Неопределенный интеграл

1. Неопределенный интеграл

2. План лекции:

1.Первообразная и неопределенный
интеграл
2.Свойства интеграла, вытекающие из
определения
3.Таблица неопределённых интегралов
4.Методы интегрирования
1) Непосредственное интегрирование
2) Метод замены переменной
3) Интегрирование по частям

3. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Функция F x называется
первообразной функции f x , определенной
на некотором промежутке, если F x f x
для каждого x из этого промежутка.
Например, функция cos x является
первообразной функции sin x , так как
cos x sin x .

4. Первообразная и неопределенный интеграл

Очевидно, если F x - первообразная
функции f x , то F x C , где C некоторая постоянная, также является
первообразной функции f x .
Если F x есть какая-либо
первообразная функции f x , то всякая
функция вида Ф x F x C также
является первообразной функции f x и
всякая первообразная представима в
таком виде.

5. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Совокупность всех
первообразных функции f x ,
определенных на некотором промежутке,
называется неопределенным интегралом от
функции f x на этом промежутке и
обозначается f x dx .

6. Первообразная и неопределенный интеграл

Если F x - некоторая первообразная функции f x ,
то пишут f x dx F x C , хотя правильнее бы
писать f x dx F x C .
Мы по устоявшейся традиции буде м писать
f x dx F x C .
Тем самым один и тот же символ f x dx будет
обозначать как всю совокупность первообразных
функции f x , так и любой элемент этого
множества.

7. Немного истории

«Интеграл» придумал Якоб Бернулли (1690г.)
«восстанавливать» от латинского integro
«целый» от латинского integer
«Примитивная функция»,
от латинского
primitivus – начальный,
ввел
Жозеф Луи Лагранж
(1797г.)

8. Интеграл в древности

Первым известным методом для расчёта
интегралов является метод исчерпания
Евдокса (примерно 370 до н. э.), который
пытался найти площади и объёмы, разрывая
их на бесконечное множество частей, для
которых площадь или объём уже известен.
Архимед
Этот метод был подхвачен и развит
Архимедом, и использовался для
расчёта площадей парабол и
приближенного расчёта площади
круга.
Евдокс Книдский

9. Исаак Ньютон (1643-1727)

Наиболее полное изложение
дифференциального и
интегрального исчислений
содержится в
«Методе флюксий...»
(1670–1671, опубликовано в 1736).
Переменные величины флюенты(первообразная или
неопределенный интеграл)
Скорость изменения флюент –
флюксии (производная)

10.

• Площадь фигуры
• Объем тела вращения
• Работа электрического заряда
• Работа переменной силы
• Центр масс
• Формула энергии заряженного
конденсатора

11. Свойства интеграла, вытекающие из определения

Производная неопределенного интеграла
равна подынтегральной функции, а его
дифференциал- подынтегральному
выражению. Действительно:
1.( f ( x)dx) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x);
2.d f ( x)dx ( f ( x)dx) dx f ( x)dx.

12. Свойства интеграла, вытекающие из определения

Неопределенный интеграл от
дифференциала непрерывно
дифференцируемой функции равен
самой этой функции с точностью до
постоянной:
3. d ( x) ( x)dx ( x) C ,
так как (x )
является первообразной
для (x).

13. Свойства интеграла

Сформулируем далее следующие свойства
неопределенного интеграла:
4.Если функции f1 x и f 2 x имеют
первообразные, то функция f1 x f 2 x
также имеет первообразную, причем
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

14. Таблица неопределенных интегралов

1. dx x C .
a 1
x
a
2. x dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

15. Таблица неопределенных интегралов

11.
dx
1 x
arcsin x C .
2
16.
dx
1
x
12. 2 2 arctg C
a
a
a x
13.
dx
a2 x2
arcsin
x
C ..
a
dx
1
x a
ln
C
14. 2 2
2a x a
x a
dx
1
a x
C .
15. 2 2 ln
2a a x
a x
dx
x2 a
ln x x 2 a C .

16. Примеры

Пример. Вычислить x 3x x 1 dx .
Решение. Так как под знаком интеграла
находится сумма четырех слагаемых, то
раскладываем интеграл на сумму
четырех интегралов:
2
3
2
3
2
3
x 3x x 1 dx x dx 3 x dx xdx dx .
3
4
2
x
x x
3 x C
3
4 2

17. Методы интегрирования

18. Непосредственное интегрирование

19. Непосредственное интегрирование

Найдите следующие интегралы:
1) 5dx.
Решение:
На основании свойства 4) постоянный множитель 5 можно вынести за знак
интеграла и, используя формулу 1, получим:
2) 6 x 2 dx.
Решение:
5dx 5 dx 5 x C.
Используя свойство 4) и формулу 2, получим:
2 1
x
2
2
3
6
x
dx
6
x
dx
6
C
2
x
C.
Решение:2 1
2
3
)
4
x
x 3 dx
Используя
3) .и 4) и формулы 2 и 1, имеем:
свойства
x3
x2
4 3
2
4
x
x
3
dx
4
x
dx
4
x
dx
12
dx
4
4
12
x
C
x
2
x
12 x C.
Постоянная интегрирования
С равна
алгебраической
3
2
сумме 3трёх постоянных
2
2
интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную
C1 C2 C3 C

20. Метод замены переменной

Пусть требуется найти f x dx , причем
непосредственно подобрать
первообразную для f x мы не можем, но
нам известно, что она существует. Часто
удается найти первообразную, введя
новую переменную, по формуле
f x dx f t t dt , где x t , а t - новая
переменная

21. Пример 1. Вычислить интеграл

2 x 1 dx
10
2x 1 t
d 2 x 1 dt
2 dx dt
dt
dx
2
2 x 1
10
1 10
1 t
2 x 1
dx t dt
C
C
2
2 11
22
11
11

22. Пример 2. Вычислить интеграл

4 x 5 dx
4x 5 t
d 4 x 5 dt
4 dx dt
dt
dx
5
1
2
3
2
1
1
1 t
4 x 5 dx t dt t dt C
5
5
5 3
2
2 t3
2t t
2 4 x 5 4 x 5
C
C
C
15
15
15

23. Пример 3. Вычислить интеграл

sin 2 3x dx
2 3x t
d 2 3 x dt
3 dx dt
dt
dx
3
1
1
1
sin 2 3x dx 3 sin t dt 3 cos t C 3 cos 2 3x C

24. Пример 4. Вычислить интеграл

ln x t
d ln x dt
1
dx dt
x
6
6
ln 5 x
t
ln
x
5
x dx t dt 6 C 6 C
ln 5 x
x dx

25. Пример 5. Вычислить интеграл

3
sin
x cos x dx
sin x t
d sin x dt
cos x dx dt
4
4
t
sin x
sin x cos x dx t dt 4 C 4 C
3
3

26. Пример 6. Вычислить интеграл

x
4
x
4
t
t
e
dx
4
e
dt
4
e
C 4e C
x
t
4
x 4t
dx d 4t
dx 4 dt
x
4
e dx

27. Метод замены переменной

Найдите следующие интегралы:
1) 3x 2 dx .
5
Решение:
Введём подстановку
. Дифференцируя, имеем
, откуда
3dx du
. Подставив в1 данный3интеграл
и
их выражения,
x 2 u вместо
dx du
dx
3x 2
получим:
3
1 5
1 u6
1 6
3x 2 dx u du C u C.
Заменив u его выражением через
3 x, находим:
3 6
18
5
1 6
1
6
3x 2 dx 18 u C 18 3x 2 C.
5

28. Метод замены переменной

Найдите следующие интегралы:
Введём подстановку
Решение:
. Дифференцируя, имеем
2 x 3 1
u
. Таким
образом,
1
x 2 dx du
6
5
4
2) 2 x 1 x 2 dx .
3
откуда
,
6 x 2 dx du
5
1 4
1 u
1 5
1
3
2 x 1 x dx 6 u du 6 5 C 30 u C 30 2 x 1 C.
x dx
3)
.
Решение:
3
2
x 1
Введём подстановку
. Дифференцируя, имеем
,
4
3
2
откуда
xdx
2
x
1 образом,
u
. Таким
1
2
2xdx du
du
2
1
1
u
1
1
2
3
x2 1 3 x 1 x dx 2 u du 2 2 C 4u 2 C 4 x2 1 2 C.
x dx
3

29.

Метод интегрирования по частям
Пусть u u ( x) и v v( x) - функции
имеющие непрерывные
d (uv) u dv v du.
производные.Тогда
Интегрируя это равенство, получим :
d
(
uv
)
udv
vdu
или
udv
uv
vdu
Полученная формула называется
формулой интегрирования по частям .

30.

Укажем некоторые типы интегралов,которые удобно
вычислять методом интегрирования по частям.
1.Интегралы вида
P
(
x
)
e
dx
,
P
(
x
)
sin
kxdx
,
P
(
x
)
cos
kxdx
,
kx
где
,
P( x) многочлен, k число. u P( x) Удобно положить
а за dv обозначить все остальные сомножители.

31.

2.Интегралы вида
P( x)arcsin xdx, P( x)arccos xdx, P( x)ln xdx,
P
(
x
)
arctgxdx
,
P
(
x
)
arcctgxdx
.
u
Удобно положить P( x) dv,
а за
обозначить остальные сомножители.

32.

3.Интегралы вида
e
sin
bxdx
,
ax
Где a
и b
u e .
ax
- числа. За u
e
cos
bxdx
,
ax
можно принять функцию
3x
(2
x
1)
e
dx.
Пример № 1. Найти
u 2x 1
(можно
Решение:Пусть
положить С=0)
dv e3 x dx
du 2dx
1
v e3 x dx e3 x
3
Следовательно по формуле интегрирования почастям:
1 3x 1 3x
1
2 3x
3x
(2x 1)e dx (2x 1) 3e 3e 2dx 3 (2x 1)e 9 e C
3x

33.

Пример №2. Найти
Решение: Пусть
Поэтому
ln xdx.
u ln x
dv dx
1
du x dx
v dx x
1
ln xdx x ln x x xdx x ln x x C

34.

Пример №3. Найти
Решение: Пусть
2
x
x
e
dx
u x2
x
dx
e
dv
du 2 xdx
x
e
v
.Поэтому
2 x
2 x
x
x
e
dx
x
e
2
e
xdx.
x
e
Для вычисления интеграла xdx
метод интегрирования по частям :
снова применим
u x
x
dv e dx
du dx
x
x
v
e
dx
e
Значит,
Поэтому
x
x
x
x
x
e
xdx
x
e
e
dx
x
e
e
C
2 x
2 x
x
x
x
e
dx
x
e
2(
x
e
e
C
)

35.

Пример. Найти
Решение:Пусть
Поэтому
arctgxdx .
u arctgx
dv dx
1
du 1 x 2 dx
v dx x
x
1 d (1 x )
arctgxdx x arctgx 1 x2 dx x arctgx 2 1 x2
1
2
x arctgx ln(1 x ) C
2
2

36. Примеры

Пример. Вычислить
dx
u ln x, du
x
x2
x 2 dx
=
ln x
x ln xdx
2
2
2 x
x
dv xdx, v
2
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C .
=
2
2
2
2 2

37. Примеры

Пример. Вычислить x cos xdx .
Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .