Неопределенный интеграл. Первообразная

1.

§30. Неопределенный
интеграл
п.1. Первообразная.
Функция
называется первообразной
для функции
на интервале
, если
x (a; b)
F '( x) f ( x)
Пример. (?)' 2 x
x ; x 1; x 2
2
f ( x) 2 x F ( x) x C
2
2
2

2.

Теорема 1. Если функция F ( x ) является
первообразной для функции f ( x )
на интервале ( a ; b ), то множество
всех первообразных задается
формулой
F ( x) C ,
C ― произвольная постоянная

3.

Доказательство.
( F ( x ) C )' F ' ( x ) ( C )' f ( x )
F ( x ) C ― первообразная для f ( x )
( x ) ― первообразная для f ( x )
( x) F ( x)
( ( x ) F ( x ))' ' ( x ) F ' ( x ) f ( x ) f ( x ) 0
(x) F ( x) C

4.

Неопределенным интегралом
от функции f ( x ) называется множество всех
первообразных этой функции.
f ( x ) dx F ( x ) C
Всякая непрерывная функция на
интервале ( a ; b ) имеет на этом интервале
первообразную, а значит и неопределенный
интеграл.

5.

График каждой первообразной называется
интегральной кривой.
y
y F ( x ) C1
y F ( x)
y F ( x) C2
O
x
y F ( x) C3

6.

п.2. Свойства неопределенного
интеграла.
1. Производная от неопределенного интеграла
равна подынтегральной функции.
f ( x ) dx f ( x )
'
Доказательство.
f ( x ) dx F ( x ) C F ' ( x ) (C )' f ( x )
'
'

7.

2. Дифференциал от неопределенного
интеграла равен подынтегральному
выражению.
d f ( x ) dx f ( x ) dx
Доказательство.
d f ( x ) dx d F ( x ) C dF ( x ) d ( C )
F ' ( x ) dx f ( x ) dx
§9 п.2

8.

3. Неопределенный интеграл от
дифференциала некоторой функции равен
сумме этой функции и произвольной
константы.
dF
(
x
)
F
(
x
)
C
Доказательство.
dF ( x ) F ' ( x ) dx f ( x ) dx F ( x ) C

9.

4. Постоянный множитель можно выносить за
знак интеграла.
5. Неопределенный интеграл от суммы
конечного числа функций равен сумме
интегралов от слагаемых функций.
( af ( x ) bg ( x )) dx a f ( x ) dx b g ( x ) dx ,
a, b R
Пример.
(
3
x
7
e
4
)
dx
3
x
dx
7
e
dx
4
dx
2
x
2
x
x 7e 4 x C
3
x

10.

п.3. Таблица интегралов.
a 1
x
sin x dx cos x C
a
1
x
dx
C
,
a 1
dx
cos
x
dx
sin
x
C
ln
|
x
|
C
x
x
a
dx
a
0
,
x
a
dx
C
,
tg
x
C
2
a
1
ln a
cos x
dx
x
x
sin 2 x ctg x C
e dx e C
a

11.

dx
1
x
a 2 x 2 a arctg a C , a 0
dx
x
a 2 x 2 arcsin a C , a 0
1
x a
ln
C
,
a
0
x 2 a 2 2a x a
dx
dx
x 2 a 2 ln x x a C , a 0
2
2

12.

п.4. Простейшие методы
интегрирования.
I. Метод интегрирования подстановкой
(замена переменной).
x 2 t
( x 2)' dx dt
100
100
(t 2)t dt
x( x 2) dx dx dt
x t 2
Пример.
102
101
102
101
t
t
(
x
2
)
(
x
2
)
t 101dt 2 t 100 dt
2
C
2
C
102
101
102
101

13.

Теорема 2. (О замене переменной в
неопределенном интеграле)
Пусть
функция x (t ) определена и
дифференцируема на промежутке T и X ―
множество ее значений,
функция y f ( x ) определена на множестве X
и имеет на этом множестве первообразную.
Тогда
f
(
x
)
dx
x ( t )
f ( (t )) ' (t ) dt .

14.

Доказательство.
F ( x ) ― первообразная для f ( x )
f ( x ) dx x (t ) F ( x ) C x (t ) F ( (t )) C
F ( (t )) F ' ( x ) ' (t ) f ( x ) ' (t )
'
Теорема 4 §8
F ( ( t )) ― первообразная для f ( x ) ' ( t )
f ( (t )) ' (t ) dt F ( (t )) C

15.

II. Метод интегрирования по частям.
Теорема 3.
Пусть
функции u u ( x ) и v v ( x ) дифференцируемы
на промежутке X,
существует
.
v
(
x
)
u
'
(
x
)
dx
Тогда
существует u ( x ) v ' ( x ) dx
и справедлива формула
dv v ' dx
udv uv v du. du u ' dx

16.

Доказательство.
( uv )' u ' v uv ' uv ' ( uv )' u ' v
(uv )' имеет первообразную uv
u' v
имеет первообразную
u
'
v
dx
uv ' имеет первообразную uv 'dx
uv
uv'
'
dx
(
uv
)'
(
u
'
v
)
dx
(
uv
)'
dx
(
u
'
v
)
dx
uv u ' vdx
dv v ' dx
du u ' dx
udv uv v du

17.

Пример.
u ln x
u ln x
udv lnxdx
x
dv xdx
2
2
dv xdx
x
x 1
1
dx
(ln x )' dx 1 dx ln x
x ln xdx du
2
2 x
du (ln x )' dx x dx
2 x
udv v xdx x
uv vdu
2
2
2
2
x
x
x
ln x xdx ln x
C
2
2
4