Метод интегрирования по частям

1. ГБПОУ НСО «Новосибирский профессионально – педагогический колледж»

МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ПО ЧАСТЯМ
Автор: Припускова И. Г.,
преподаватель
математики

2.

Цель: продолжать знакомиться с методами
интегрального исчисления (метод
интегрирования по частям); получить навыки
вычисления интегралов методом
интегрирования по частям.
План лекции:
1. Метод интегрирования по частям.
2. Вычисление неопределенных интегралов.
3. Вычисление определенных интегралов.

3. СУТЬ МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

Этот метод основан на правиле
дифференцирования произведения
Пусть u = u(x), v = v(x) – функции, дифференцируемые на
некотором
промежутке
Х.
Тогда,
как
известно,
дифференциал произведения этих функций вычисляется по
формуле:
d(u·v)=u´dv + v´du
Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого
равенства, получим:
ʃd(u·v)=ʃ(udv + vdu)

4.

СУТЬ МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ПО ЧАСТЯМ
Но ʃd(u·v) = u·v + C,
a ʃ(udv + vdu) = ʃudv + ʃvdu;
поэтому
u·v + C = ʃudv + ʃvdu,
откуда получаем:
ʃudv = uv + C - ʃvdu.

5.

СУТЬ МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ПО ЧАСТЯМ
Так как ʃv´du уже содержит произвольную
постоянную, то в правой части полученного
равенства можно опустить С и записать
равенство в виде:
ʃudv = uv - ʃvdu
(1).
Эта формула называется
формулой интегрирования по частям.
Ею обычно пользуются в тех случаях, когда
подынтегральное выражение v´du проще, чем
подынтегральное выражение u´dv.

6.

СУТЬ МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ПО ЧАСТЯМ
Важно!!!
Одно и то же подынтегральное выражение можно записать
в виде udv различными способами.
Обычно стараются в подынтегральном выражении выделить
части u и dv так, чтобы функция v была не сложнее,
чем v', а u' проще, чем u.
В частности, полезно иметь в виду, что для таких функций, как
lnx, xⁿ, arctgx, arcctgx производные имеют более простой вид,
нежели сами функции. Поэтому в большинстве случаев эти
функции удобно принимать за u.

7.

ВИДЕО
«ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ»
https://yandex.ru/video/preview/?text=решение%20интегралов%20методом%2
0интегрирования%20по%20частям%20онлайн%20с%20подробным%20реше
нием&path=wizard&parent-reqid=161020289635285084694701773426731600107-production-app-host-vla-web-yp36&wiz_type=vital&filmId=9310863052833472844
https://yandex.ru/video/preview/?text=решение%20интегралов%20методом
%20интегрирования%20по%20частям%20онлайн%20с%20подробным%20
решением&path=wizard&parent-reqid=161020289635285084694701773426731600107-production-app-host-vla-web-yp36&wiz_type=vital&filmId=15359783304643963619

8.

ПРИМЕР 1. Вычислите
Табличного интеграла логарифмической
функции нет, следовательно другого пути нет,
как принять его за u.
u ln x
dv x 3 dx
4
4
4
4
x
x
dx
x
1
x
1 4
3
x
3
х ln xdx v x dx 4 ln x 4 x 4 ln x 4 x dx 4 ln x 16 x C
4
dx
du
x
3
4

9.

ПРИМЕР 2. Вычислите
Производная степенной функции понижает
показатель степени на 1,
поэтому удобнее ее взять за u.
u x
u x2
x
2
sin xdx
du 2 xdx
dv sin xdx
v sin xdx cos x
x cos x 2 x cos xdx
2
du dx
dv cos xdx
v cos xdx sin x
x 2 cos x 2( x sin x sin xdx) x 2 cos x 2 x sin x 2 cos x C

10.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ
Теорема.
Если функции u = u(x) и v = v(x)
дифференцируемы на отрезке [a; b], то
имеет место формула
b
b
u
dv
uv
v
du
b
a
a
a

11.

e
ПРИМЕР 3. Вычислите
x ln x dx
1
e
e
2
x2
1
x
e
x
ln
x
dx
ln
x
dx
1
1
2
21 x
u ln x
du dx
x
dv x dx
2
x
v
2
e
x2
1
e
ln x 1 x dx
2
21
2
x2
x
ln x 1e
2
4
e
1
e2
e2 1 e2 e2 1 1 e2
1
ln e ln 1
2 4 4 2 4 4
4
2

12.

ПРИМЕР 4. Вычислите
e
x
sin x dx
0
e
x
sin x dx e cos x 0
x
0
e cos x 0 e sin x 0
x
x
u e x
dv sin x dx
e cos x dx
x
v cos x
du e dx
0
x
u e x
dv cos x dx
e sin x dx
x
v sin x
du e dx
0
x
Пусть F ( x) e x sin x dx Тогда F ( x) e x cos x 0 e x sin x 0 F ( x)
0
2 F ( x) e x cos x 0 e x sin x 0
2F ( x) e0 cos 0 e cos e sin e0 sin 0 1 e
1 e
F ( x)
2
Ответ:
1
e
x
e
0 sin x dx 2

13.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. В чем смысл метода интегрирования по частям?
2. Запишите формулу интегрирования по частям.
3. Разберите и запишите примеры вычисления
неопределенных интегралов в видео и в презентации.
4. Вычислите интегралы:
1) x cos x dx ;
2)
x dx
;
2
sin x
3) x 2 a 2 dx .
5. Сформулируйте теорему о вычислении определенных
интегралов методом интегрирования по частям.
6. Разберите и запишите примеры вычисления
определенных интегралов в презентации.
7. Вычислите определенные интегралы: