Первообразная функции. Неопределенный интеграл, способы интегрирования. Лекция № 8

1.

Лекция № 8
Первообразная функции.
Неопределенный
интеграл, способы
интегрирования.

2.

Первообразная функция.
В дифференциальном исчислении мы решали задачу нахождения
производной или дифференциала заданной функции. Однако, иногда,
приходится находить по заданному дифференциалу функцию, от которой
была взята производная, т.е. решать задачу, обратную
дифференцированию.
Например, если известны путь S(t) мы можем найти v(t) , т.к. S (t) = v(t) , а
теперь наоборот по скорости v(t) нужно найти S(t).
Первообразной называют функцию, восстанавливаемую по заданной ее
производной или дифференциалу.
Итак, первообразной для заданной функции называется та функция, из
которой заданная может быть получена дифференцированием.
Пример 1. Пусть
, тогда
— производная для
для функции будет первообразной.
Пример 2. Пусть
.Тогда
— производная для
. Отсюда, для
той же производной
и функция
тоже будет первообразной
(рис.30).

3.

Свойство первообразных
Если какая-то функция
—первообразная для функции
то и функция
тоже первообразная для функции .
В математике принято явный вид первообразной записывать в общем виде так:
Где
—часть функции у, содержащая аргумент х , т.е. изменяющаяся ее часть, а С —
часть функции у, не содержащая аргумент х, т.е. не изменяющаяся ее часть —
постоянная —
Пример.
можно записать в виде
где
Определение. Дифференцируемая функция F(x), x (a;b), называется первообразной
функцией для f(x) на интервале (a;b), если выполняется равенство
F (x) = f(x)
Пример. f(x) =3x2
F1(x)=x3, F (x)=f(x)
F2(x) = x3+4, F (x)=(x3+4) =3x2
F3(x) = x3-2, F =(x3-2) =3x2
вообще F(x) = x3 + C является первообразной для f(x) =3x2, где С – константа.

4.

Теорема. Если функция F(x) является первообразной для f(x), x (a;b), то множество всех
первообразных задается формулой F(x) + C, C R.
Совокупность всех первообразных функций f(x) на интервале (a;b) называется
неопределенным интегралом от функции f(x) на (a;b) и обозначается символом: f ( x)dx
где - знак интеграла,
f(x) – подынтегральная функция
f(x)dx – подынтегральное выражение
f ( x)dx = F(x) + C
Нахождение функции по ее производной или по ее дифференциалу называется
интегрированием функции. Правильность интегрирования проверяется
дифференцированием.
Например. (2 x 3)dx x 2 3x C , ( x 2 3x C ) 2 x 3
Cвойства интеграла
1. f ( x)dx) f ( x)
2. d ( f ( x)dx) f ( x)dx
3. f ( x)dx f ( x) C
4. df ( x) f ( x) C
5. af ( x)dx a f ( x)dx
6. ( f ( x) g ( x)) dx f ( x)dx g ( x)dx

5.

Таблица неопределенных
интегралов
1. 0dx C
2. dx x C
3. x n dx
x n 1
C , n 1
n 1
dx
ln x C
x
ax
a x dx
C , a 0, a 1
5.
ln a
4.
6. Cosxdx Sinxdx C
7. Sinxdx Cosxdx C
dx
tgx C
8. Cos 2 x
dx
ctgx C
Sin 2 x
dx
x
10.
arcSin C
a
a2 x2
dx
1
x
11. 2
arctg C
2
a x
a
a
9.
dx
1
x a
lg
C
2
x a
2a x a
dx
13.
lg x x 2 a 2 C
2
2
x a
12.
2

6.

Способы интегрирования
Непосредственное интегрирование – применяется для интегрирования простых
функций. Сводится к математическим преобразованиям приводящим интеграл к
табличному виду.
Примеры:
1)
4)
2)
5) 5 x 3 x x dx.
x
3
Решение. Воспользоваться определением степени с дробным показателем (a m / n n a m , a 0)
,правилами действий над степенями с одинаковыми основаниями (am an = a m + n ,
am/an = a m – n ), правилом деления суммы на число и найдем интеграл от каждого
слагаемого отдельно. Имеем
x 5 / 3 x13 / 6
3 1
6 2
5x x x
5 x x x1/ 2
5x x3 / 2
5x x 3 / 2
2/3
7/6
5
x
dx
x
dx
5
C 5 x 3 x 6 C
dx
dx
dx
(
)
dx
3x
x1/ 3
x1/ 3
x1/ 3 x1/ 3
5 / 3 13 / 6
5
13
2
3x3 x 2
1
6 26
x x C
13
Интегрирование методом подстановки (введение новой переменной). Применяется для
интегрирования сложных функций. Сводится к выполнению следующих шагов
алгоритма:

7.

Алгоритм
1)Ввести новую переменную
2)Найти дифференциал переменной равный произведению производной функции на
дифференциал аргумента.
3)Вычислить дифференциал аргумента.
4)Подставить введенные величины под знак интеграла.
5)Методом математических преобразований привести интеграл к табличному интегралу и
найти его значение.
6)Вернуться к первоначальной переменной.
Примеры:
1
1
dx
dy 1 Cosydy Siny C Sin 5 x C
.
Cos
5
xdx
Cosy
5
5
1)
2)
2
3
5 5
y 5x
(5 3 x )
dy 5dx
dx
dy
5
Решение. Произведем подстановку 5 – 3x = t, 1тогда
–3 dx = dt, откуда dx 1 dt.
/3
3
dx
1 / 3dt
1 2 / 3
1t
3
3
t
dt
C
t
C
5
3
x
C
Далее получаем 3 (5 3x) 2 3 t 2
3
3 1/ 3
2
3) (2 cos x) sin xdx.
Решение. Сначала положим 2 + cosx = t, тогда –sin x dx = dt, откуда sinx dx = - dt. Далее

8.

III. Интегрирование по частям
(uv) =u v +v u
d(uv) = vdu + udv
udv =d(uv) – vdu
udv d (uv) vdu
udv uv vdu
- формула интегрирования по частям
Примеры:
xex dx
1)
предположим x u dx du
dv e x dx v e x
xe dx x e e dx x e
x
x
предположим
ln x u du
подставим в формулу :
x
2) ln xdx
x
1
ex C
Вычислить: 1) (1 2 ) 2 dx.
x
1
dx
x
dx dv x v
подставимвформулу
ln xdx x ln x
xdx
x ln x dx x ln x x C
x
x 1 x 3
2 1
1 2
2
1
2
4
x
2
C x 2 C.
Решение: (1 x 2 ) dx (1 x 2 x 4 )dx dx 2 x dx x dx
1 3
x 3x
(2 x 1)3
2)
dx;
x x
3)
x 2 16
x 2
dx;