Неопределенный интеграл. Методы интегрирования. Лекция 2

1. Неопределенный интеграл

Методы интегрирования
Лекция2

2. Метод подстановки или метод замены переменной

• Метод основан на использовании формулы
f ( x)dx f (t ) (t )dt
При проведении замены переменной в интеграле
• f ( x)dx необходимо:
1) выбрать подстановку ( x ) t или замену x (t )
2) преобразовать подынтегральную функцию f (x)
с учетом выбранной подстановки или замены переменной
3) Найти dx (t )dt
4) подставить все в исходный интеграл и найти его
5) вернуться в ответе к старой переменной х .

3. Примеры

2
x
1) x 7dx
2)
1
6 x 1 dx
3)
xdx
3 x2
xdx
4) 3 x 4
5)
dx
3 5x
sin 3 x
6)
dx
2
cos 3 x 4

4. Интегрирование по частям

Пусть U (x) и V (x) - дифференцируемые функции. Тогда
d (U ( x)V ( x)) U ( x)dV ( x) V ( x)dU ( x).
Поэтому U ( x)dV ( x) d (U ( x)V ( x)) V ( x)dU ( x).
Вычисляя интеграл от обеих частей, с учетом того, что
d (U ( x)V ( x)) U ( x)V ( x) C , получаем
U ( x)dV ( x) UV V ( x)dU ( x)
называемое формулой интегрирования по частям

5. Только по частям берутся интегралы следующих типов

6.

• Схема интегрирования по частям предполагает
предварительное разбиение подынтегрального
выражения на произведение двух сомножителей U и dV.
При этом основным критерием правильности разбиения
служит то, что интеграл в правой части схемы VdU
должен быть проще или, по крайней мере, не сложнее
исходного интеграла UdV .
• Применяя метод, интегрирования по частям, следует
руководствоваться следующим правилом:
• 1.Если в подынтегральное выражение входит
произведение многочлена на показательную или
тригонометрическую функцию, то в качестве функции
U берется многочлен (интегралы I типа) .
• 2. За U всегда берутся логарифмическая и обратная
тригонометрическая функции (интегралы II типа).

7. Примеры

Пример. Вычислить x cos xdx .
Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

8. Примеры

Пример. Вычислить
dx
u ln x, du
2
2
dx
x
x
x
ln x
=
x ln xdx
2
2 x
2
x
dv xdx, v
2
1 x2
x2
1
x2
C .
ln x
ln x xdx
=
2 2
2
2
2

9. Примеры

• Найти интегралы:
• 1. x sin 5 xdx 2. ln( x 1)dx 3. ln( x 2 4)dx
2
x
tg
2 xdx
5.
• 4. arctg 2 xdx
• 7. arcctg 5 xdx 8. xe 2 x dx
• 10. e
2x
2
(
x
1) ln xdx
6.
2
3
x
9. x e dx
5x
e
cos 2 x dx
cos 3x dx 11.