Неопределённый интеграл

1. Неопределённый интеграл

2. Содержание

1.
2.
3.
4.
Первообразная и неопределённый интеграл
Основные свойства неопределённого интеграла
Таблица интегралов
Методы интегрирования:
непосредственное интегрирование;
метод замены переменной;
интегрирование по частям

3. Первообразная и неопределённый интеграл

Функция F x называется первообразной для функции f x в промежутке a x b ,
если в любой точке этого промежутка её производная равна f x :
F x f x dF x f x dx, a x b.
Отыскание первообразной функции по заданной её производной f x или по
дифференциалу f x dx есть действие, обратное дифференцированию, интегрирование.
Совокупность первообразных для функции f x или для дифференциала f x dx
называется неопределённым интегралом и обозначается символом f x dx .
Таким образом,
d F x C f x dx.
Здесь, f x - подынтегральная функция, f x dx - подынтегральное выражение,
f x dx F x C ,
С – произвольная постоянная.
если

4. Основные свойства неопределённого интеграла

1. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой
функции плюс произвольная постоянная:
dF x F x C.
2. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному
выражению, а производная неопределённого интеграла равна
подынтегральной функции:
d f x dx f x dx,
f x dx f x .
3. Неопределённый интеграл алгебраической суммы функций равен
алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций:
f x x d x f x dx x dx.
4. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить
за знак неопределённого интеграла:
af x dx a f x dx.
5. Если f x dx F x C и u x - любая известная функция, имеющая
непрерывную производную, то
f u du F u C.

5. Таблица интегралов

1. dx x C ;
n 1
x
2. x n dx
C n 1 ;
n 1
dx
3.
ln x C ;
x
x
a
4. a x dx
C;
ln a
5. e dx e C ;
x
x
6. sin x dx cos x C ;
7. cos x dx sin x C ;
dx
8.
tg x C ;
2
cos x
dx
ctg x C ;
2
sin x
dx
1
x a
10. 2
ln
C;
2
x a
2a x a
9.
11.
12.
dx
x2 a2
dx
ln x x 2 a 2 C ;
arcsin
x
C;
a
a2 x2
dx
1
x
13. 2
arctg C.
2
x a
a
a

6. Непосредственное интегрирование

Непосредственное
интегрирование
основано
на
прямом
использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться
следующие случаи:
1. данный интеграл находится непосредственно по соответствующему
табличному интегралу;
2. данный интеграл после применения свойств 3) и 4) приводится к
одному или нескольким табличным интегралам;
3. данный
интеграл
после
элементарны
тождественных
преобразований над подынтегральной функцией и применения
свойств 3) и 4) приводится к одному или нескольким табличным
интегралам.

7. Непосредственное интегрирование

Найдите следующие интегралы:
1) 5dx.
Решение:
На основании свойства 4) постоянный множитель 5 можно вынести за знак
интеграла и, используя формулу 1, получим: 5dx 5 dx 5 x C.
2) 6 x 2 dx.
Решение:
Используя свойство 4) и формулу 2, получим:
2 1
x
2
2
3
6
x
dx
6
x
dx
6
C
2
x
C.
2 1
3) 4 x 2 x 3 dx.
Решение:
Используя свойства 3) и 4) и формулы 2 и 1, имеем:
x3
x2
4 3
2
4
x
x
3
dx
4
x
dx
4
x
dx
12
dx
4
4
12
x
C
x
2
x
12 x C.
3
2
3
2
2
Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трёх постоянных
интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную
C1 C2 C3 C

8. Непосредственное интегрирование

Найдите следующие интегралы:
4) 2 3x 1 dx .
2
Решение:
2
2
3
2
2
3
x
1
dx
18
x
12
x
2
dx
18
x
dx
12
x
dx
2
dx
6
x
6
x
2 x C.
2
x 3 3x 2 4 x
5)
dx .
x
Решение:
x3 3x 2 4 x
1 3 3 2
2
2
dx x 3x 4 dx x dx 3 x dx 4 dx x x 4 x C.
x
3
2
Задачи для самостоятельной работы:
1. 4 x 3 dx ; 2. 2 x 1 dx ; 3.
3
x2 x
dx .
3x

9. Метод замены переменной

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом
подстановки) заключается в преобразовании интеграла f x dx в
интеграл F u du, который легко вычисляется по какой-либо из
основных формул интегрирования.
Для нахождения интеграла f x dx заменяем переменную x новой
переменной u с помощью подстановки x u . Дифференцируя это
равенство, получим dx u du . Подставляя в подынтегральное
выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u и du, имеем
f x dx f u u du F u du.
После того как интеграл относительно новой переменной u будет
найден, с помощью подстановки u x он приводится к
переменной x.

