Неопределенный интеграл. Основные свойства. Методы интегрирования. Первообразная функция. (Лекция 7)

1. Лекция 7. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Основные методы интегрирования. Первообразная функция

2.

Пусть f(x) определена на некотором множестве М, которое является
конечным или бесконечным интервалом.
Определение 1
F(x) называется первообразной для f(x) на множестве М, если она
дифференцируема в каждой точке x M и F ' ( x) f ( x), x M
Примеры:
x
x
f ( x) 2 x F ( x) x 2 f ( x) cos x F ( x) sin x f ( x) e F ( x) e
Если F(x) первообразная для f(x), то F(x)+C также первообразная
для f(x) (F(x)+C)’=F’(x)=f(x)
Теорема Если F1 ( x), F2 ( x) первообразные для f(x), то
F1 ( x) F2 ( x) C, x M , C const
Доказательство
Пусть F1 ( x) F2 ( x) G( x) G' ( x) (F1 ( x) F2 ( x))' F1 ' ( x) F2 ' ( x) f ( x) f ( x) 0, x M ,
тогда G(x)=const, x M , то есть F1 ( x) F2 ( x) const
Замечание: Если F(x) одна из первообразных для f(x) на множестве М,
то любая первообразная Ф(х) для f(x) на множестве М представима в виде
Ф(х)=F(x)+C, C=const

3.

Определение 2
Совокупность всех первообразных функций для f(x) на множестве М
называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
f ( x)dx
- знак интеграла;
f(x)dx – подынтегральное выражение;
f(x) – подынтегральная функция.
Если F(x) – одна из первообразных для f(x) на множестве М, то
f ( x)dx F ( x) c (1)
Пример cos dx sin c, x
Замечание Если F(x) – первообразная для f(x) на М, то в формуле(1) под
знаком интеграла стоит дифференциал функции F(x). Действительно
dF ( x) F ' ( x)dx f ( x)dx Будем считать по определению, что
dF ( x) F ' ( x)dx f ( x)dx (2)

4.

Основные свойства неопределенного интеграла
Свойства вытекают из определения неопределенного интеграла
1. Дифференциал неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению, а производная неопределенного
интеграла равна подынтегральной функции.
,
Имеем d f ( x)dx f ( x)dx (1) и f ( x)dx ' f ( x)
2. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно
дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью
до постоянного слагаемого.
В самом деле пусть d ( x) ' ( x)dx (2), где ' ( x ) непрерывна. Функция
' ( x ) очевидно является первообразной для (x ) . Поэтому из (2) имеем
d ( x ) ( x ) c
Замечание. В формулах (1) и (2) знаки d и , следующие друг за другом
в том или ином порядке, взаимно уничтожают друг друга. В этом смысле
дифференцирование и интегрирование являются взаимообратными
математическими операциями.

5.

3. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла. То есть, если A 0 , то Af ( x)dx A f ( x)dx (3)
Пусть F(x) – первообразная для f(x), тогда в силу определения
неопределенного интеграла имеем A f ( x)dx A F ( x) c AF ( x) c1 (4) , где
c1 Ac, при А 0. Но AF(x) –первообразная для Af(x), так как
[ AF ( x)]' AF ' ( x) Af ( x)
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме
неопределенных интегралов от этих функций, то есть,
если f(x),g(x),h(x) – непрерывны в интервале (a,b), то
[ f ( x) g ( x) h( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx h( x)dx при x (a, b)
Пусть F(x),G(x),H(x) – первообразные соответственно функций f(x),g(x),h(x),
то есть F’(x)=f(x), G’(x)=g(x), H’(x)=h(x) x (a, b)
На основании определения неопределенного интеграла имеем
f ( x)dx g ( x)dx h( x)dx [ F ( x) c ] [G( x) c ] [ H ( x) c ] [ F ( x) G( x) H ( x)] c (6),
1
2
3
где с с1 с2 с3 Но F(x)+G(x)-H(x) – первообразная для f(x)+g(x)-h(x),
так как [F(x)+G(x)-H(x)]’=F’(x)+G’(x)-H’(x)=f(x)+g(x)-h(x), следовательно
[ f ( x) g ( x) h( x)]dx F ( x) G( x) H ( x) c (7). Тогда из (6) и (7) вытекает
равенство (5).

6.

