Первообразная функция. Неопределенный интеграл

1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

2. Основная задача интегрального исчисления

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА
ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Как известно, основной задачей дифференциального
исчисления функции одной переменной является отыскание
производной , или, иными словами, дифференцирование
данной функции .
К вопросу отыскание производной приводит ряд задач
математики и её приложений к физики практике.
Например:
Решая задачу об отыскании скорости V, которую имеем в
данный момент t точка, движущаяся по закону: мы сводим
этот вопрос к отысканию производной: так что скорость v
есть производная от пути до времени.
Но часто встречается необходимость в решении задачи,
обратной задаче о дифференцировании функции.

3.

Задача состоит в следующем:
Дана функция, являющаяся производной некоторойфункции;
требуется найти функцию .
(это и есть основная задача интегрального исчисления)
К такой математической задаче приводят многие физические,
химические и другие задачи.
Например:
1.
Задача о разыскании закона неравномерного движения
материальной точки вдоль прямой по заданной скорости;
2.
Задача о нахождении закона химической реакции по
известной её скорости.

4. Первообразная функция

ПЕРВООБРАЗНАЯ
ФУНКЦИЯ
Определение 1.
Функция , определённая в промежутке, называется
первообразной данной функции в этом промежутке ,
если для любого значения выполняется равенство:
F'(x) = f(x)

5.

Например:
1) функция
F ( x) x 4
- первообразная функции
в интервале
,
2) функция
F ( x) ln x
, поскольку
1 в интервале
f ( x)
x
f ( x) 4 x
( x 4 ) 4 x 3 для всех Х;
- первообразная функции
0,
т.к. (ln x )
1
;
x
F ( x) sin x - первообразная функции
f ( x) cos b , ибо (sin x) cos x , .
3) функция
3

6.

Возникает вопрос, всякая ли функция f(x) имеет на данном
промежутке первообразную.
Очевидно, далеко не всякая.
В дальнейшем (в разделе “Определённый интеграл”) нами
будет доказана следующая теорема:
Теорема. Любая, непрерывная на отрезке функция имеет на
этом отрезке первообразную.
Далее возникает следующий вопрос:
Если некоторая функция имеет первообразную, то
единственна ли эта первообразная?
Ответ и здесь будет отрицательным.

7.

Так, для функции f ( x) cos x первообразной
будет не только функция F ( x) sin x , но и
F1 ( x) sin x 1, F2 ( x) sin x 3, и вообще всякая
функция вида F ( x) sin x C , где С –
произвольная постоянная.
Функции такого вида исчерпывают все
первообразные данной функции.
Справедлива следующая теорема, которая
подтвердит это утверждение для любых
функций.

8.

Теорема. Если F(x) первообразная функции на
a, b , то F ( x) F ( x) C , где С - постоянная, так
же является её первообразной.
Доказательство. 1)Если F (x ) - первообразная
функции, то F ( x) f ( x) . (1)
2)Но F ( x) C F ( x) 0 f ( x). При заданной
постоянной С функция F ( x ) C также
является первообразной функции f(x).
3)Покажем, что первообразных, не входящих в
выражение F ( x ) C , у функции f (x ) быть уже
не может.

9.

Пусть F(x) – первообразная функции f (x ) , тогда
F ( x) f ( x)
(2)
Из равенств (1) и (2) следует: Ф ( x) F ( x)
Ф ( x) F ( x) C
, Ф( x) F ( x) C
Таким образом, выражение
, или
см. следствие 2
F ( x) C
определяет
множество всех первообразных данной функции
f (x) в заданном промежутке a, b .

10.

Определение 2. Неопределённым интегралом от данной
функции f (x ) называется множество всех её
первообразных:
f ( x)dx F ( x C ) , где F ( x)
f ( x).
Знак называется знаком неопределённого интеграла;
функция f (x ) подынтегральной функцией; выражение
f ( x)dx - подынтегральным выражением; x - переменная
интегрирования.
Операция нахождения первообразной данной функции
называется интегрирование.
Таким образом, чтобы найти неопределенный интеграл
от данной функции f (x ) , достаточно найти какую - либо
её первообразную F (x ), и составить сумму F ( x ) C, где С
– произвольная постоянная.
2
3
Например. 3x dx x C ,
cos xdx sin x C

11. Свойства неопределённого интеграла.

СВОЙСТВА
НЕОПРЕДЕЛЁННОГО
ИНТЕГРАЛА.
Неопределённый интеграл обладает следующими
основными свойствами.
1. Производная неопределённого интеграла равна под
интегральной функции; дифференциал
неопределённого интеграла равен подынтегральному
выражению:
f ( x)dx f ( x);
d f ( x)dx f ( x)dx.

