Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов

1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов ЛЕКЦИЯ

Тема 6
Первообразная. Неопределенный
интеграл и его свойства. Таблица
основных интегралов
ЛЕКЦИЯ
Калабухова
Галина Валентиновна
кандидат социологических наук, доцент

2. Вопросы темы

Понятие первообразной.
Неопределенный интеграл и его свойства.
Таблица основных интегралов.

3. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ

4. Определение

Функция F(x) называется первообразной функцией
для функции f(x) на промежутке X, если в каждой
точке этого промежутка
F ( x ) f ( x )

5. Геометрический смысл первообразной

Геометрический смысл производной:
F’(x) – угловой коэффициент
касательной к кривой y=F(x) в точке x.
Геометрически найти первообразную
для f(x), значит, найти такую кривую
F(x), что угловой коэффициент
касательной к ней в произвольной
точке x равен значению f(x) заданной
функции в этой точке
Если найдена одна кривая y=F(x),
удовлетворяющая условию F’(x)=tgα,
то сдвигая ее вдоль оси ординат, мы
получим кривые, отвечающие
указанному условию

6. Теорема

Если F1(x) и F2(x) – первообразные для функции f(x)
на промежутке X, то найдется такое число C, что
будет справедливо равенство
F2 ( x) F1 ( x) C

7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

8. Определение

Совокупность всех первообразных для функции f(x)
на промежутке X, называется неопределенным
интегралом от функции f(x)
f ( x)dx F ( x) C
f(x) – подынтегральная функция
f(x)dx – подынтегральное выражение
F(x) – некоторая первообразная для f(x)
C – произвольная константа

9. Свойства неопределенного интеграла

Производная от неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции:
f (x)dx
f ( x)

10. Свойства неопределенного интеграла

Дифференциал неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению:
d f ( x) dx f ( x) dx

11. Свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл от дифференциала
некоторой функции равен этой функции с точностью
до постоянного слагаемого:
dF ( x) F ( x) C

12. Свойства неопределенного интеграла

Постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла:
f ( x)dx f ( x)dx

13. Свойства неопределенного интеграла

Интеграл от алгебраической суммы двух функций
равен такой же сумме интегралов от этих функций:
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx

14. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

15.

x n 1
x dx n 1 c n 1
dx
x ln x c
n
dx
x
x
arcsin c arccos c
a
a
a2 x2
ax
a dx ln a c
x
e dx e
x
x
c
dx
x
ln
tg
c
sin x
2
dx
x
ln
tg
c
cos x
2 4
dx
1
x
arctg
c
x2 a2 a
a
sin xdx cos x c
shxdx chx c
dx
1
x a
ln
x 2 a 2 2a x a c
cos xdx sin x c
chx shx c
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x c
dx
cos 2 x tgx c
dx
ch 2 x thx c
dx
sin 2 x ctgx c
dx
sh 2 x cthx c
dx
x2 a
ln | x x 2 a | c

16. НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

17.

Если
f (x)dx F (x) C
f (x b)dx F (x b) C
1
f ( ax) dx F ( ax) C
a
1
f (b ax) dx F ( ax b) C
a
, то:

18. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

19. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)

Пусть f ( x )dx F ( x ) C
тогда:
,
f (t( x))t ( x)dx F (t( x)) C
где t(x) - дифференцируемая монотонная функция

20. Методы замены переменной

1.
Если в подынтегральной функции удаётся сразу
заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и t’(x), то
замена переменной осуществляется подведением
множителя t’(x) под знак дифференциала:
t’(x)dx = dt, и задача сводится к вычислению
интеграла f (t )dt

21. Методы замены переменной

2.
Замену переменной можно осуществлять
формальным сведением подынтегрального
выражения к новой переменной

22. Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные
частные производные.
Тогда по формуле дифференцирования
произведения
d(uv) = u∙dv + v∙du → u∙dv = d(uv) - v∙du.
Находим неопределённые интегралы для обеих
частей этого равенства (при этом d (uv ) uv C ):
u dv uv v du
Или:
u v dx uv v u dx

23. Сведение интеграла «к самому себе»

С помощью интегрирования по частям (возможно,
неоднократного) интеграл выражается через такой
же интеграл; в результате получается уравнение
относительно этого интеграла, решая которое,
находим значение интеграла

24. Рекуррентные соотношения

Если подынтегральная функция зависит от
некоторого параметра n, и получено соотношение,
которое выражает интеграл через аналогичный
интеграл с меньшим значением n, то это
соотношение и называется рекуррентным
соотношением

25. «Неберущиеся» интегралы

Производная элементарной функции
также является элементарной функцией.
При нахождении первообразной
существуют функции, первообразные для
которых элементарными функциями не
являются.
Соответствующие интегралы
называются неберущимися в
элементарных функциях, в сами
функции – неинтегрируемыми в
конечном виде
e dx
sin x dx
cos x dx
x2
2
2
sin x
x dx
cos x
x dx
dx
ln x