Таблица простейших неопределенных интегралов
Имеем соотношения dF ( x) f ( x)dx f ( x)dx F ( x) c
Обобщая формулы дифференцирования, получим
№ п/п
1
2
Дифференциал
x m 1
m
d
m 1
x dx
d (ln x )
dx
x
Неопределенный интеграл
x m 1
x dx m 1 c
m
dx
ln x c
x
3
d (e x ) e x dx
x
x
e
dx
e
c
4
ax
d
ln a
ax
a dx ln a c
5
d (sin x) cos xdx
cos xdx sin x c
6
d ( cos x) sin xdx
sin xdx cos x c
7
x
a dx
d (tgx)
dx
cos 2 x
x
dx
tgx c
cos 2 x

7.

8
d ( ctgx)
dx
sin 2 x
9
d (arcsin x) d ( arccos x)
10
d (arctgx) d ( arcctgx)
11
1 x2
dx
sin 2 x ctgx c
dx
1 x 2 arcsin x c arccos x c
dx
1 x2
dx
1 x 2 arctgx c arcctgx c
dx
dx
1
1 x
1 x 2 2 ln 1 x c
12
dx
1
x 1
ln
c
2
x 1
x 2 1
13
dx
x2 a
ln x
14
shxdx chx c
15
chxdx shx c
x2 a c

8.

Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента
Приведенная таблица полностью сохраняет свое значение, если под х
(независимая переменная) понимать любую непрерывно
дифференцируемую функцию от независимой переменной.
Пусть f(x) непрерывная функция на данном промежутке, F(x)-ее
первообразная. Имеем f ( x)dx F ( x) c (1). Полагаем u ( x), ( x)
- некоторая непрерывно дифференцируемая функция. Рассмотрим
интеграл f (u )du f (u )u ' dx (2). В таком случае сложная функция F (u ) F ( ( x))
(3) является первообразной для подынтегральной функции интеграла.
Действительно в силу независимости дифференциала первого порядка от
выбора независимой переменной получим
dF (u ) F ' (u )du f (u )du (4) и следовательно
d
F (u ) dF (u ) du f (u )u ' (4’) поэтому f (u )du F (u ) c (5), где F’(u)=f(u)
dx
du dx
Таким образом, из справедливости формулы (1) получаем справедливость
формулы (5). На основании этого свойства получаем обобщенную таблицу
неопределенных интегралов, то есть
u m 1
u du m 1 c(m 1)
m
du
u ln u c и так далее.

9.

u – любая непрерывно дифференцируемая функция от независимой
переменной.
Выбирая различным образом функцию u можно существенно расширить
таблицу простейших интегралов.
Пример
x2
xdx 2 c Заменяя x на sinx, получаем
sin 2 x
sin 2 x
sin xd(sin x) 2 c или sin x cos xdx 2 c
Или
x ln x
ln 2 x
ln xd(ln x) 2 c или
ln x
ln 2 x
x dx 2 c
Отсюда становится понятной важность умения приводить данное
дифференциальное выражение f(x)dx к виду f(x)dx=g(u)du,
где u – функция от x, и g(u) более простая для интегрирования функция,
чем f(x).
Отметим ряд преобразований дифференциала, полезных для вычисления
неопределенных интегралов:

10.

1) dx d ( x b), b const
1
a
2) dx d (ax), a 0
1
a
3) dx d (ax b), a 0, b const
4) xdx 1 d ( x 2 )
2
5) sinxdx=-d(cosx)
6) cosxdx=d(sinx)
В общем случае f’(x)dx=d(f(x))
Примеры
1.
2.
dx
1 d (ax b) 1
ax b a ax b a ln ax b c(a 0)
1
2
x 2dx ( x 2) d ( x 2)
3. sin 5 xdx
3
2
( x 2)
2
c ( x 2) x 2 c
3
3
2
1
1
sin
5
xd
(
5
x
)
cos 5 x c
5
5

11.

4.
xdx 1 d ( x 2 1) 1
2
x 2 1 2 x 2 1 2 ln( x 1) c
sin x
d cos x
dx
ln cos x c
cos x
cos x
x
d
dx
1
1
x
2
2 arctg c
6. 2
2
2
x 4 2 x
1
2
5. tgxdx
7.
8.
dx
3 x2
dx
x x 2 1
x
1
3
2
dx
9. xex dx
2
x
d
3
x
2
1
1 2
x
arcsin
x
c
3
1
d
x
1
1
x
2
1 x2
1 x2
2
e
d
(
x
)
e c
2
2
arcsin
1
c
x

12.

