Интегралы для 2 курса

1. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования.

Понятие неопределенного интеграла
Свойства неопределенного интеграла
Таблица интегралов
Непосредственное интегрирование
Введение части функции под знак
дифференциала
Метод замены переменной
Метод интегрирования по частям
1

2. Понятие неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной
функции f(x) найти ее производную.
Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию
F(x) , зная ее производную F’(x) = f(x) :
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на
интервале (a; b), если
x a, b : F ( x ) f ( x )
Теорема
Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a; b),
то множество всех первообразных для f(x) задается формулой:
F(x) + С, где С – постоянное число.
Доказательство:
F ( x ) C f ( x )
F(x) + С – первообразная функции f(x) .2

3.

Множество всех первообразных функций F(x) + С для f(x)
называется неопределенным интегралом от функции f(x) и
обозначается:
f ( x )dx F ( x ) C
Операция
нахождения неопределенного интеграла
от функции
Переменная
Подынтегральная
Подынтегральное
называется
называется интегрированием этой
функции.
интегрирования
функция
выражение
Знак неопределенного
интеграла
Геометрически неопределенный
интеграл представляет собой
семейство параллельных кривых
y = F(x) + С (интегральных
кривых)
y
y = F(x) +
С1
y = F(x) + С2
0
х
y = F(x) + С3
3

4.

4

5. Свойства неопределенного интеграла

Дифференциал от неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению, а производная от
неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
d f ( x )dx f ( x )dx
f ( x )dx f ( x )
Благодаря этому свойству правильность интегрирования
проверяется дифференцированием.
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой
функции равен сумме этой функции и произвольной
постоянной.
dF ( x ) F ( x ) C
Постоянный множитель можно выносить за знак
неопределенного интеграла.
a f ( x ) dx a f ( x ) dx
5

6.

Неопределенный интеграл от суммы (разности) конечного
числа непрерывных функций равен сумме (разности)
интегралов:
f ( x ) f ( x ) dx f ( x )dx f ( x )dx
1
2
1
2
Инвариантность формулы интегрирования: Если
f ( x ) dx F ( x ) C то: f (u ) du F (u ) C
где u = φ(x) – произвольная функция, имеющая непрерывную
производную.
1
f (ax b) dx a F (ax b) C
1
f (ax ) dx a F (ax ) C
f ( x b) dx F ( x b) C
6

7. Таблица интегралов

7

8.

8

9. Непосредственное интегрирование

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем
тождественных преобразований подынтегральной функции и
применения свойств неопределенного интеграла приводится к
табличным интегралам, называется непосредственным
интегрированием.
e 2x 6 dx e dx 2x dx 6 dx
x
x
e x dx 2 x dx 6 dx e x x 2 6 x C
2
2
1
sin
x
cos
x
2
ctg x dx sin2 x dx sin2 x dx
1
1
1 dx
dx dx
2
2
sin x
sin x
ctg x x C
9

10. Введение части функции под знак дифференциала.

При сведении данного интеграла к табличному часто
применяются следующие преобразования дифференциала
( операция «подведения под знак дифференциала»)
du d (u b )
1
du d (au )
a
1
u du d (u 2 )
2
cos u du d (sin u )
f (u ) du d (f (u ))
du
d (ln u )
u
10

11.

1
2
sin(
x
)
d
x
sin(
x
)
x
dx
2
2
2
0.5 sin( xu2 ) d xu2 0.5 cos( x 2 ) C
4
ln
x
3
ln x
lnux d (lnux )
C
dx
x
4
3
1
3 x 5 dx 3 x 5 3 d (3 x 5)
3
1
2
1
3 xu 5 2 d (3 xu 5) 3 x 5 2 C
9
3
11

12. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении
новой переменной интегрирования.
Пусть требуется вычислить интеграл
f ( x )dx.
Сделаем подстановку: x (t ) , где φ – функция, имеющая
непрерывную производную. Тогда:
dx (t )dt
Получим формулу интегрирования подстановкой:
f
(
x
)
dx
f
(
(
t
))
(t ) dx
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде
t (x )
Тогда подынтегральную функцию нужно представить в виде:
f ( ( x )) ( x ) dx f (t )dt.
t
dt
12

13.

x 3 t;
2
x
x
3
dx
x
t
3;
dx (t 3) dt 2tdt
2
t 2 3 t 2t dt 2t 4 6t 2 dt
5
3
t
t
2 t dt 6 t dt 2 6 C
5
3
2
5
3
x 3 2 x 3 C
5
4
2
13

14.

e
x
e 2 dx
x
e x 2 t;
dt e x 2 dx e x dx
1
2
1
dt
t
x
2
t
dt
C
2
e
2 C
t
1
2
14

15. Метод интегрирования по частям

Пусть u = u(x) и v = v(x) - функции, имеющие непрерывную
производную. Тогда:
d (u v ) u dv v du
Интегрируя это равенство, получим:
d (uv ) udv vdu uv udv vdu
udv uv vdu (1)
Формула интегрирования
по частям
Интегрирование
по частям состоит в том, что подынтегральное
выражение представляется в виде произведения двух
сомножителей: u и dv , затем, после нахождения du и v
используется формула (1). Иногда эта формула применяется
несколько раз.
15

16.

Типы интегралов, которые удобно вычислять по частям:
Интегралы вида:
kx
P
(
x
)
e
dx;
P ( x ) sin kx dx; P ( x ) cos kx dx
где: P(x) – многочлен. Удобно положить u = P(x), dv –
остальные сомножители.
Интегралы вида: P ( x ) arcsin kx dx;
P ( x ) arctg kx dx; P ( x ) ln x dx;
Удобно положить dv = P(x)dx, u – остальные сомножители.
Интегралы вида:
ax
e
sin bx dx;
ax
e
cos bx dx
- интегралы, приводящиеся к исходному. За u можно принимать
16
любой сомножитель.

17.

u 2 x 1;
dv e dx;
2x
2x 1 e dx du (2x 1) dx 2dx
dv
u
1 2x
2x
v dv e dx e
2
2x
2 x 1 0.5e 2 x 0.5e 2 x 2dx
u
v
v
du
x 0.5 e 2 x e 2 x dx
x 0.5 e
2x
0.5e
2x
C x e
2x
C
17

18. Метод интегрирования по частям

e x sin 4 x dx
u
dv
u ex;
dv sin 4 xdx;
du (e x ) dx e x dx
1
v dv sin 4 xdx cos 4 x
4
e ( 0.25 cos 4 x ) ( 0.25 cos 4 x e )dx
x
x
0.25e x cos 4 x 0.25 cos 4 x e x dx
0.25e x cos 4 x 0.25 1
I1
18

19.

u e ;
dv cos 4 xdx;
x
1 e x cos 4 x dx
u
du (e x ) dx e x dx
dv
1
v dv cos 4 xdx sin 4 x
4
e x 0.25 sin 4 x 0.25 sin 4 x e x dx
e x 0.25 sin 4 x 0.25
0.25e x cos 4 x 0.25(0.25e x sin 4 x 0.25 )
1 x
e (sin 4 x 4 cos 4 x )
17
19