Основные методы интегрирования. Интегрирование по частям

1. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

ОСНОВНЫЕ
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ИНТЕГРИРОВАНИЕПО
ПОЧАСТЯМ
ЧАСТЯМ

2.

Формула интегрирования по частям имеет вид
U x dV x U x V x V x dU x
U dV U V V dU
Проблема состоит в том, что изначально все интегралы задаются в виде

3.

Нет единого правила выбора функции U x . Но для некоторых интегралов методика
отработана.
Методическое указание 1.
U x
U x
Методическое указание 2.
U x

4.

Пример 1 Найти интеграл
3x 1 sin x dx
Решение.
Не спешите раскрывать скобки в подынтегральной функции. Это, конечно,
сделать можно, но в данном интеграле невыгодно, т.к. это действие решение не
упростит, а наоборот, удлинит.
3x 1 sin x dx
U 3x 1
dV sin x dx
dU 3x 1 ' dx 3dx
V sin x dx cos x
Обратите внимание!
При вычислении функции V x не нужно прибавлять
к первообразной произвольную константу С. В
данном случае нам нужно не все бесконечное
семейство первообразных, а только одна конкретная
первообразная V x , например при С=0 .
3x 1 cos x
cos x 3dx 3x 1 cos x 3 cos xdx
3x 1 cos x 3 sin x C

5.

Пример
Решение.
Найти интеграл
arcsin x dx
В этом интеграле фактически нет выбора.
Действуем по методическому указанию 2.
U arcsin x
1
arcsin x dx dU
dx
2
1 x
arcsin x x 1
2
dV dx
V dx x arcsin x x
2 xdx arcsin x x 1
2
1 x2
d 1 x2
1 x2
x
1
dx
2
1 x
arcsin x x 1 2
2
arcsin x x 1 x 2 C
Аналогично находятся интегралы:
arccos x dx, arctg x dx, arcctg x dx, ln x 4 dx
1 x2 C

6.

Метод
Метод интегрирования
интегрирования по
по частям
частям можно
можно применять
применять неоднократно.
неоднократно.
Пример
Найти интеграл
Решение.
3x
2
x 5 e 2 x dx
Не спешите раскрывать скобки в подынтегральной функции и переходить к сумме и
разности интегралов. Это, конечно, сделать можно, но невыгодно, т.к. тогда по частям
придется брать не один интеграл, а два. Работы будет больше, а результат тот же.
Воспользуемся методическим указанием 1.
2
U
3
x
x 5
2
2x
3x x 5 e dx
dU 6 x 1 dx
3x 2 x 5 1 e 2 x
2
dV e 2 x dx
V e 2 x dx 1 e 2 x
2
1 e 2 x 6 x 1 dx 1 3x 2 x 5 e 2 x 1
2
2
2
6 x 1 e2 x dx
Однократное применение интегрирования по частям привело к новому интегралу
такого же типа, что и исходный. Он также интегрируется по частям. Но учтите, что в
этом новом интеграле за функцию U(x) нужно взять тот же тип функции, что и при
первом интегрировании по частям. В противном случае Вы вернетесь к исходному
интегралу.

7.

U 6 x 1
Зю 1
2
6 x 1 e
2x
dV e 2 x dx
V e 2 x dx
dx dU 6 x 1 ' dx
6 dx
1 e2 x
2
Зю - 1 6 x 1 1 e 2 x 1 e 2 x 6 dx Зю - 1 1 6 x 1 e 2 x 3 e 2 x dx
2
2
2
2 2
Зю - 1 6 x 1 e 2 x 3 e 2 x dx 3x 2 x 5 1 e 2 x - 1 6 x 1 e 2 x 3 e 2 x С
4
2
2
4
4
1 e 2 x 6 x 2 8x 14 C
4