Неопределённый интеграл.
Первообразная.
Пример 1. Найти первообразные для функций:
Пример 2. Найти все первообразные функции f(x)=2x и изобразить их геометрически.
Неопределённый интеграл.
Свойства неопределённого интеграла.
Таблица интегралов.
Основные методы интегрирования.
Пример 3. Вычислить интеграл
Пример 4. Вычислить интеграл
Пример 5. Вычислить интеграл
Пример 6. Вычислить интеграл
Пример 7. Вычислить интеграл
Пример 8. Вычислить интеграл
Пример 9. Вычислить интеграл
Пример 10. Вычислить интеграл
Пример 11. Вычислить интеграл
Пример 12. Вычислить интеграл
640.50K
Category: mathematicsmathematics

Неопределенный интеграл. Первообразная

1. Неопределённый интеграл.

2. Первообразная.

Задача дифференциального исчисления: по
данной функции найти её производную.
Задача интегрального исчисления:
функцию, зная её производную.
найти
• Функция F(x) называется первообразной для
функции f(x) на заданном промежутке, если
для любого х из этого промежутка справедливо
равенство Fʹ(x)=f(x).

3. Пример 1. Найти первообразные для функций:

1)
f ( x) 3 x
2)
f ( x) x
3)
1
f ( x)
x
1
f ( x) ,
x
1
f ( x) ,
x
2
5
F ( x) x
3
x R,
x 3x
3
2
1 6
F ( x) x
6
1 6
x R, x x 5
6
F ( x) ln x
x R \ 0
x 0;
x ; 0
1
F ( x) ln x, ln x
x
1
1
F ( x) ln( x), ln( x)
1
x
x

4.

Для всякой ли функции f(x) существует
первообразная?
Теорема.
Если функция непрерывна на какомнибудь промежутке, то она имеет на
нём первообразную.

5.

Найти первообразную для функции f(x)=4x3.
F3 ( x) x 4 3
F2 ( x) x 5
4
F1 ( x) x 4
F ( x) x 4 C
f ( x) 4 x
3
Т.о. функция f(x)=4x3, х∈R имеет бесконечное множество
первообразных.

6.

Теорема.
Если функция F(x) является первообразной для
функции f(x) на некотором промежутке, то
множество всех первообразных этой функции
имеет вид F(x)+C, где C∈R.
y
Геометрически:
F(x)+C представляет собой
семейство
кривых,
получаемых из каждой из них
параллельным
переносом
вдоль оси ОУ.
С
0
интегральная кривая
x

7. Пример 2. Найти все первообразные функции f(x)=2x и изобразить их геометрически.

y
F ( x) x 2 C
3
x
0
-2
-5

8. Неопределённый интеграл.


Множество всех первообразных F(x)+C
функции f(x) на некотором промежутке
называется неопределённым интегралом и
обозначается символом f ( x)dx , т.е
f ( x) dx F ( x) C

9.

f ( x) dx F ( x) C
f (x) - подынтегральная функция
f ( x) dx - подынтегральное выражение
х – переменная интегрирования
- знак неопределённого интеграла
F(x)+C – множество всех первообразных
С – постоянная интегрирования
Процесс нахождения первообразной функции называется
интегрированием, а раздел математики- интегральным
исчислением.

10. Свойства неопределённого интеграла.

• 10. Дифференциал от неопределённого
интеграла
равен
подынтегральному
выражению, а производная неопределённого
интеграла равна подынтегральной функции:
d
f ( x) dx f ( x) dx,
f ( x) dx f ( x)

11.

Доказательство:
d
f ( x) dx d F ( x) C d F ( x) d C F ( x) dx f ( x) dx
f ( x) dx (F ( x) C ) F ( x) C f ( x)
То есть правильность
дифференцированием.
Равенство
3x
2
интегрирования
проверяется
4 dx x 3 4 x C верно, так как
x
3
4 x C 3x 4
2

12.

• 20.
Неопределённый
интеграл
от
дифференциала некоторой функции равен этой
функции плюс произвольная постоянная, т.е
d F ( x) F ( x) C
Доказательство.
d
F
(
x
)
F
x dx f ( x) dx F x C

13.

• 30.
Неопределённый
интеграл
от
алгебраической суммы двух или нескольких
функций равен алгебраической сумме их
интегралов, т.е
f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx
Доказательство:
воспользуемся свойством 10.
f ( x) g ( x) dx f ( x) g ( x)
f ( x) dx g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx f ( x) g ( x)

14.

• 40. Постоянный множитель можно выносить за
знак интеграла, т.е
a f ( x) dx a f ( x) dx ,
a 0
Доказательство: воспользуемся свойством 10:
a f ( x) dx a f ( x)
a f ( x) dx a f ( x) dx a f ( x)

15. Таблица интегралов.

1)
0dx C,
C const
n 1
x
2) x n dx
C , n 1
n 1
В частности:
dx x C
dx
3)
ln x C
x
ax
4) a dx
C , a 0, a 1
ln a
x
5)
cos xdx sin x C
6)
sin xdx cos x C
x
x
e
dx
e
C
В частности:

16.

7)
dx
cos 2 x tan x C
9)
dx
1
x
arctan
C, a 0
a2 x2 a
a
8)
В частности:
10)
dx
a2 x2
arcsin
12)
dx
1
x a
ln
x 2 a 2 2a x a C
dx
x2 a2
dx
1 x 2 arctan x C
x
C, a 0
a
В частности:
11)
dx
sin 2 x cot x C
a 0
ln x x 2 a 2 C
dx
1 x
2
arcsin x C

17. Основные методы интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования.
Непосредственным интегрированием называется
такой метод вычисления интегралов, при котором
они сводятся к табличным путём применения к ним
основных свойств неопределённого интеграла. При
этом
подынтегральную
функцию
обычно
соответствующим образом преобразуют.

18. Пример 3. Вычислить интеграл

2 x
4
2 x
4
3 sin x 5e x dx
3 sin x 5e x dx 2 x 4 dx 3 sin x dx 5e x dx
4 1
x
2 x 4 dx 3 sin x dx 5 e x dx 2
C1 3 cos x C2 5 e x C3
4 1
2 5
x 3 cos x 5e x C ,
5
C C1 C 2 C3

19. Пример 4. Вычислить интеграл

2x x
dx
Пример 4. Вычислить интеграл 3
x
1
2x x
3
6
2
dx
2
x
x
x
dx
2
x
3x
dx
1
13
6
7
x
12 6 13
12 2 6
2
C x C x x C
13
13
13
6

20. Пример 5. Вычислить интеграл

2 x4
x dx
2 x4
2 x4
2
3
dx
dx
dx
x
x
x x x dx
4
dx
x
2 x 3 dx 2 ln x C
x
4

21. Пример 6. Вычислить интеграл

x
2x
3
4
dx
x
48
x
2x
x
x
x
3
4
dx
3
16
dx
48
dx ln 48 C

22. Пример 7. Вычислить интеграл

dx
Пример 7. Вычислить интеграл 2
sin x cos 2 x
dx
1
sin 2 x cos 2 x
sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x dx sin 2 x cos 2 x dx
sin 2 x
cos 2 x
1
1
2
2
dx
2 dx
2
2
2
cos x sin x
sin x cos x sin x cos x
dx
dx
2 tan x cot x C
2
cos x
sin x

23. Пример 8. Вычислить интеграл

dx
25 4 x 2
dx
25 4 x 2
dx
1
dx
2
4 5
25
2
2
4 x
x
4
2
1 2
2x
1
2x
arctan
C arctan
C
4 5
5
10
5

24. Пример 9. Вычислить интеграл

x2
x 2 1 dx
x2 1
x2
x2 1 1
1
x 2 1 dx x 2 1 dx x 2 1 x 2 1 dx
1
dx
1 2
x arctan x C
dx dx 2
x 1
x 1

25. Пример 10. Вычислить интеграл

2
cot
x dx
2
2
2
cos
x
1
sin
x
1
sin
x
2
cot x dx sin 2 x dx sin 2 x dx sin 2 x sin 2 x dx
dx
1
2 1 dx 2 dx cot x x C
sin x
sin x

26. Пример 11. Вычислить интеграл

x 3 3x 2 3x 1
Пример 11. Вычислить интеграл
dx
2
x x
x 3 3x 2 3x 1
x3 1 3x x 1
dx
x 2 x dx
x x 1
x 1 x 2 x 1 3x x 1
x 1 x 2 2 x 1
dx
dx
x x 1
x x 1
x 2 2x 1
x 2 2x 1
dx
dx dx x dx 2 dx
x
x x
x
x
x2
2 x ln x C
2

27. Пример 12. Вычислить интеграл

1 2x2
x 2 1 x 2 dx
1 x2
1 2x2
1 x2 x2
x2
x 2 1 x 2 dx x 2 1 x 2 dx x 2 1 x 2 x 2 1 x 2
dx
1
dx
dx
dx
1
2
2
dx 2
x dx
2
2
2
x
1 x
1 x
x 1 x
x 1
1
arctan x C arctan x C
1
x
English     Русский Rules