Неопределенный интеграл

1. Неопределенный интеграл

Лекция 13.10.2016 г.

2. Элементы интегрального исчисления

1.Первообразная и неопределенный интеграл
2.Основные приемы вычисления
неопределенных интегралов
3.Интегрирование функций, содержащих
квадратный трехчлен
4.Интегрирование дробно-рациональных
функций
5.Интегрирование тригонометрических
функций
6.Интегрирование некоторых
иррациональностей

3. Неопределенный интеграл, его свойства и вычисление

4. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Функция F x называется
первообразной функции f x , определенной на
некотором промежутке, если F x f x для
каждого x из этого промежутка.
Например, функция cos x является
первообразной функции sin x , так как
cos x sin x .

5. Первообразная и неопределенный интеграл

Если F x - первообразная функции f x ,
то F x C , где C - некоторая постоянная,
также является первообразной функции
f x .
Если F x есть какая-либо первообразная
функции f x , то всякая функция вида
Ф x F x C также является
первообразной функции f x и всякая
первообразная представима в таком виде.

6. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Совокупность всех
первообразных функции f x ,
определенных на некотором
промежутке, называется
неопределенным интегралом от
функции f x на этом промежутке и
обозначается f x dx .

7. Первообразная и неопределенный интеграл

Если F x - некоторая первообразная функции
f x , то пишут f x dx F x C , хотя
правильнее бы писать f x dx F x C .
Мы по устоявшейся традиции будем писать
f x dx F x C .
Тем самым один и тот же символ
f x dx будет обозначать как всю
совокупность первообразных функции f x ,
так и любой элемент этого множества.

8. Геометрический смысл неопределенного интеграла

9. Свойства интеграла, вытекающие из определения

Производная неопределенного интеграла
равна подынтегральной функции, а его
дифференциал- подынтегральному
выражению. Действительно:
1. ( f ( x)dx) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x);
2. d f ( x)dx ( f ( x)dx) dx f ( x)dx.

10. Свойства интеграла, вытекающие из определения

Неопределенный интеграл от дифференциала
непрерывно дифференцируемой функции равен
самой этой функции с точностью до постоянной:
3. dF ( x) F ( x)dx F ( x) C ,
так как F (x) является первообразной для F (x).

11. Свойства интеграла

4. Если функции f1 x и f 2 x имеют
первообразные, то функция f1 x f 2 x
также имеет первообразную, причем
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

12. Таблица неопределенных интегралов

1. dx x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

13. Таблица неопределенных интегралов

11.
dx
arcsin x C .
1 x
dx
1
x
13. 2 2 arctg C .
a
a
a x
15.
12.
2
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
14.
16.
dx
arcsin
x
C ..
a
a2 x2
dx
ln x x 2 a C .
x2 a
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x C .

14. Использование свойств дифференциала

При интегрировании удобно пользоваться
свойствами:
1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3. xdx dx ,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

15. Примеры

Пример . Вычислить cos 5xdx .
Решение. В таблице интегралов найдем
cos xdx sin x C .
Преобразуем данный интеграл к табличному,
воспользовавшись тем, что d ax adx .
Тогда:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

16. Примеры

Пример. Вычислить x 3x x 1 dx .
Решение. Так как под знаком интеграла
находится сумма четырех слагаемых, то
раскладываем интеграл на сумму четырех
интегралов:
x
2
2
3
3 x 3 x 1 dx x 2 dx 3 x 3 dx xdx dx .
x4 x2
x3
3 x C
2
4
3

17. Интеграл от сложной функции, аргумент которой является линейной функцией

При вычислении интегралов удобно пользоваться
следующими свойствами интегралов:
Если f x dx F x C , то f x b dx F x b C .
Если f x dx F x C , то f ax b dx F ax b C .
a
1

18. Пример

1
6
(2 3x) dx 3 6 (2 3x) C.
5

19. Методы интегрирования

20. Непосредственное интегрирование

Используя свойства неопределенного интеграла и
формулы школьного курса, приводят
подынтегральную функцию к табличному виду.

21. Замена переменной

Требуется найти f x dx , причем
непосредственно подобрать первообразную
для f x мы не можем. Часто удается найти
первообразную, введя новую переменную,
по формуле
f x dx f t (t )dt , где x t , а t t
новая переменная.
Подынтегральное выражение представляет
собой дифференциал сложной функции.
Предположить вид новой переменной
поможет знание таблицы производных.

22. Интегрирование по частям

.
Этот метод основан на формуле udv uv vdu
Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:
а) x n sin xdx , где n 1,2...k ;
б) x n e x dx , где n 1,2...k ;
в) x n arctgxdx , где n 0, 1, 2,... k . ;
г) x n ln xdx , где n 0, 1, 2,... k .
При вычислении интегралов а) и б) вводят
n 1
обозначения: x n u , тогда du nx dx , а, например
sin xdx dv ,тогда v cos x .
При вычислении интегралов в), г) обозначают за u функцию
arctgx , ln x , а за dv берут x n dx .

23. Вспомогательная таблица для интегрирования по частям

24. Примеры

Пример. Вычислить x cos xdx .
Решение.
u x, du dx
xcosxdx
dv cosxdx, v cosxdx
=
= x sin x sin xdx x sin x cos x C .

25.

Пример. Вычислить
dx
u ln x, du x x 2
x 2 dx
=
ln x
x
ln
xdx
2
2 x
x
2
dv xdx, v 2
x2
1
x2
1 x2
=
ln x xdx
ln x
C .
2
2
2
2 2