Первообразная. Интеграл

1. Первообразная Интеграл

2.

«Свои способности
человек может узнать,
только попытавшись
приложить их».
Сенека

3.

Примеры
1. f(x) = 2x; F(x) = x2
F (x)= (x2) = 2x = f(x)
2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x
F (x)= (cos x) = – sin x = f(x)
3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x
F (x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)
4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x
F (x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)

4. Взаимно-обратные операции

умножение
деление
сложение
вычитание
возведение в степень
извлечение корня
дифференцирование
процесс нахождения
производной
интегрирование
процесс нахождения
первообразной

5. Понятие первообразной

Функцию F(x) называют первообразной для
функции f(x) на интервале (a; b), если на нем
производная функции F(x) равна f(x):
F ( x ) f ( x )
Операцию, обратную дифференцированию
называют интегрированием.

6. Основное свойство первообразных

Если F(x) – первообразная функции f(x),
то и функция F(x)+C, где C –
произвольная постоянная, также
является первообразной функции f(x).
Геометрическая интерпретация
Графики всех
y
x
первообразных данной
функции f(x) получаются
из графика какой-либо
одной первообразной
параллельными
переносами вдоль оси y.

7.

Неоднозначность первообразной
f(x) = 2x
F1(x) = x2
F1'(x) = 2x
F2(x) = x2 + 1
F2'(x) = 2x
F3(x) = x2 + 5
F3'(x) = 2x
y = f(x) имеет бесконечно много
первообразных вида y = F(x)+C, где
C - произвольное число

8. Проверь себя Найти производную функции F(x):

2 В.
3 В.
1 В.
F ( x) x 4 20
F x x 4 0,25
F x x 4 100
пусть _ F x f x
3
4х
f x
f x 4х 3
f x 4х 3
Вывод: для данной функции существует множество
первообразных, их можно записать в виде F(x)+C
Основная задача интегрирования: записать все
первообразные для данной функции. Решить её- значит
представить первообразную в таком общем виде: F(x)+C

9. Проверь себя Найти первообразную функций

1) f x x 4
2) f x x5 x 7
3) f x 3x 2 x
4) f x x 5 x3 5
5) f x 4 sin x

10. Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом от непрерывной
на интервале (a; b) функции f(x) называют
любую ее первообразную функцию.
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
c
Где С – произвольная постоянная (const).

11. Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных данной
функции f(x) называется ее неопределенным
интегралом и обозначается
:
f ( x)dx
f ( x)dx F ( x) C
где C –
произвольная постоянная.
2
x
C
Пример: xdx
2
Так, как первообразной для функции f(x)=x на
всей числовой оси является F(x)=x /2, поскольку
(x /2)’=x.
2
2

12. Правила интегрирования

cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
1
f (ax b)dx a F (ax b) C , a 0

13. Свойства интеграла, вытекающие из определения

Производная неопределенного интеграла
равна подынтегральной функции, а его
дифференциал- подынтегральному
выражению. Действительно:
1.( f ( x)dx) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x);
2.d f ( x)dx ( f ( x)dx) dx f ( x)dx.

14. Таблица неопределенных интегралов

1. dx x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

15. Таблица неопределенных интегралов

11.
dx
arcsin x C .
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
a x
13.
dx
a x
2
arcsin
2
x
C ..
a
16.
dx
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
14.
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
19.
dx
thx C .
2
ch x
15.
dx
1
a x
ln
C .
2
2
2a a x
a x
20.
dx
cthx C .
2
sh x

16. Примеры

Пример1 . Вычислить cos 5xdx .
Решение. В таблице интегралов найдем
cos xdx sin x C .
Преобразуем данный интеграл к табличному,
воспользовавшись тем, что d ax adx .
Тогда:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

17. Примеры

Пример 2. Вычислить x 2 3x 3 x 1 dx .
Решение. Так как под знаком интеграла
находится сумма четырех слагаемых, то
раскладываем интеграл на сумму четырех
интегралов:
2 3x3 x 1 dx x 2 dx 3 x3dx xdx dx .
x
3
4
2
x
x
x
3
x C
3
4
2

18. Таблица первообразных

F(x)
x n 1
C
n 1
2x x
C
3
sin x C
cos x C
tgx C
ctgx C
F(x)
f(x)
x
a C
ax
lna
х
1
C
x
ln x
cos x
ex C
ex
f(x)
x
n
sin x
1
сos 2 x
1
sin2 x
C
Cx
loga x C
1
x lna
arcsin x C
1
1 x2

19.

Примеры
1. Adx Ax C ; Ax C A
2. e dx e С;
x
x
x
4. x dx
С;
4
3
x
cos x C sin x
3. sin xdx cos x С ;
4
e C e
x
x
1
С 4x 3 x 3
4
4
1
5.
dx tg x C ;
2
cos x
4
tg x C
1
2
cos x

20. Работа с учебником

21. Домашнее задание:

22. Рефлексия

Определенный интеграл - это некоторый фундамент
для изучения математики, которая вносит
незаменимый вклад в решение задач практического
содержания.
Тема «Интеграл» ярко демонстрирует связь
математики с физикой, биологией, техникой и
экономикой.
Развитие современной науки немыслимо без
использования интеграла.
Применяя знания по новому материалу, вы
справились с поставленной задачей.

23. Итоги урока