Методы интегрирования
Метод замены переменной
Метод замены переменной
Метод замены переменной
Метод замены переменной
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям
Определенный интеграл
Определенный интеграл
Определенный интеграл
Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница)
Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Физический смысл определенного интеграла
Вычисление площадей и объемов
Площадь фигуры,
Объем тела,
972.24K
Category: mathematicsmathematics

Методы интегрирования

1. Методы интегрирования

Неопределенный интеграл

2. Метод замены переменной

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом
подстановки) заключается в преобразовании интеграла f x dx в
интеграл F u du , который легко вычисляется по какой-либо из основных
формул интегрирования.
Для нахождения интеграла f x dx заменяем переменную x новой
переменной u с помощью подстановки x u . Дифференцируя это
равенство, получим dx u du . Подставляя в подынтегральное
выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u и du, имеем
f x dx f u u du F u du.
После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с
помощью подстановки u x он приводится к переменной x.

3. Метод замены переменной

Найдите следующие интегралы:
1) 3x 2 dx .
5
Решение:
Введём подстановку 3x 2 u . Дифференцируя, имеем 3dx du , откуда
1
dx du
3
Подставив в данный интеграл вместо 3x 2 и
dx их выражения, получим:
1 5
1 u6
1 6
3x 2 dx 3 u du 3 6 C 18 u C.
5
Заменив u его выражением через x, находим:
1 6
1
6
3x 2 dx 18 u C 18 3x 2 C.
5

4. Метод замены переменной

Найдите следующие интегралы:
4
2) 2 x 1 x 2 dx .
3
Решение:
Введём подстановку 2 x 3 1 u . Дифференцируя, имеем 6 x 2 dx du ,
откуда x 2 dx 1 du. Таким образом,
6
5
5
1
1
u
1 5
1
3
2
4
3
2 x 1 x dx 6 u du 6 5 C 30 u C 30 2 x 1 C.
x dx
Решение:
3)
.
3
x2 1
4
Введём подстановку x 2 1 u . Дифференцируя, имеем 2xdx du ,
1 . Таким образом,
откуда xdx
du
2
2
1
1
u
1
1
2
3
x 1 x dx u du C 2 C
C.
3
2
2
2 2
4u
x2 1
4 x2 1
x dx
3

5. Метод замены переменной

Найдите следующие интегралы:
x 2 dx
4) 3
.
5x 1
Решение:
2
Введём подстановку 5 x 3 1 u . Дифференцируя, имеем 15 x dx du ,
откуда x 2 dx 1 du . Таким образом,
15
x 2 dx
1 du
1
1
3
ln
u
C
ln
5
x
1 C.
5x3 1 15 u 15
15
Задачи для самостоятельной работы:
1. 7 2 x dx ; 2. x 3 x dx ; 3.
3
2
5
x 3 dx
5x
4
3
5
.

6. Интегрирование по частям

Интегрируя обе части равенства d u v u dv v du , получим
откуда
d u v udv v du;
u v u dv v du,
udv uv vdu.
(1)
С помощью этой формулы вычисление интеграла udv сводится к
вычислению интеграла v du , если последний окажется проще
исходного.

7. Интегрирование по частям

Найдите следующие интегралы:
1) x sin x dx .
Решение:
Пусть u x, dv sin x dx; тогда du dx , dv sin x dx , т.е.
Используя формулу (1), получим:
v cos x.
x sin x dx x cos x cos x dx x cos x sin x C.
ln x dx
2) 2 .
x
Решение:
dx
dx
dx
1
1
2
u
ln
x
,
dv
;
du
,
dv
x
dx
;
v
.
Пусть
тогда
2
2
x
x
x
x
x
Используя формулу (1), получим:
ln x dx
ln x
ln x 1
2
x 2 x x dx x x C.

8. Интегрирование по частям

Задачи для самостоятельной работы:
1) x cos x dx ;
x dx
2)
;
2
sin x

9. Определенный интеграл

Приложения определенного интеграла

10. Определенный интеграл

В декартовой прямоугольной
системе координат XOY фигура,
ограниченная осью OX, прямыми
x=a, x=b (a<b) и графиком
непрерывной неотрицательной
на отрезке [a;b] функции y=f(x),
называется криволинейной
трапецией

11. Определенный интеграл

Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем
отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем через
полученные точки прямые, параллельные оси OY.
Заданная криволинейная трапеция разобьется на n
частей. Площадь всей трапеции приближенно равна
сумме площадей столбиков.
S n f ( x0 ) x0 f ( x1 ) x1 ... f ( xn 1 ) xn 1
S Sn
по определению S lim S n , его называют
n
определенным интегралом от функции
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
b
f ( x)dx
a

12. Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница)

Для непрерывной функции
b
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b
a
a
где F(x) – первообразная функции f(x).

13. Основные свойства определенного интеграла

a
f ( x)dx 0
a
b
dx b a
a
b
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
b

14. Основные свойства определенного интеграла

b
a
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
b
b
a
a
cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
b
b
b
a
a
a
(
f
(
x
)
g
(
x
))
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx

15. Геометрический смысл определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
положительной на промежутке [a;b] функции
f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
b
S f ( x)dx
a

16. Геометрический смысл определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x),
осью x и прямыми x=a и x=b:
b
S f ( x)dx
a

17. Геометрический смысл определенного интеграла

Замечание: Если функция изменяет знак на
промежутке [a;b] , то
b
S1 S 2 f ( x)dx
a

18. Физический смысл определенного интеграла

При прямолинейном движении перемещение s
численно равно площади криволинейной
трапеции под графиком зависимости скорости v
от времени t:
t2
S v(t )dt
t1

19.

Пример
Вычислить определённый интеграл:
Решение:
1
=
-2

20. Вычисление площадей и объемов

с помощью определенного интеграла

21. Площадь фигуры,

Ограниченной графиками непрерывных
функций y=f(x) и y=g(x) таких, что f ( x) g ( x)
для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек
пересечения графиков функций:
b
S ( f ( x) g ( x)) dx
a

22. Объем тела,

полученного в результате вращения вокруг оси
x криволинейной трапеции, ограниченной
графиком непрерывной и неотрицательной
функции y=f(x) на отрезке [a;b]:
b
V f ( x)dx
2
a
English     Русский Rules