Методы интегрирования (лекция 2)

1.

ЕН.01 МАТЕМАТИКА

2.

• Первообразной функцией по отношению
к данной функции у = f(x) называется
такая функция F(x), производная от
которой равна данной функции, т.е.
F′(x) = f(x).
Для данной функции у = f(x) первообразных
функций бесчисленное множество, т.к.
любая из функций F(x) + С, также
является первообразной для у = f(x).

3.

Совокупность всех первообразных
F(x) + С для данной функции у = f(x)
называется ее неопределенным
интегралом обозначается символом:
где f(x)dx - называется подынтегральным
выражением,
функция f(x) - подынтегральной функцией.

4.

Геометрически, неопределенный интеграл
представляет собой семейство интегральных
кривых на плоскости, полученных путем
параллельного переноса графика функции
у = F(x) вдоль оси ординат (рис.3)

5.

Свойство 1. Производная неопределенного
интеграла равна подынтегральной функции:
f x dx f x
Свойство 2. Дифференциал неопределенного
интеграла равен подынтегральному
выражению:
d f x dx f x dx

6.

Свойство 3. Интеграл от дифференциала
функции равен этой функции плюс const:
Свойство 4. Линейность интеграла.

7.

Функция
Степенная
Интеграл

8.

Функция
Показательная
Интеграл

9.

Функция
Тригонометрические
Интеграл

10.

Функция
Обратные
тригонометрические
Интеграл

11.

12.

13.

Непосредственное интегрирование – это
метод, основанный на
тождественных
применении
преобразований
подынтегральной функции, а также
основных свойств
интеграла
неопределенного
и табличных
интегралов.

14.

Наиболее часто используются
следующие преобразования
подынтегральной функции:
Деление числителя на знаменатель
почленно;
Применение формул сокращенного
умножения;
Применение тригонометрических
тождеств.

15.

• Используя свойство неопределенного интеграла,
вынесем за знак интеграла постоянный
множитель.
• Затем, выполняя элементарные
математические преобразования, приведем
подынтегральную функцию к степенному виду:
1
2
3
2
5
2
2x
4 5
2 x xdx 2 x x dx 2 x dx 2 5 5 x C

16.

3 3 x2 2x
dx
x
Решение:
3 3 х2 2х
3 3 x2 2x
dx
dx
х
x
х
х
1
1
12
6
2
3 x x 2 x dx
1
2
7
6
3
2
2 3x
6 x
2 2x
1
7
3
66 7 4 3
6 x
x
x C
7
3

17.

3
2
x
dx
2
Решение:
3 2 x dx 9 12 х 4 х dx
2
3
2
2 12 x
4x2
9x
C 9 x 8 x3 2 x 2 C
3
2

18.

ctg
x
dx
2
Решение:
cos x
1 sin x
ctg xdx sin 2 x dx sin 2 x dx
1
2 1 dx ctgx x C
sin x
2
2
2

19.

20.

Замена переменной (метод подстановки) –
это метод, заключающийся во введении
новой переменной с целью
преобразования данного интеграла в
табличный.

21.

• Чаще всего этот метод
используется, если в подынтегральном
выражении содержится сложная
функция, тогда ее промежуточный
аргумент и надо обозначить как
новую переменную.

22.

Далее необходимо выполнить следующие действия:
• Найти дифференциал новой переменной
;
• Записать прежний интеграл, используя только
переменную t, если подстановка сделана правильно, то
полученный интеграл
должен быть
табличным;
• используя таблицу интегралов, записать решение для
подынтегральной функции
;
• Осуществить обратную подстановку, заменив
переменную t.

23.

Подстановка (замена переменной) в определённом
интеграле - необходимо выполнить следующие
действия:
– Ввести новую переменную t = t (x);
– Найти дифференциал новой переменной dt = t′ (x)dx;
– вычислить новые значения пределов интегрирования:
α = t (a) и β = t (b)
– Записать прежний интеграл, используя только
переменную t и новые пределы α и β;
– Используя таблицу интегралов, записать решение для
полученной подынтегральной функции;
– Применив формулу Ньютона-Лейбница, вычислить
значение определенного интеграла.
Замечание. При вычислении определённых интегралов с
помощью подстановки нет необходимости
возвращаться к первоначальному аргументу.

24.

Сделаем замену переменной t = sin x, тогда
dt = (sin x)′dx = cos x dx.
Исходный интеграл имеет вид:
t sin x
2
sin
x
cos
xdx
t
dt
dt cos xdx
2
Таким образом, мы получили неопределенный интеграл
табличного вида: степенная функция.
Используя правило нахождения неопределенного
интеграла от степенной функции, найдем:

25.

3
t
2
t
dt 3 C
Сделав обратную замену, получим окончательный
ответ:
1 3
sin x cos xdx 3 sin x C
2
1 3
Ответ: sin x C
3

26.

x 2 x dx
4
2
Решение:
4
2 x2 t
2 x t
x 2 x dx
2
4
2 x dx t dt
2
4
2
4
2 xdx 4t 3dt; xdx 2t 3dt
5
2t
2t tdt 2t dt
C 0,4t 5 C
5
3
4
0,4 2 х С
4
2 5

27.

x
e
dx
x2
Решение:
х2 t
x2
2
x e dx x dx t dt
dt
2 xdx dt; xdx
2
1 t
1 t
1 t
x2
e dt e dt e C 0,5e C
2
2
2

28.

29.

Метод интегрирования по частям – это
метод, заключающийся в использовании
формулы:

30.

• Данный метод интегрирования основан на
тождестве:
d uv udv vdu udv d uv vdu
где u = f(x) и v = φ(x) - две функции, имеющие на
данном промежутке производные.
Взяв интеграл от обеих частей данного
тождества, будем иметь:
u
dv
d
uv
v
du
u
dv
uv
v
du

31.

x ln xdx
2
Решение:
u ln x du ln x dx
dx
x
ln
x
dx
dv
x
dx
du
x
1 3
2
v x dx x
3
2
2

32.

3
3
x
x dx
x ln xdx uv vdu ln x 3 3 x
3
1 3
1 x
1 3
1 3
x ln x x ln x x C
3
3 3 3
9
2
1 3
1 3
Ответ: x ln x x C
3
9

33.

x
cos
6
x
dx
Решение:
u x du dx
x cos 6 xdx dv cos 6 xdx
1
v cos 6 xdx sin 6 x
6
1
1
x cos 6 xdx uv vdu 6 x sin 6 x 6 sin 6 xdx
1
1
x sin 6 x cos 6 x C
6
36
Ответ:
1
1
x sin 6 x cos 6 x C
6
36