uv vdu .
Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:
а) x n sin xdx , где n 1,2...k ;
б) x n e x dx , где n 1,2...k ;
в) x n arctgxdx , где n 0, 1, 2,... k . ;
г) x n ln xdx , где n 0, 1, 2,... k .
При вычислении интегралов а) и б) вводят
n 1
обозначения: x n u , тогда du nx dx , а, например
sin xdx dv ,тогда v cos x .
При вычислении интегралов в), г) обозначают за u функцию
arctgx , ln x , а за dv берут x n dx .

20. Примеры

Пример. Вычислить x cos xdx .
Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

21. Примеры

Пример. Вычислить
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x 2 dx
x2
ln x
=
2 x
2
1 x2
x2
1
x2
C .
ln x
ln x xdx
=
2 2
2
2
2

22. Метод замены переменной

Пусть требуется найти f x dx , причем
непосредственно подобрать первообразную
для f x мы не можем, но нам известно, что
она существует. Часто удается найти
первообразную, введя новую переменную,
по формуле
f x dx f t t dt , где x t , а t - новая
переменная

23. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интеграл
ax b
dx ,
x px q
содержащий квадратный трехчлен в
знаменателе подынтегрального
выражения. Такой интеграл берут также
методом подстановки, предварительно
выделив в знаменателе полный
квадрат.
2

24. Пример

Вычислить
dx
.
x 4x 5
Решение. Преобразуем x 2 4 x 5 ,
2
выделяя полный квадрат по формуле a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тогда получаем :
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

25. Пример

Найти
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln( x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt