Методы интегрирования
Содержание
1. Первообразная, неопределённый интеграл и его основные свойства
Основные свойства
2. Таблица основных интегралов
3. Методы интегрирования
Непосредственное интегрирование
Метод замены переменной
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических функций
4. Примеры
Спасибо за внимание
729.08K
Category: mathematicsmathematics

Методы интегрирования

1. Методы интегрирования

*

2. Содержание

*
1. Первообразная, неопределённый интеграл и его
основные свойства
2. Таблица основных интегралов
3. Методы интегрирования:
Непосредственное интегрирование
Метод замены переменной
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических
функций
4. Примеры

3. 1. Первообразная, неопределённый интеграл и его основные свойства

*
Функция F x называется первообразной для функции f x в
промежутке a x b , если в любой точке этого промежутка её производная
равна :
F x f x dF x f x dx, a x b.
Отыскание первообразной функции по заданной её производной f x или
по дифференциалу f x dx есть действие, обратное дифференцированию, интегрирование.
Совокупность первообразных для функции f x или для дифференциала f x dx
называется неопределённым интегралом и обозначается символом f x dx
Таким образом,
f x dx F x C ,
если
d F x C f x dx.
Здесь, f x - подынтегральная функция, f x dx - подынтегральное
выражение, С – произвольная постоянная.

4. Основные свойства

*
1. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой
функции плюс произвольная постоянная:
dF x F x C.
2. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному
выражению, а производная неопределённого интеграла равна
подынтегральной функции: d f x dx f x dx,
f x dx f x .
3. Неопределённый интеграл алгебраической суммы функций равен
алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций:
f x x d x f x dx x dx.
4. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно
выносить за знак неопределённого интеграла:
af x dx a f x dx.
и u x - любая известная функция,
имеющая непрерывную производную, то
5. Если f x dx F x C
f u du F u C.

5. 2. Таблица основных интегралов

*
1. dx x C ;
x n 1
2. x dx
C n 1 ;
n 1
dx
3.
ln x C ;
x
ax
x
4. a dx
C;
ln a
n
5. e dx e C ;
x
x
6. sin x dx cos x C ;
7. cos x dx sin x C ;
8.
dx
tg x C ;
2
cos x
dx
9. 2 ctg x C ;
sin x
dx
1
x a
10. 2
ln
C;
2
x a
2a x a
11.
12.
dx
x2 a2
dx
ln x x 2 a 2 C ;
arcsin
x
C;
a
a2 x2
dx
1
x
13. 2
arctg C.
2
x a
a
a

6. 3. Методы интегрирования

*

7. Непосредственное интегрирование

*
Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании
таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:
1. данный интеграл находится непосредственно по
соответствующему табличному интегралу;
2. данный интеграл после применения свойств 3) и 4)
( 3)
f x x d x f x dx x dx.
, 4) af x dx a f x dx. )
приводится к одному или нескольким табличным интегралам
Пример:
Найти 5dx
На основании свойства 4) постоянный множитель 5 можно вынести за знак
интеграла и, используя формулу 1, получим:
5dx 5 dx 5 x C.

8. Метод замены переменной

*
Сущность интегрирования методом замены переменной (способом
подстановки) заключается в преобразовании интеграла f x dx в
интеграл F t dt, который легко вычисляется по какой-либо из
основных формул интегрирования.
Для нахождения интеграла f x dx заменяем переменную x новой
переменной t с помощью подстановки x t . Дифференцируя
это равенство, получим dx t dt . Подставляя в
подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные
через t и dt, имеем
f x dx f t t dt F t dt.
После того как интеграл относительно новой переменной t будет
найден, с помощью подстановки t x он приводится к
переменной x.

9.

Пример:
Вычислить
x
(3x 1) 2 dx
Обозначим 3x+1=t, откуда
1
x (t 1)
3
.
1
dx dt
3
Получаем
1
(t 1)
x
1
1 t 1
1 1 2
3
dx
dt
dt
t dt
(3x 1) 2 t 2 3 9 t 2
9 t
1
t 1
1
1
ln t c ln 3x 1
c
9
1
9
3x 1

10. Интегрирование по частям

*
Пусть существуют функции
English     Русский Rules