12.

Доказательство.
1) f ( x)dx F ( x) C F ( x) f ( x); - по определению
2) d f ( x)dx d F ( x) C F ( x) C dx F ( x)dx f ( x)dx. -
f ( x)dx F ( x) C
2.
Неопределенный интеграл от дифференциала
некоторой функции равен этой функции с точностью
до постоянного слагаемого:
dF ( x) F ( x) C
Доказательство. Пусть
df ( x) F ( x)dx
dF ( x) f ( x)dx .
f ( x)dx .
По определению, f ( x)dx F ( x) C. Тогда
dF ( x) f ( x)dx F ( x) C
В частности, dx x C .

13.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак
неопределённого интеграла.
kf ( x)dx k f ( x)dx
(к = const)
Доказательство. Сравним производные от обеих частей
доказываемого равенства:
kf ( x)dx kf ( x) ; k f ( x)dx k f ( x) dx k f ( x).
Отсюда следует доказываемое равенства (при
доказательстве учитывается, что неопределённый
интеграл определён с точностью постоянного
слагаемого).
4. Неопределённый интеграл от суммы нескольких
слагаемых функции.
так, для 2-х слагаемых:
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
(*)

14.

Доказательство. Справедливость свойства доказывается
так же дифференцированием обеих частей равенства (*):
f ( x) g ( x) dx f ( x) g ( x)
f ( x)dx g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx f ( x) g ( x) , т.е. для
доказательства достаточно установить, что производные
от обеих частей равны.
При вычислении неопределенных интегралов полезно
знать следующее правило:
1
f (ax b)dx F (ax b) C . (1)
a
Если f ( x)dx F ( x) C , то
Дано, f (ax b)dx f (ax b) ;
1
1
1
a F (ax b) C a F (ax b) (ax b) a f (ax b) (a 0)
1
a f (ax b) f (ax b).
a

15.

Замечание. Особенно часто встречаются случай, когда
a=1 либо b=0:
1
f
(
ax
)
dx
F (ax) C;
a
f ( x b)dx F ( x b) C;
(На деле правило (1) есть весьма частный случай замены
переменной в неопределённом интеграле).
1
cos
3
xdx
sin 3x C
3
1
cos 3x 3 cos 3x
3
Пример. cos xdx sin x C ;
Проверка: 1 sin 3x C
3
(Следовательно, равенство F ( x) f ( x) выполняется.)
cos( x 2)dx sin( x 2) C

16. Таблица основных неопределенных интегралов.

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ.
Отвыкание первообразной для данной функции – задача
более трудная, чем задача нахождения по данной
функции её производной.
Для некоторых часто встречающихся интегралов
составлены таблицы.
Таблицу простейших неопределённых интегралов
нетрудно получить, воспользовавшись тем, что
интегрирование является операцией, обратной
дифференцированию.
Будем исходить из следующего: если
то f ( x)dx F ( x) C .
dF ( x f ( x)dx) ,
Например; поскольку d (sin x) cos xdx, то
cos xdx sin x C

17.

Применяя аналогичное рассуждение к каждой из формул
таблицы дифференциалов, получаем следующую
таблицу простейших неопределённых интегралов:
1. 1 dx dx x C
x 1
2. x dx 1 C, 1 , R
dx
3. x ln x C
ax
x
4. a dx ln a C (а>0) 4а. e x dx e x C
5. cos xdx sin x C
sin xdx cos x C
6. dx
cos x tgx C
7.
2
9.
dx
dx
ctgx C
2
sin
x
8.
1 x
2
arcsin C arccos x C
10. dx1 x 2 arctgx C arcctgx C

18.

11. shxdx chx C
12. chxdx shx C
13.
14.
15.
dx
ch 2 x thx C
dx
sh 2 x cthx C
dx
x
ln
tg
C
sin 2 x
2
dx
x
16. cos x ln tg ( 2 4 ) C
17.
18.
19.
dx
x
C
a2 x2
a
dx
1
x
arctg
C
a2 x2 a
a
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x C
20.
21.
22.
dx
x2 a2
dx
arcsin
ln x x 2 a 2 C
2 x C
x
dx
1
x2 x C
dx
1
x a
ln
19а. x 2 a 2 2a x a C

19.