Основные методы интегрирования
Для вычисления данного интеграла необходимо тем или иным способом
свести его к табличному интегралу и таким образом найти искомый
интеграл
Наиболее важными методами интегрирования являются:
1. Метод разложения.
2. Метод подстановки.
3. Метод интегрирования по частям.
Метод разложения
Пусть f ( x) f1 ( x) f 2 ( x) , тогда на основании свойства (4) имеем
f1 ( x) и f 2 ( x) стараются
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx . По возможности
1
2
подобрать так, чтобы интегралы от них находились непосредственно.
Примеры:
1
1
2
3
2
x
x2
4
x2
(1 x ) dx (1 2 x x)dx dx 2 x dx xdx x 2 3 2 c x 3 x x 2 c
2
2
4
3
2
3
x
6
x
8
x
9
x
5
9
5
x
5
2
2
2
dx
(
x
6
x
8
)
dx
3
x
8
x
9
ln
x
c
x x2
3
x
x2

13.

3
sin x cos 3xdx
1
1
1
1
1
(sin
4
x
sin
2
x
)
dx
sin
4
xd
(
4
x
)
sin
2
xd
(
2
x
)
cos
4
x
cos 2 x c
2
8
4
8
4
1
sin
x
cos
3
x
(sin 4 x sin 2 x))
(так как
2
Метод подстановки (метод введения новой переменной)
Пусть f(x) непрерывна на интервале (a,b) и x (t ) непрерывно
дифференцируема на интервале ( , ) ; причем функция
отображает интервал ( , ) в интервал (a,b).
На основании свойства независимости неопределенного интеграла от
выбора аргумента и учитывая, что dx ' (t )dt , получим формулу
замены в неопределенном интеграле.
f ( x)dx f ( (t )) ' (t )dt (1)
Примеры
2
2
x
5
t
,
x
5
t
,
x
t
5, dx 2tdt
x
x
5
dx
1
Полагаем
Производя подстановку получаем
5
3
t2
t3
2
10
2
4
2
4
2
2
x
x
5
dx
(
t
5
)
2
tdt
(
2
t
10
t
)
dt
2
t
dt
10
t
dt
2
10
c
(
x
5
)
( x 5) 2 c
5
3
5
3

14.

2 a 2 x 2 dx(a 0)
Выполним тригонометрическую подстановку x=asint, dx=acostdt
Следовательно
2
2
2
a 2 x 2 dx a 2 a 2 sin 2 t a cos tdt a 2 cos 2 tdt
a
a
a
(
1
cos
2
t
)
dt
dt
cos 2td (2t )
2
2
4
a2
a2
t sin 2t c
2
4
Делая обратную замену
x
x
x
x 2 2x 2
2
sin t , t arcsin , sin 2t 2 sin t cos t 2 sin t 1 sin t 2 1 2 2 a x 2
a
a
a
a
a
Окончательно
a2
x x 2
a x dx arcsin
a x2 c
2
a a
2
2
Иногда формулу (1) полезно применять справо налево, то есть:
f [ ( x)] ' ( x)dx f [ ( x)]d ( x) (2) или f [ ( x)] ' ( x)dx f (t )dt , t ( x)
Примеры:
1.
3
3
1 ctgx
dx Полагая t 1 ctgx, dt dx2 получаем
2
sin x
sin x
1
1
4
4
1 ctgx
3
3
dx (1 ctgx) 3 d (1 ctgx) t 3 dt t 3 c (1 ctgx) 3 c
2
4
4
sin x

15.

1 dx
)
ln x x
так как dx d (ln x) получаем
x
1 dx
d (ln x) 1 2
(ln
x
)
ln
xd
(ln
x
)
ln x ln ln x c
ln x x
ln x
2
2. (ln x
Метод интегрирования по частям
Пусть u и v – непрерывно дифференцируемые функции от x.
На основании формулы дифференциала произведения имеем
d(uv)=udv+vdu. Отсюда udv=d(uv)-vdu. Интегрируя, получаем
udv d (uv) vdu
udv uv vdu Это и есть формула
или окончательно
интегрирования по частям. Выведенная формула показывает, что интеграл
более простым или даже табличным.
Примеры:
1. ln xdx = u ln x, dv dx, du d (ln x)
dx
dx
x ln x x c
, v x =xlnx- x
x
x
2. x cos xdx u x, dv cos xdx, du dx, v sin x x sin x sin xdx x sin x cos x c
3. x arctgxdx 1 arctgx d ( x 2 1) 1 ( x 2 1)arctgx 1 ( x 2 1)d (arctgx)
2
2
2

16.

1 2
1
dx
1
1
( x 1)arctgx ( x 2 1) 2
( x 2 1)arctgx x c
2
2
2
x 1 2
Интегрирование рациональных дробей с квадратичным знаменателем
Рассмотрим интеграл вида
P( x)
ax 2 bx cdx , где P(x) – целочисленный
многочлен; a,b,c – постоянные величины a 0
Разделив P(x) на знаменатель, получаем в частном некоторый многочлен
Q(x) и в остатке – линейный многочлен mx+n. Отсюда
P( x)
mx n
Q
(
x
)
ax 2 bx c
ax 2 bx c
Интеграл от многочлена Q(x) находится непосредственно. Рассмотрим
mx n
способы вычисления интеграла вида
ax 2 bx cdx (1)
Рассмотрим интегралы:
x
d
dx
1
a 1 arctg x c(a 0)
x 2 a 2 a x 2
a
a
1
a
dx
1
1
1 ( x a) ( x a) 1 1
1
x 2 a 2 (a 0) Имеем x 2 a 2 ( x a)( x a) 2a ( x a)( x a) 2a x a x a

17.

Тогда
x
2
dx
1 1
1
1 dx
dx 1
ln | x a | ln | x a | 1 ln x a c
dx
2
2a x a x a
2a x a
x a 2a
2a x a
a
К интегралам I и II присоединим еще один интеграл
xdx
1 d (x2 a2 )
1
2
2
ln
|
x
a
| c
2
2
2
2
x a
2
2
x a
Примеры
III.
1.
dx
1
d (x 2)
1 1
x 2
1
2
arctg
arctg
(
x
) c
2
2
2
3
2x 3
2 ( x 2 ) ( 3)
2 3
3
6
dx
1
x 5
ln
x2 5 2 5 x 5 c
Замечание Основной прием вычисления интеграла (1) состоит в
следующем: квадратный трехчлен ax 2 bx c
дополняется до полного квадрата. После этого, если коэффициент
m=0, то интеграл (1) сводится к интегралу I или II. Если же m 0
то интеграл (1) сводится к интегралам I и II, или к интегралам II и III.
2.
3.
dx
d ( x 5)
1
( x 5) 3
1 x 8
ln
c
ln
c
2
2
2
2 3 ( x 5) 3
6 x 2
x 10 x 16
( x 5) 3

18.

4.
3
d (x )
dx
dx
2
2x 3
2
arctg
c
2
x 2 3x 4 2 3 9
9
7
7
3 2 7
( x 2 x ) (4 )
(
x
)
2
4
4
2
2
xdx
1 (2 x 1) 1
1 d ( x 2 x 1) 1
5. x 2 x 1 2 x 2 x 1 dx 2 x 2 x 1 2
dx
1
3
(x )2 ( )2
2
2
1
1
2x 1
ln( x 2 x 1) arctg
c
2
3
3
x4
x 4 1 1
1
x3
2
6. 2 dx 2
dx ( x 1 2 )dx x arctgx c
x
x 1
x 1
x 1
Замечание Если выражение ax 2 bx c
имеет действительные и различные корни, то для вычисления интеграла
(1) можно воспользоваться разложением подынтегральной функции на
mx n
A
B (2) A,B – неопределенные
простейшие дроби
ax 2 bx c
x x1
x x2
коэффициенты, которые находятся путем приведения тождества (2)
целому виду и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х
в правой и левой частях полученного равенства.
Примеры:

19.

