Первообразная и неопределенный интеграл

1.

Первообразная и неопределенный интеграл
Определение:
Функция F x называется первообразной функции f x ,
определенной на некотором промежутке, если F x f x для
каждого x из этого промежутка.
Определение:
Совокупность
всех
первообразных
функции
f ( x) ,
определенных
на
некотором
промежутке,
называется
неопределенным интегралом от функции f x на этом
промежутке и обозначается
f ( x)dx.

2.

f ( x) dx F ( x) C ,
где F ( x) f ( x),
f (x ) – подынтегральная функция,
f ( x) dx – подынтегральное выражение,
х – переменная интегрирования,
– знак неопределенного интеграла,
F(x) + C – множество всех первообразных,
С – постоянная интегрирования.
Замечание:
Правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
Равенство 3x 2 4 dx x 3 4 x C верно, так как ( x3 4 x C ) 3x 2 4.

3.

Свойства неопределенного интеграла
f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx
a f ( x) dx a f ( x) dx , a 0
Таблица интегралов
1)
0dx C , C const
x n 1
2) x dx
C , n 1
n 1
n
3)
4)
dx
x ln xx C
a
x
a
dx
ln a
C , a 0, a 1
cos xdx sin x C
6) sin xdx cos x C
5)
В частности:
dx x C
В частности:
x
x
e
dx
e
C

4.

7)
dx
cos2 x tgx C
9)
dx
1
x
arctg
C, a 0
a2 x2 a
a
8)
dx
sin 2 x ctgx C
dx
arctgx C
В частности:
2
1 x
10)
dx
a x
2
2
arcsin
x
C, a 0
a
В частности:
dx
1 x arcsin x C
2
11)
12)
dx
1
x a
ln
x 2 a 2 2a x a C
dx
x a
2
2
a 0
ln x x 2 a 2 C

5.

Основные методы интегрирования
1. Метод непосредственного интегрирования
Непосредственным
интегрированием
называется
такой
метод
вычисления интегралов, при котором они сводятся к табличным путем
применения к ним основных свойств неопределенного интеграла. При
этом подынтегральную функцию обычно соответствующим образом
преобразуют.
Пример. Вычислить интеграл
2 x 3sin x 5e dx
4
x
2 x 3sin x 5e dx 2 x dx 3sin x dx 5e dx
4
x
4
x
4 1
x
2 x 4 dx 3 sin x dx 5 e x dx 2
3 cos x 5 e x C
4 1
2
x5 3cos x 5e x C.
5

6.

2. Правило поправочного коэффициента
Если f ( x)dx F ( x) C , то
1
f (ax b)dx a F (ax b) C .
Пример:
1
6
(
2
3
x
)
dx
(
2
3
x
)
C.
3 6
5

7.

3. Интегрирование по частям
Этот метод основан на формуле
udv uv vdu .
Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:
а) x n sin xdx ,
б) x n e x dx ,
в) x n arctg xdx ,
г) x n ln xdx .
При вычислении интегралов
а) и б) вводят обозначения: x n u , тогда du nx n 1dx ,
в) и г) обозначают за u функцию arctgx , ln x , тогда dv xn dx .

8.

Примеры:
u x, du dx
=
1. x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .
dx
2
2
x
x
dx
x =
ln x
2. x ln xdx
2
2 x
x2
dv xdx, v
2
u ln x, du
2
2
2
x
1
x
1
x
=
ln x xdx
ln x
C .
2
2
2
2 2

9.

4. Метод замены переменной
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt , где x (t ) , а t – новая переменная.
Пример:
t sin 3x 4
cos 3x dx
1 dt 1 5 4/5
5 5
4
dt
3cos
3
x
dx
t
C
sin
3
x
4
C.
1/5
5 sin 3x 4
3 t
34
12
dt
cos 3x dx
3

10.

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
Рассмотрим интеграл
ax b
x 2 px q
dx , содержащий квадратный
трехчлен в знаменателе подынтегрального выражения. Такой
интеграл берут также методом подстановки, предварительно
выделив в знаменателе полный квадрат.

11.

Пример:
Вычислить
dx
.
x 4x 5
Преобразуем x 2 4 x 5 , выделяя полный квадрат по формуле
2
a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тогда получаем:
x2 4 x 5 x2 2 x 2 4 4 5 x2 2 2 x 4 1 x 2 1.
2
x 2 t
dx
dx
dt
x 2 4 x 5 ( x 2)2 1 x t 2 t 2 1 arctgt C
dx dt
arctg (x 2) C.

12.

Интегрирование рациональных функций
Пример:
7 x x2 4
( x 1) x 5x 6 dx
2
7 x x2 4
7 x x2 4
A
B
C
( x 1) x 2 5 x 6 ( x 1)( x 2)( x 3) x 1 x 2 x 3
7 x x 2 4 A( x 2)( x 3) B( x 1)( x 3) C ( x 1)( x 2)
x 1 12 A( 3)( 4) A 1
x 2 6 B 3 ( 1) B 2
x 3
8 C 4 1 C 2
dx
dx
dx
2
2
ln x 1 2 ln x 2 2 ln x 3 C.
x 1 x 2
x 3

13.

Интегрирование иррациональных функций
Пример:
1 x
1 t
x t, x t 2
dx
2tdt
2
1 x
1 t
dx 2tdt
tdt
t2
2
2
dt
2
2
1 t
1 t
z 1 t2
tdt
1 dz
2
2
2
ln
z
ln(
t
1) C;
2
2 z
1 t
dz 2tdt
t2
(1 t 2 ) 1
dt
2
dt 2
dt 2 dt 2
2t 2arctgt C;
2
2
2
1 t
1 t
1 t
ln( x 1) 2 x 2arctg x C.

14.

Интегрирование функций, с помощью универсальной
тригонометрической подстановки
Пример:
x
dx
2
3sin x 2 cos x 1
2 dt
dx
1 t2
2t
dt
1 t2
2
2
2
3t 6t 1
1 t
cos x
1 t2
x
3tg 3 2
3t 3 2
3
2
ln
C.
x
6
3t 3 2
3tg 3 2
2
t tg
2
dt
3
ln
4
2
3 t 1
6
3
sin x