Пример 17.
dx
adt
x
at
dx
adt
a2 x2
a 1 t 2
dt
x
arcsin C arcsin C
a
1 t 2
Пример 18.
x
d
dx
dx
1
a 1 arctg x C
a2 x2 2 x2 a
2
a
a
x
a 1 2
1
a
a
Отметим, что все указанные формулы справедливы в тех
промежутках, в которых определены соответствующие
функции. Например, формула 3 справедлива для любого
промежутка, не содержащего точку х=0, формула 9 – для
интервала 1,1 и т.п.

20.

Эти формулы часто употребляются, поэтому их необходимо
помнить наизусть.
Основные формулы интегрирования получаются путем
обращения формул для производных, поэтому перед изучением
настоящей темы необходимо повторить основные формулы
дифференцирования функций.
Сравнивая операции дифференцирования и интегрирования
функций, видим:
1.
Если для дифференцируемости функции непрерывность
функции является условием необходимым, но не
достаточным, то для интегрируемости функции
непрерывность функции на данном отрезке является
только условием достаточным, но необходимым.
2.
В то время как операция дифференцирования однозначна,
операция интегрирования многозначна, ибо если функция
имеет первообразную на отрезке, то она имеет и
бесчисленное множество первообразных на этом отрезке.
Однако задача отыскания совокупности всех первообразных
сводится к задаче отыскания только одной первообразной, так
как все первообразные данной функции отличаются друг от
друга на постоянное слагаемое.

21. Непосредственное интегрирование

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Метод непосредственного интегрирования является одним
из простейших методов интегрирования.
Он опирается на:
1. таблицу интегралов;
2. основные свойства неопределенных интегралов.
Рассмотрим несколько примеров на применение метода
непосредственного интегрирования:
Пример 1. Найти неопределенный интеграл ( x 2 2 sin x e x )dx
I = (использовать свойства 4 и 3; формулы 2, 4а, 6 таблицы
3
x
простейших интегралов.) =
2 cos x 3e x C.
3

22.

Замечание. Нет необходимости после каждого слагаемого
ставить производную постоянную, ибо сумма
производных постоянных есть также производная
постоянная, которую и пишут в конце.
Правильность выполненного интегрирования
проверяется дифференцированием полученного
результата, которое должно дать под интегральную
функцию.
3
Проверка: x 2 cos x 3e x C x 2 2 sin x 3e x
3
(e x 1)(e 2 x 1)
dx ?
Пример 2.
x
e
3x
2x
x
e e e 1)
1 2x
2x
x
x
x
x
I
dx
(
e
e
1
e
)
dx
e
e
x
e
C
x
2
e
2
2
sin
x
1
cos
x
dx
Пример 3. tg xdx
dx
dx
dx tgx x C
2
2
2
cos x
cos x
cos x
2

23.

dx
Пример 4. x 2 2(1 x 2 ) ?
Прибавим и вычтем в числителе x
2
:
(1 x 2 ) x 2
dx
dx
1
I 2
dx
arctgx C.
2
2
2
x
x (1 x )
x
1 x
В некоторых случаях сложное на первый взгляд
выражение, стоящее под знаком интеграла, удается
преобразовать и свести к простейшим формулам
интегрирования:
Пример 5.
1 x
1
3
x
dx
(1 3 x )(1 3 x 3 x 2 )
1 3 x
3 43 3 53
dx (1 x x )x x x x C
4
5
1
3
2
3
Замечание. В таблице основных интегралов
предполагалось, что х является независимой
переменной.

24.

Однако формулы этой таблицы остаются справедливыми
и в случае, когда x (t ) , где (t ) - любая
дифференцируемая функция новой переменной t.
Доказано, пусть (*) F ( x) C f ( x)dx , F ( x) f ( x) , и
пусть u (x) - дифференцируемая функция х.
В силу инвариантности формы первого дифференциала
dF (u ) F (u )du f (u )du dF (u ) f (u )du , откуда
F (u ) C f (u )du
(**)
dF (u) F (u C )
Итак, из справедливости формулы (*) следует
справедливость формулы (**), которая получается из
первой формулы формальной заменой х на U.
На основании этого свойства получаем обобщенную
таблицу простейших интегралов.
u 1
du
u
u
u du 1 C ( 1), u ln u C, e du e C и т.д.,
где u – любая дифференцируемая функция х.

25.

Примеры:
1.
2.
3.
1
1
sin 7 xdx 7 sin 7 xd (7 x) 7 cos 7 x C
xdx
1 d ( x 2 4) 1
2
ln(
x
4) C
x2 4 2 x2 4 2
3x
e
dx
1 3x
1 3x
e
d
(
3
x
)
e C
3
3