1.
x 2
x 2
A
B
dx
x 2 5 x 6 x 2 5x 6 x 1 x 6 x 2 A( x 6) B( x 1) x 2 ( A B) x (6 A B)
Приравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений
1 A B
3
4 На основании полученного разложения исходный
A
,
B
7
7
2 6 A B
x 2
3 d ( x 1) 4 d ( x 6) 3
4
1
ln | x 1 | ln | x 6 | c ln ( x 1) 3 ( x 6) 4 c
x 1
7
x 6
7
7
7
интеграл x 2 5 x 6dx 7
Интегрирование иррациональностей
Рассмотрим способы вычисления интегралов, содержащих простейшие
иррациональности.
1. Если подынтегральное выражение содержит лишь линейную
иррациональность n ax b , (a 0) , то применяется подстановка t n ax b
Пример
3
(t 3 1)3t 2 dt
t5 t2
3
3
4
t x 1, x t 1, dx 3t dt
3 (t t )dt 3( ) c ( x 1) 3 ( x 1) 3 c
t
5 2
5
2
x 1
xdx
3
3
2
5
2. Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности
dx
ax bx c
2
этот интеграл с помощью дополнения выражения
ax 2 bx c до полного квадрата сводится к одному из двух интегралов
2

20.

dx
a x2
dx
a)
. Рассмотрим эти интегралы:
x2 a
Применим подстановку Эйлера x 2 a t x,
где t –новая переменная.
x 2 a t 2 2tx x 2 a t 2 2tx d (a) d (t 2 2tx) 2tdt 2 xdt 2tdx tdx (t x)dt
dx
dt
dx dt
dx
dt
ln | t | c ln | x x 2 a | c
2
отсюда
t
t x t
x a
x2 a t
Пример
dx
x 2 6 x 13
b)
dx
a2 x2
Пример
d ( x 3)
( x 3) 2 4
x
d
a
x
1
a
dx
1 x x2
2
ln | x 3
arcsin
x 2 6 x 13 | c
x
c
a
1
1
d (x )
x
2
2 c arcsin 2 x 1 c
arcsin
5
1
5
5
(x )2
4
2
4

21.

3. Интеграл от иррациональности
(x )
dx
ax 2 bx c
Действительно
Заменой x
1
он сводится к интегралу вида 2).
t
1
dt
1
1
(c 2 )t 2 (2 1)t 1
2
2
x , dx 2 , ax bx c ( ) ( ) c
t
t
t
t2
t
dt
После всех замен получаем
(c 2 )t 2 (2 1)t 1
4. Интеграл от иррациональности
mx n
ax bx c
2
dx Этот интеграл можно разбить на два интеграла, выделив в
числителе производную подкоренного выражения; тогда один интеграл
вычисляется как интеграл от степенной функции, а второй является
интегралом вида 2)
5. Иррациональность вида ax 2 bx c dx
Выделяем полный квадрат, а затем полученный интеграл
x 2 A dx вычисляем по методу – интегрирование по частям.
u x 2 A , dv dx, du
x A dx x x A
2
2
x
x A
2
, v x , тогда
x2 A A
Adx
x x A
dx x x 2 A x 2 A dx
=
2
2
2
x a
x A
x A
x 2 dx
2

22.

x x 2 A A ln | x x 2 A | x 2 A dx
Окончательно
1
2
2
x A dx = 2 [ x x A A ln | x x A |] c
2
Замечание
a) 1 x 2 dx x sin t , dx cos tdt cos 2 t td 1 (t 1 sin 2t ) c sin 2t 2 sin t cos t 2 x
1
(arcsin x x 1 x 2 ) c
2
2
2
1 x2
2
b) x 1 dx
При вычислении можно использовать гиперболические функции x=sht,
dx=cht (можно x=tgt, но более громоздко).
6. Иррациональность вида
R( x, k x , m x ,...)dx (1) где R – рациональная функция относительно
переменной интегрирования x и различных радикалов из x.
Обозначим через n – наименьшее кратное всех показателей k,m,… Тогда
n
n
r1 , r2 ,...
k
m
n
n 1
Замена переменной x t , dx nt dt позволяет получить интеграл от
рациональной функции.

23.

Интеграл (1) примет вид
r2
n r1
n 1
R
(
t
,
t
,
t
,...)
nt
dt
Пример
Тогда
dx
6
3
x 3 x замена x t , x t , 3
6t 5 dt
t3
t3 1 1
dx
x x
3
= 3 2
t t
6
dt 6
t 1
x t 2 , dx 6t 5 dt
dt
t3 t2
dt 6 (t t 1)dt 6
6( t ) 6 ln | t 1 | c
t 1
t 1
3 2
2
= 2 x 33 x 66 x 6 ln | 6 x 1 | c
Замечание
Интеграл вида R( x, k ax b , m ax b ,...)dx вычисляется с помощью замены
px q
px q
ax b n
qt n b
aq pb
t ,x
,
dx
nt n 1dt
n
n 2
px q
a pt
(a pt )