Неопределенный интеграл
План лекции:
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Немного истории
Интеграл в древности
Исаак Ньютон (1643-1727)
Свойства интеграла, вытекающие из определения
Свойства интеграла, вытекающие из определения
Свойства интеграла
Таблица неопределенных интегралов
Таблица неопределенных интегралов
Примеры
Методы интегрирования
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование
Метод замены переменной
Пример 1. Вычислить интеграл
Пример 2. Вычислить интеграл
Пример 3. Вычислить интеграл
Пример 4. Вычислить интеграл
Пример 5. Вычислить интеграл
Пример 6. Вычислить интеграл
Метод замены переменной
Метод замены переменной
Примеры
Примеры
830.00K
Category: mathematicsmathematics

Неопределенный интеграл

1. Неопределенный интеграл

2. План лекции:

1.Первообразная и неопределенный
интеграл
2.Свойства интеграла, вытекающие из
определения
3.Таблица неопределённых интегралов
4.Методы интегрирования
1) Непосредственное интегрирование
2) Метод замены переменной
3) Интегрирование по частям

3. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Функция F x называется
первообразной функции f x , определенной
на некотором промежутке, если F x f x
для каждого x из этого промежутка.
Например, функция cos x является
первообразной функции sin x , так как
cos x sin x .

4. Первообразная и неопределенный интеграл

Очевидно, если F x - первообразная
функции f x , то F x C , где C некоторая постоянная, также является
первообразной функции f x .
Если F x есть какая-либо
первообразная функции f x , то всякая
функция вида Ф x F x C также
является первообразной функции f x и
всякая первообразная представима в
таком виде.

5. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Совокупность всех
первообразных функции f x ,
определенных на некотором промежутке,
называется неопределенным интегралом от
функции f x на этом промежутке и
обозначается f x dx .

6. Первообразная и неопределенный интеграл

Если F x - некоторая первообразная функции f x ,
то пишут f x dx F x C , хотя правильнее бы
писать f x dx F x C .
Мы по устоявшейся традиции буде м писать
f x dx F x C .
Тем самым один и тот же символ f x dx будет
обозначать как всю совокупность первообразных
функции f x , так и любой элемент этого
множества.

7. Немного истории

«Интеграл» придумал Якоб Бернулли (1690г.)
«восстанавливать» от латинского integro
«целый» от латинского integer
«Примитивная функция»,
от латинского
primitivus – начальный,
ввел
Жозеф Луи Лагранж
(1797г.)

8. Интеграл в древности

Первым известным методом для расчёта
интегралов является метод исчерпания
Евдокса (примерно 370 до н. э.), который
пытался найти площади и объёмы, разрывая
их на бесконечное множество частей, для
которых площадь или объём уже известен.
Архимед
Этот метод был подхвачен и развит
Архимедом, и использовался для
расчёта площадей парабол и
приближенного расчёта площади
круга.
Евдокс Книдский

9. Исаак Ньютон (1643-1727)

Наиболее полное изложение
дифференциального и
интегрального исчислений
содержится в
«Методе флюксий...»
(1670–1671, опубликовано в 1736).
Переменные величины флюенты(первообразная или
неопределенный интеграл)
Скорость изменения флюент –
флюксии (производная)

10.

• Площадь фигуры
• Объем тела вращения
• Работа электрического заряда
• Работа переменной силы
• Центр масс
• Формула энергии заряженного
конденсатора

11. Свойства интеграла, вытекающие из определения

Производная неопределенного интеграла
равна подынтегральной функции, а его
дифференциал- подынтегральному
выражению. Действительно:
1.( f ( x)dx) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x);
2.d f ( x)dx ( f ( x)dx) dx f ( x)dx.

12. Свойства интеграла, вытекающие из определения

Неопределенный интеграл от
дифференциала непрерывно
дифференцируемой функции равен
самой этой функции с точностью до
постоянной:
3. d ( x) ( x)dx ( x) C ,
так как (x )
является первообразной
для (x).

13. Свойства интеграла

Сформулируем далее следующие свойства
неопределенного интеграла:
4.Если функции f1 x и f 2 x имеют
первообразные, то функция f1 x f 2 x
также имеет первообразную, причем
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

14. Таблица неопределенных интегралов

1. dx x C .
a 1
x
a
2. x dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

15. Таблица неопределенных интегралов

11.
dx
1 x
arcsin x C .
2
16.
dx
1
x
12. 2 2 arctg C
a
a
a x
13.
dx
a2 x2
arcsin
x
C ..
a
dx
1
x a
ln
C
14. 2 2
2a x a
x a
dx
1
a x
C .
15. 2 2 ln
2a a x
a x
dx
x2 a
ln x x 2 a C .

16. Примеры

Пример. Вычислить x 3x x 1 dx .
Решение. Так как под знаком интеграла
находится сумма четырех слагаемых, то
раскладываем интеграл на сумму
четырех интегралов:
2
3
2
3
2
3
x 3x x 1 dx x dx 3 x dx xdx dx .
3
4
2
x
x x
3 x C
3
4 2

17. Методы интегрирования

18. Непосредственное интегрирование

19. Непосредственное интегрирование

Найдите следующие интегралы:
1) 5dx.
Решение:
На основании свойства 4) постоянный множитель 5 можно вынести за знак
интеграла и, используя формулу 1, получим:
2) 6 x 2 dx.
Решение:
5dx 5 dx 5 x C.
Используя свойство 4) и формулу 2, получим:
2 1
x
2
2
3
6
x
dx
6
x
dx
6
C
2
x
C.
Решение:2 1
2
3
)
4
x
x 3 dx
Используя
3) .и 4) и формулы 2 и 1, имеем:
свойства
x3
x2
4 3
2
4
x
x
3
dx
4
x
dx
4
x
dx
12
dx
4
4
12
x
C
x
2
x
12 x C.
Постоянная интегрирования
С равна
алгебраической
3
2
сумме 3трёх постоянных
2
2
интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную
C1 C2 C3 C

20. Метод замены переменной

Пусть требуется найти f x dx , причем
непосредственно подобрать
первообразную для f x мы не можем, но
нам известно, что она существует. Часто
удается найти первообразную, введя
новую переменную, по формуле
f x dx f t t dt , где x t , а t - новая
переменная

21. Пример 1. Вычислить интеграл

2 x 1 dx
10
2x 1 t
d 2 x 1 dt
2 dx dt
dt
dx
2
2 x 1
10
1 10
1 t
2 x 1
dx t dt
C
C
2
2 11
22
11
11

22. Пример 2. Вычислить интеграл

4 x 5 dx
4x 5 t
d 4 x 5 dt
4 dx dt
dt
dx
5
1
2
3
2
1
1
1 t
4 x 5 dx t dt t dt C
5
5
5 3
2
2 t3
2t t
2 4 x 5 4 x 5
C
C
C
15
15
15

23. Пример 3. Вычислить интеграл

sin 2 3x dx
2 3x t
d 2 3 x dt
3 dx dt
dt
dx
3
1
1
1
sin 2 3x dx 3 sin t dt 3 cos t C 3 cos 2 3x C

24. Пример 4. Вычислить интеграл

ln x t
d ln x dt
1
dx dt
x
6
6
ln 5 x
t
ln
x
5
x dx t dt 6 C 6 C
ln 5 x
x dx

25. Пример 5. Вычислить интеграл

3
sin
x cos x dx
sin x t
d sin x dt
cos x dx dt
4
4
t
sin x
sin x cos x dx t dt 4 C 4 C
3
3

26. Пример 6. Вычислить интеграл

x
4
x
4
t
t
e
dx
4
e
dt
4
e
C 4e C
x
t
4
x 4t
dx d 4t
dx 4 dt
x
4
e dx

27. Метод замены переменной

Найдите следующие интегралы:
1) 3x 2 dx .
5
Решение:
Введём подстановку
. Дифференцируя, имеем
, откуда
3dx du
. Подставив в1 данный3интеграл
и
их выражения,
x 2 u вместо
dx du
dx
3x 2
получим:
3
1 5
1 u6
1 6
3x 2 dx u du C u C.
Заменив u его выражением через
3 x, находим:
3 6
18
5
1 6
1
6
3x 2 dx 18 u C 18 3x 2 C.
5

28. Метод замены переменной

Найдите следующие интегралы:
Введём подстановку
Решение:
. Дифференцируя, имеем
2 x 3 1
u
. Таким
образом,
1
x 2 dx du
6
5
4
2) 2 x 1 x 2 dx .
3
откуда
,
6 x 2 dx du
5
1 4
1 u
1 5
1
3
2 x 1 x dx 6 u du 6 5 C 30 u C 30 2 x 1 C.
x dx
3)
.
Решение:
3
2
x 1
Введём подстановку
. Дифференцируя, имеем
,
4
3
2
откуда
xdx
2
x
1 образом,
u
. Таким
1
2
2xdx du
du
2
1
1
u
1
1
2
3
x2 1 3 x 1 x dx 2 u du 2 2 C 4u 2 C 4 x2 1 2 C.
x dx
3

29.

Метод интегрирования по частям
Пусть u u ( x) и v v( x) - функции
имеющие непрерывные
d (uv) u dv v du.
производные.Тогда
Интегрируя это равенство, получим :
d
(
uv
)
udv
vdu
или
udv
uv
vdu
Полученная формула называется
формулой интегрирования по частям .

30.

Укажем некоторые типы интегралов,которые удобно
вычислять методом интегрирования по частям.
1.Интегралы вида
P
(
x
)
e
dx
,
P
(
x
)
sin
kxdx
,
P
(
x
)
cos
kxdx
,
kx
где
,
P( x) многочлен, k число. u P( x) Удобно положить
а за dv обозначить все остальные сомножители.

31.

2.Интегралы вида
P( x)arcsin xdx, P( x)arccos xdx, P( x)ln xdx,
P
(
x
)
arctgxdx
,
P
(
x
)
arcctgxdx
.
u
Удобно положить P( x) dv,
а за
обозначить остальные сомножители.

32.

3.Интегралы вида
e
sin
bxdx
,
ax
Где a
и b
u e .
ax
- числа. За u
e
cos
bxdx
,
ax
можно принять функцию
3x
(2
x
1)
e
dx.
Пример № 1. Найти
u 2x 1
(можно
Решение:Пусть
положить С=0)
dv e3 x dx
du 2dx
1
v e3 x dx e3 x
3
Следовательно по формуле интегрирования почастям:
1 3x 1 3x
1
2 3x
3x
(2x 1)e dx (2x 1) 3e 3e 2dx 3 (2x 1)e 9 e C
3x

33.

Пример №2. Найти
Решение: Пусть
Поэтому
ln xdx.
u ln x
dv dx
1
du x dx
v dx x
1
ln xdx x ln x x xdx x ln x x C

34.

Пример №3. Найти
Решение: Пусть
2
x
x
e
dx
u x2
x
dx
e
dv
du 2 xdx
x
e
v
.Поэтому
2 x
2 x
x
x
e
dx
x
e
2
e
xdx.
x
e
Для вычисления интеграла xdx
метод интегрирования по частям :
снова применим
u x
x
dv e dx
du dx
x
x
v
e
dx
e
Значит,
Поэтому
x
x
x
x
x
e
xdx
x
e
e
dx
x
e
e
C
2 x
2 x
x
x
x
e
dx
x
e
2(
x
e
e
C
)

35.

Пример. Найти
Решение:Пусть
Поэтому
arctgxdx .
u arctgx
dv dx
1
du 1 x 2 dx
v dx x
x
1 d (1 x )
arctgxdx x arctgx 1 x2 dx x arctgx 2 1 x2
1
2
x arctgx ln(1 x ) C
2
2

36. Примеры

Пример. Вычислить
dx
u ln x, du
x
x2
x 2 dx
=
ln x
x ln xdx
2
2
2 x
x
dv xdx, v
2
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C .
=
2
2
2
2 2

37. Примеры

Пример. Вычислить x cos xdx .
Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .
English     Русский Rules