Неопределенный интеграл

1. Тема: НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Неопределенный интеграл и его
свойства.
https://function-x.ru/integral1.html

2. 1.1. Первообразная функция

y F ( x)
ОПР. Функция
называется
первообразной для функции y f ( x ) на
данном промежутке (a;b), если для любого
x
из этого промежутка
F '( x ) f ( x ) или dF ( x ) f ( x )dx .
Пример. Первообразной для функции
f ( x) x
2
на всей числовой оси является F ( x ) 1 x 3 C
3
C const так как 1 3
2
3 x C x .

3.

Теорема 1.1. Если функция f(x) непрерывна
на данном интервале, то на этом интервале
она имеет первообразную.
Теорема 1.2. Если функция F(x) является
первообразной функции f(x) на (a;b), то
множество всех первообразных для f(x)
задается формулой F(x)+C, где C −
постоянная.

4. 1.2. Неопределенный интеграл

ОПР. Совокупность всех первообразных
F ( x ) C для данной функции f ( x )
называется ее неопределенным интегралом
и обозначается
f ( x)dx F ( x) C ,
где
C
– произвольная постоянная.

5.

Знак
называется интегралом, функция
f (x) – подынтегральной функцией,
f ( x)dx – подынтегральным выражением,
x
– переменной интегрирования.
Операция нахождения неопределенного
интеграла для данной функции называется
интегрированием этой функции.
Интегрирование – операция, обратная
операции дифференцирования.

6. Основные свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного
интеграла
равен
подынтегральному
выражению:
d f ( x )dx f ( x )dx

7.

2.
Производная
интеграла
равна
функции:
неопределенного
подынтегральной
f ( x)dx f ( x).
Таким образом,
правильность интегрирования проверяется
дифференцированием!

8.

3.
Неопределенный
интеграл
от
дифференциала некоторой функции равен
сумме этой функции и произвольной
постоянной:
dF
(
x
)
F
(
x
)
C
.

9.

4. Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла:
af
(
x
)
dx
a
f
(
x
)
dx
.

10.

5.
Неопределенный
интеграл
от
алгебраической суммы конечного числа
непрерывных
функций
равен
алгебраической сумме интегралов от
слагаемых функций:
f ( x) g( x) dx f ( x)dx g( x)dx.

11.

6. Если f ( x ) dx F ( x ) C , то
f (u) du F (u) C ,
где u ( x )
− произвольная функция,
имеющая непрерывную производную.
Данное
свойство
называется
инвариантностью
неопределенного
интеграла.

12.

При вычислении неопределенного интеграла
используют формулу:
1
f (ax b)dx a F (ax b) C , a 0.

13. Таблица простейших интегралов

1. 0 du C;
3. u du
1
u
1
2. 1 du u C;
C , 1;
1
1
4. 2 du C;
u
u
1
6. du ln u C;
u
1
5.
du 2 u C ;
u
u
a
u
7. a du
C;
ln a
9. sin udu cos u C;
10. cos udu sin u C;
1
11.
du tgu C ;
2
cos u
1
12. 2 du ctgu C;
sin u
8. e udu e u C;

14.

1
1
u
13. 2
du arctg C ;
2
u a
a
a
14.
1
u
du arcsin C ;
2
2
a
a u
du
1
u a
15. 2
ln
C;
2
u a
2a u a
16.
du
u2 a 2
ln u u a C .
2
2

15.

Вычисление интегралов с помощью
преобразования
подынтегрального
выражения к табличной форме и
использования свойств неопределенного
интеграла называется непосредственным
интегрированием.
Вспомогательные сведения
1. a a a
m
n
m n
1
; 3. n a n ;
a
m
2.
a
m n
a ;
n
a
4.
n
a a
m
m
n
.

16. Пример 1. Используя таблицу и свойства интегралов, найти интегралы.

5 1
dx
x
5
1. 5 x dx (ô î ðì óëà (3))=
C
x
5 1
1
4 C.
4x
x
x
2. (2 x 7 )dx 2 xdx 7 dx
2
x
x
x
7
7
2
(ô î ðì óëû (3), (7))= 2
C x
C.
2 ln 7
ln 7

17.

3.
2
x
dx (ô î ðì óëà (3))=
x dx
5
5
1
2
5
7
x
x 2
=
C
C.
5 1
7
2
2
dx
4. 2
x 16
dx
(ô î ðì óëà (13))= 2
2
x 4
1
x
arctg C .
4
4

18.

5.
6.
dx
x 25
2
dx
ln x
9 x
2
dx
x 2 25 C .
x
arcsin C .
3
32 x 2

19. 1.3. Основные методы вычисления неопределенных интегралов

Непосредственное интегрирование
Метод интегрирования, при котором
данный интеграл путем тождественных
преобразований подынтегральной функции
(или выражения) и применения свойств
неопределенного интеграла приводится к
одному или нескольким табличным
интегралам, называется непосредственным интегрированием.

20.

При сведении данного интеграла к
табличному часто используется следующее
преобразование дифференциала (операция
«подведения под знак дифференциала»).
f ( u)du d ( f ( u))
Например:
du d (u b), b const;
1
du d (au b), a 0, a const;
a
cos udu d (sin u).

21. Примеры

1
9
1. (3 x 1) dx (3 x 1) d (3 x 1)
3
10
1 (3 x 1)
C.
3
10
9
dx
1 d (4 x 5)
2.
4x 5 4 4x 5
1
ln 4 x 5 C .
4

22.

x
x
x
3. cos 7 dx 5 cos 7 d 7
5
5
5
x
5sin 7 C .
5

23. Интегрирование заменой переменной

Метод замены переменной (метод
подстановки) состоит в преобразовании
интеграла f(x)dx
в другой интеграл
f(u)du,
который вычисляется проще, чем исходный.

24. Пример

(6
x
3)
dx
t 6x 3
dt
dt 6dx , dx
6
6
1 5
1t
t dt
C ( t 6 x 3)
6
66
1.
5
1
6
(6 x 3) C .
36

25.

t 5 7x
dx
2.
1
5 7 x dt 7dx , dx dt
7
1 dt
1
ln t C (t 5 7 x )
7 t
7
1
ln 5 7 x C .
7

26.

x
t 8,
x
2
3. sin 8 dx
1
2
dt dx , dx 2dt
2
x
2 sin tdt 2cos t C ( t 8)
2
x
2cos 8 C .
2

27. Интегрирование по частям

Формула
udv uv vdu,
где u u( x ) и v v ( x ) – дифференцируемые
функции, называется
формулой интегрирования по частям.
Метод
интегрирования
по
частям
целесообразно применять, если
vdu
более прост в вычислении, чем
udv
.

28. Некоторые типы интегралов, которые можно вычислять методом интегрирования по частям

1. Интегралы вида Pn ( x )e mx dx , Pn ( x )a mx dx,
P ( x)sin mxdx, Pn ( x )cos mxdx,
n
где Pn ( x ) − многочлен, m − число.
Здесь полагают u Pn ( x ),
за dv обозначают остальные сомножители.

29.

2. Интегралы вида Pn ( x )ln xdx, Pn ( x )arcsin xdx,
P ( x)arccos xdx, P ( x)arctgxdx, P ( x)arcctgxdx.
n
n
n
Pn ( x )dx dv
Здесь полагают
за u обозначают остальные сомножители.
3. Интегралы вида e ax cos bxdx, e ax sin bxdx ,
где a и b − числа.
ax
За u можно принять функцию e .

30. Пример. Вычислить неопределенные интегралы методом интегрирования по частям.

1. 2 x 5 cos xdx
u 2 x 5, du 2dx
dv cos x , v cos xdx sin x
(2 x 5) sin x 2 sin xdx
(2 x 5)sin x 2cos x C