Неопределенный интеграл. Методы интегрирования

1.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ.
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

2.

§ 1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
Функция F x называется
промежутке Х, если F x f x
первообразной
x X .
для функции
f x на
x3
Например, для функции f x x первообразной является функция F x
,
3
x3
x 2 f x .
т.к. F x
3
Теорема. Если F x – первообразная для функции f x на промежутке Х, то
любая другая первообразная для f x на этом промежутке имеет вид F x С , где С –
2
произвольная постоянная.
Множество всех первообразных функций F x С на промежутке Х, где С –
произвольная постоянная, называется н е о п р е д е л е н н ы м и н т е г р а л о м о т
ф у н к ц и и f x на этом промежутке и обозначается символом
f x dx F x C .
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется
и н т е г р и р о в а н и е м этой функции.
Теорема. Если функция f x непрерывна на отрезке
на нем.
a, b , то она интегрируема

3.

§ 2. Основные свойства неопределенного интеграла
1)Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
f x dx f x .
Это свойство является единственным критерием проверки правильности
результата интегрирования.
2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению
d f x dx f x dx .
3) Неопределенный интеграл от производной функции равен сумме этой
функции и произвольной постоянной
f x dx f x c .
4) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен
сумме этой функции и произвольной постоянной
dF x F x c .
5) Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
k f x dx k f x dx, k 0 - постоянная.
6) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых
функций
f x g x dx f x dx g x dx .

4.

§ 3. Таблица основных неопределенных интегралов

5.

§ 4. Основные методы интегрирования
1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Вычисление интегралов с помощью основных их свойств и таблицы основных
интегралов называется н е п о с р е д с т в е н н ы м и н т е г р и р о в а н и е м .
Пример 1. Найти интеграл 8 х 5 х 3х 4 dx .
3
2
Решение.
8х 5х 3х 4 dx 8 х dx 5 x dx 3 xdx 4 dx
3
2
3
2
x4
x3
x2
5
3
8
5
3
4x c 2x 4 x 3 x 2 4x c .
4
3
2
3
2
2 33 х2 5 х
dx .
Пример 2. Найти интеграл
3
x
Решение.
2 33 х2 5 х
2
x3
x
1
2
1
2
3
1
x6
1
6
dx 2 x
3
2 dx 3
5 ln x c
x
4
x
5
6 dx 5
dx
x
18 6 x 5 ln x c .

6.

2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДВЕДЕНИЕМ ПОД ЗНАК ДИФФЕРНЦИАЛА

7.

Внесение под знак дифференциала постоянного множителя
Внесение под знак дифференциала функции
После выполнения операции подведения под знак дифференциала нужно сопоставить полученный
интеграл с табличным, обозначив мысленно все выражения, стоящие под знаком дифференциала,
одной буквой (новой переменной интегрирования U)

8.

9.

3. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(подстановкой)
Часто удается с помощью замены переменной интегрирования упростить данный
интеграл.
Пусть требуется найти интеграл f x dx .
Выполним подстановку x t , где t - функция, имеющая непрерывную
производную.
Учитывая, что dx t dt , получим формулу и н т е г р и р о в а н и я з а м е н о й
переменной (подстановкой)
f x dx f t t dt .
Иногда используют подстановку вида t x , тогда
f x x dx f t dt .
Замечание. После нахождения интеграла надо перейти от новой переменной t
переменной x .
Пример Найти интеграл
3x t ,
t
1
1
1
cos3 x dx x , cost dt sin t c sin 3 x c
3
3
3
3
1
dx dt
3
к

10.

Пример Найти интеграл
x dx
x 5
2
3
x 5 t,
x 5 t2,
x t2 5
dx t 2 5 dt 2t dt
t 5 2t dt 2 t 5 dt 2 t 5t c
2
t
3
2
3
x 5 3 10 x 5 c .
4. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
Пусть U U x и V V x – функции, имеющие непрерывные
производные, тогда справедлива следующая формула интегрирования по
частям
U dV UV VdU .
Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые можно найти с
помощью метода интегрирования по частям.
1) Интегралы вида
kx
Pn x sin kx dx, Pn x e dx, Pn x cos kx dx ,
где Pn x – многочлен n -ой степени, k – число.
В интегралах этих типов полагают U Pn (x) , а dV - все остальные
сомножители.

11.

Pn ( x) ln kx dx , Pn ( x) arcsin kx dx ,
Pn ( x) arccoskx dx , Pn ( x)arctgkx dx , Pn ( x)arcctgkx dx ,
2) Интегралы вида
где Pn (x ) - многочлен n -ой степени, k - число.
В этом случае за dV Pn ( x) dx .
ax
ax
e
sin
bx
dx
e
cosbx dx .
3) Интегралы вида
,
Эти интегралы находятся двукратным интегрированием по частям.
Пример
U 3x 2
dU (3x 2) dх 3dx
5x
(
3
x
2
)
e
dx dV e 5 x dx
1
1
(3x 2) e 5 x e 5 x 3dx
5
5
1
V e 5 x dx e 5 x
5
1
3 5x
e5x
7
5x
3x 2 e
e c
3
x
с.
5
25
5
5

12.

Контрольные вопросы
1. Что называется первообразной для функции f (x) на
промежутке X ?
2. Что называется неопределенным интегралом, и какие его
основные свойства?
3. Каковы табличные интегралы?
4. Как находят интегралы методом замены переменной?
5. Какова формула интегрирования по частям?
6. Какие типы интегралов можно находить с помощью метода
интегрирования по частям?