10. Метод замены переменной

Найдите следующие интегралы:
1) 3x 2 dx .
5
Решение:
Введём подстановку 3x 2 u . Дифференцируя, имеем 3dx du ,
1
откуда dx du . Подставив в данный интеграл вместо 3x 2 и dx
их выражения,3 получим:
1 5
1 u6
1 6
3x 2 dx 3 u du 3 6 C 18 u C.
5
Заменив u его выражением через x, находим:
1 6
1
6
3x 2 dx 18 u C 18 3x 2 C.
5

11. Метод замены переменной

Найдите следующие интегралы:
4
2) 2 x 1 x 2 dx .
3
Решение:
Введём подстановку 2 x 3 1 u . Дифференцируя, имеем 6 x 2 dx du ,
1
откуда x 2 dx du . Таким образом,
6
5
5
1 4
1 u
1 5
1
3
2 x 1 x dx 6 u du 6 5 C 30 u C 30 2 x 1 C.
x dx
3)
.
3
2
x 1
Решение:
4
3
2
2
Введём подстановку x 1 u . Дифференцируя, имеем 2xdx du ,
1
откуда xdx
du. Таким образом,
2
2
1
1
u
1
1
2
3
x 1 x dx u du C 2 C
C.
3
2
2
2 2
4u
x2 1
4 x2 1
x dx
3

12. Метод замены переменной

Найдите следующие интегралы:
x 2 dx
4) 3
.
5x 1
Решение:
3
2
Введём подстановку 5 x 1 u . Дифференцируя, имеем 15 x dx du ,
1
2
du . Таким образом,
откуда x dx
15
x 2 dx
1 du
1
1
3
ln
u
C
ln
5
x
1 C.
5x3 1 15 u 15
15
Задачи для самостоятельной работы:
1. 7 2 x dx ; 2. x 3 x dx ; 3.
3
2
5
x 3 dx
5x
4
3
5
.

13. Интегрирование по частям

Интегрируя обе части равенства
d u v u dv v du, получим
d u v udv v du;
откуда
u v u dv v du,
udv uv vdu.
(14)
С помощью этой формулы вычисление интеграла udv сводится к
вычислению интеграла v du , если последний окажется проще
исходного.

14. Интегрирование по частям

Найдите следующие интегралы:
1) x sin x dx .
Решение:
Пусть u x, dv sin x dx; тогда du dx , dv sin x dx , т.е. v cos x.
Используя формулу (14), получим:
x sin x dx x cos x cos x dx x cos x sin x C.
ln x dx
2) 2 .
x
Пусть u ln x, dv
Решение:
dx
dx
dx
1
1
2
;
тогда
du
,
dv
x
dx
;
v
.
2
2
x
x
x
x
x
Используя формулу (14), получим:
ln x dx
ln x
ln x 1
2
x 2 x x dx x x C.

15. Интегрирование по частям

Найдите следующий интеграл:
3) x 2 a 2 dx .
Решение:
Пусть u x 2 a 2 , dv dx; тогда du
По формуле (14) получим:
1.
2
x a
2
2
x a
2
2
, v x.
x 2 dx
.
x a
В числителе подынтегральной функции последнего интеграла
2
прибавим и вычтем a и представим этот интеграл в виде суммы двух
интегралов:
2.
x a dx x
2
x dx
x a dx x x a
2
2
2
2
x2 a2 a2
x a
2
2
dx x x a
2
2
2
2
x2 a2
x a
2
2
3.
Последний интеграл находим по формуле (11):
x 2 a 2 dx x x 2 a 2 x 2 a 2 dx a 2 ln x
dx a
2
dx
x a
2
2
x 2 a 2 C.
.

16. Интегрирование по частям

4.
Перенеся
2
x 2 a 2 dx из правой части в левую, получим:
x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x
x2 a 2 C,
или окончательно
2
1
a
x 2 a 2 dx x x 2 a 2
ln x
2
2
x 2 a 2 C.
Задачи для самостоятельной работы:
x dx
2
2
1) x cos x dx ; 2)
;
3
)
x
a
dx .
2
sin x