Методы интегрирования. (Семинар 14)

1. Семинар 14. Основные методы интегрирования

2.

Для вычисления данного интеграла необходимо тем или иным
способом свести его к табличному интегралу и таким образом найти
искомый интеграл
Наиболее важными методами интегрирования являются:
1. Метод разложения.
2. Метод подстановки.
3. Метод интегрирования по частям.
Метод разложения
Пусть f ( x) f1 ( x) f 2 ( x) , тогда на основании свойства имеем
f1 ( x) и f 2 ( x) стараются
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx . По возможности
1
2
подобрать так, чтобы интегралы от них находились непосредственно

3.

Метод подстановки (метод введения новой переменной)
x (t ) непрерывно
Пусть f(x) непрерывна на интервале (a,b) и
дифференцируема на интервале ( , ) ; причем функция
отображает интервал ( , ) в интервал (a,b).
На основании свойства независимости неопределенного интеграла от
выбора аргумента и учитывая, что
dx ' (t )dt , получим формулу
замены в неопределенном интеграле.
f ( x)dx f ( (t )) ' (t )dt

4.

Метод интегрирования по частям
Пусть u и v – непрерывно дифференцируемые функции от x.
На основании формулы дифференциала произведения имеем
d(uv)=udv+vdu. Отсюда udv=d(uv)-vdu. Интегрируя, получаем
udv d (uv) vdu
или окончательно
udv uv vdu Это и есть формула
интегрирования по частям. Выведенная формула показывает, что интеграл
udv приводится к интегралу vdu , который может оказаться
более простым или даже табличным.

5.

Интегрирование рациональных дробей с квадратичным знаменателем
Рассмотрим интеграл вида
P( x)
ax 2 bx cdx , где P(x) – целочисленный
многочлен; a,b,c – постоянные величины a 0
Разделив P(x) на знаменатель, получаем в частном некоторый многочлен
Q(x) и в остатке – линейный многочлен mx+n. Отсюда
P( x)
mx n
Q
(
x
)
ax 2 bx c
ax 2 bx c
Интеграл от многочлена Q(x) находится непосредственно. Рассмотрим
mx n
способы вычисления интеграла вида
ax 2 bx cdx (1)
Рассмотрим интегралы:
I.
x
d
dx
1
a 1 arctg x c(a 0)
x 2 a 2 a x 2
a
a
1
a
II.
dx
1
1
1 ( x a) ( x a) 1 1
1
x 2 a 2 (a 0) Имеем x 2 a 2 ( x a)( x a) 2a ( x a)( x a) 2a x a x a

6.

Тогда
dx
1 1
1
1 dx
dx 1
1 x a
x 2 a 2 2a x a x a dx 2a x a x a 2a ln | x a | ln | x a | 2a ln x a c
2
2
xdx
1
d
(
x
a
) 1
III.
2
2
ln
|
x
a
| c
x2 a2 2 x2 a2 2
Основной прием вычисления интеграла (1) состоит в следующем:
квадратный трехчлен ax 2 bx c дополняется до полного квадрата.
После этого, если коэффициент m=0, то интеграл (1) сводится к интегралу
I или II. Если же m 0 , то интеграл (1) сводится к интегралам I и II, или
к интегралам II и III.
Примеры с решениями.
1
2
3
2
2
2
x
x
4
x
1 (1 x ) dx (1 2 x x)dx dx 2 x dx xdx x 2 c x x x c
3
2
3
2
23
4
3
2
2
2
x 6 x 8x 9 x 5
9 5
x
5
2
2
dx
(
x
6
x
8
)
dx
3
x
8
x
9
ln
x
c
x x2
3
x
x2
1
1
1
1
1
(sin
4
x
sin
2
x
)
dx
sin
4
xd
(
4
x
)
sin
2
xd
(
2
x
)
cos
4
x
cos 2 x c
2
8
4
8
4
1
(так как sin x cos 3x (sin 4 x sin)2 x)
2
3. sin x cos 3xdx

7.

4. x x 5dx Полагаем
x 5 t , x 5 t 2 , x t 2 5, dx 2tdt
Производя подстановку получаем
5
3
t2
t3
2
10
2
x
x
5
dx
(
t
5
)
2
tdt
(
2
t
10
t
)
dt
2
t
dt
10
t
dt
2
10
c
(
x
5
)
( x 5) 2 c
5
3
5
3
5. a 2 x 2 dx(a 0) Выполним тригонометрическую подстановку
2
4
2
4
2
x=asint, dx=acostdt .
Следовательно
2a
2
x dx
2
a2
a2
a2
a a sin t a cos tdt a cos tdt (1 cos 2t )dt dt cos 2td (2t )
2
2
4
2
2
2
2
2
a
a2
t sin 2t c
2
4
Делая обратную замену
x
x
x
x 2 2x 2
2
sin t , t arcsin , sin 2t 2 sin t cos t 2 sin t 1 sin t 2 1 2 2 a x 2
a
a
a
a
a
Окончательно
a2
x x 2
a x dx arcsin
a x2 c
2
a a
2
2

8.

1 dx
dx
)
d (ln x) получаем
6.
ln x x так как x
1 dx
d (ln x) 1 2
(ln
x
)
ln
xd
(ln
x
)
ln x 2 ln x ln ln x c
ln x x
(ln x
7.
dx
u
ln
x
,
dv
dx
,
du
d
(ln
x
)
,
v
x
ln
xdx
=
=xlnx
8.
x cos xdx u x, dv cos xdx, du dx, v sin x x sin x sin xdx x sin x cos x c
9.
x arctgxdx
x
x
dx
x ln x x c
x
1
1 2
1
2
arctgx
d
(
x
1
)
(
x
1
)
arctgx
( x 2 1)d (arctgx)
2
2
2
1 2
1
dx
1
1
( x 1)arctgx ( x 2 1) 2
( x 2 1)arctgx x c
2
2
2
x 1 2
10.
11.
dx
d ( x 5)
1
( x 5) 3
1 x 8
ln
c
ln
c
x 2 10 x 16 ( x 5) 2 32 2 3 ( x 5) 3
6 x 2
3
d (x )
dx
dx
2
2x 3
2
arctg
c
2
2
x 3x 4 2 3 9
9
7
7
3 2 7
( x 2 x ) (4 )
(
x
)
2
4
4
2
2
12. 2 xdx 1 (22x 1) 1dx 1 d ( x2 x 1) 1
2 x x 1 2
x x 1 2 x x 1
2
13.
dx
1
3
(x )2 ( )2
2
2
1
1
2x 1
ln( x 2 x 1) arctg
c
2
3
3
x4
x 4 1 1
1
x3
2
x 2 1dx x 2 1 dx ( x 1 x 2 1)dx x x arctgx c

9.

Примеры для самостоятельного решения
1.
x 23 x 2 1
dx
4
x
2. x 2 3
x 2 1dx
5.
33
2
x
1
x
dx
6.
9.
x arctgx dx
10.
3.
2 3
x
1 x dx
2
x
sin
xdx
xdx
x 4 3x 2 2
7.
4.
x 1
x x 1
2
dx
dx
x 1 x 1
8.
xe
x
dx