Математический анализ. Первообразная. Неопределенный интеграл

1.

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
2 семестр
Лекция 1
Первообразная. Неопределенный интеграл.
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Формула интегрирования по частям.
19 февраля 2014 года
Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович

2.

Основные определения, примеры
Определение 1. Функция F ( x) называется
первообразной по отношению к ф ункции f ( x)
на некотором промежутке, если на этом
промежутке ф ункция F ( x) диф ф ф еренцируема
и удовлетворяет условию F ( x) f ( x) или,
что то же самое, dF ( x) f ( x)dx.

3.

Основные определения, примеры
Пример 1. F ( x) 1 x 2 - первообразная для
x
f ( x)
на интервале -1; 1 , т.к.
2
1 x
в любой точке этого интервала
1 x
2
Пример 2. F ( x) sin x - первообразная для
f ( x) cos x на промежутке ; , т.к.
x ; : sin x cos x.
x
1 x
2
.

4.

Основные определения, примеры
Пример 3. F ( x) arctg x - первообразная для
1
1
f ( x)
на всей числовой оси, т.к. arctg x
.
2
2
1 x
1 x
1
Пример 4. F ( x) arcctg - первообразная для
x
1
f ( x)
на I ;0 0; , т.к.
2
1 x
1
1
1
1
arcctg
.
2
2
2
x
1 x 1 x
1
x

5.

Общий вид первообразной
Теорема. Если даны две первообразные
F1 ( x ), F2 ( x )
одной и той же непрерывной функции
f ( x)
на некотором промежутке, то всюду на этом промежутке
F1 ( x ) F2 ( x ) const

6.

Общий вид первообразной
Виды промежутков
,
[a; b], ( a; b), [a; b), ( a; b],
( ; b], ( ; b), [a; ), ( a; ),
( ; )
Основное свойство промежутка (связность)
x1, x2 I [ x1; x2 ] I

7.

Общий вид первообразной
Теорема Лагранжа о конечном приращении.
Е сли f : a, b
непрерывна на отрезке a, b и
диф ф еренцируема в a, b , то найдется точка
a, b такая, чт о f b f a f b a .
Симметричная форма теоремы Лагранжа
Если функция f(x) дифференцируема во всех точках некоторого
промежутка, то для любых двух точек x1,x2 из этого промежутка
f ( x1 ) f ( x2 ) f '(ξ)( x1 x2 ),
где точка ξ лежит между точками x1 и x2.

8.

Жозеф Луи Лагранж
25.01.1736 –
– 10.04.1813
Французский математик и механик, член Парижской
АН (1772). Родился в семье обедневшего чиновника.
Самостоятельно изучал математику. В 19 лет
Лагранж уже стал профессором в артиллерийской
школе Турина. В 1759 избран член Берлинской АН, а
в 1766—87 был её президентом. В 1787 Л. переехал в
Париж; с 1795 профессор Нормальной школы, с 1797
— Политехнической школы.
Автор классического трактата «Аналитическая
механика», в котором установил фундаментальный
«принцип возможных перемещений» и завершил
математизацию механики. Внёс большой вклад в
развитие анализа, теории чисел, теорию
вероятностей и численные методы, создал
вариационное исчисление.

9.

Пешеходный мостик в Пекине

10.

Общий вид первообразной
Следствие.( Критерий пос тоянства ф ункции)
Непрерывная на промежутке ф ункция постоянна на
нем тогда и только тогда, когда производная равна
нулю в любой точке э того промежутка.
Доказательство.
1) F ( x ) const
F '( x ) 0

11.

Общий вид первообразной
2) F ' x 0 для любых x1 , x2
F x2 F x1 F ' x2 x1 0 x2 x1 0.
x1 , x2 F x1 F x2 0 F x const
Доказательство теоремы
F1 '( x ) f ( x ), F2 '( x ) f ( x )
F ( x ) F1 ( x ) F2 ( x ) F '( x ) F1 '( x ) F2 '( x ) 0
F ( x ) const F1 ( x ) F2 ( x ) const
F1 ( x ) F2 ( x ) const

12.

Общий вид первообразной
Следст вие.
Е сли F1 x и F2 x - две первообразные ф ункции f x
на одном и том же промежутке, то их разность
F1 x F2 x постоянна на этом промежутке.
Замечание. Условие, что сравнение F1 x и F2 x
ведется на связном множестве существенно.

13.

Основные определения, примеры
Пример.
1
Пусть F x arctg x и F x arcctg . Их производные
1
2
x
совпадают на
\ 0 - области их совместного определения.
Но!
1
F x F x arctg x arcctg arctg x arctg x 0 x 0 ,
1
2
x
F x F x
1
2
x 0 ,
1
так как при x 0 arcctg arctg x
x

14.

Основные определения, примеры
Операция перехода к первообразной имеет свое название неопределенное интегрирование , и обозначение:
f x dx.
Определение . Совокупность всех первообразных
ф ункции f x называе тся её неопределенным инт егралом
и обозначается
f x dx F x C, где С R, а выражение
f x dx называ ется подынтегральным выражением,
f x - подынтегральной ф ункцией.

15.

Утверждение 2
Утверждение 2. Диф ф еренцирование и неопределенное интегрирование
- взаимообратные операции с точностью до постоянной C.
Доказательство.
d f x dx d F x C F x dx f x dx,
dF x dx F x dx F x C
Следствие. Производная от неопределнного интеграла
равна подынтегральной ф ункции.
Доказательство.
f x dx F x С F x f x .

16.

Таблица неопределенных интегралов
x 1
1. x dx
С , 1.
1
2.
dx
x ln x С.
dx
5. 2 ctg x С.
sin x
6.
dx
cos2 x tg x С.
arcsin x C
.
2
1 x
arccos x C1
dx
3. sin xdx cos x С.
7.
4. cos xdx sin x С.
arctg x С
dx
8.
.
2
1 x
arcctg x C1

17.

Таблица неопределенных интегралов
x
a
9. a x dx
С.
ln a
10.
shx ch x С.
11. ch x sh x С.
12.
dx
ch 2 x th x С
13.
14.
dx
sh x 2 x cth x С
dx
x2 1
ln x x 2 1 C.
dx
1 1 x
15.
ln
C.
2
1 x 2 1 x

18.

Таблица неопределенных интегралов
x 1
1. x dx
С , 1.
1
dx
2.
ln x С.
x
d x 1
1 d 1
1
=
x
1
x
x
dx 1 1 dx
1
d
1
ln x ( x 0)
dx
x
d
1
1
ln x
1 ( x 0)
dx
x
x

19.

Таблица неопределенных интегралов
arcsin x C
7.
.
2
1 x
arccos x C1
arctg x С
dx
8.
.
2
1 x
arcctg x C1
dx
arcsin x arccos x
arctg x arcctg
2
2

20.

Таблица неопределенных интегралов
Частные случаи
dx
1
x2 x C
dx
x 2 x C
x
x
e
dx
e
C

21.

Таблица неопределенных интегралов
Дополнительная таблица
dx
1
x
arctg
C ( a 0)
a2 x2 a
a
xdx
1
2
2
ln
a
x
C ( a 0)
a2 x2 2
dx
x2 a2
ln | x x 2 a 2 | C ( a 0)
x 2
a2
x
2
a
x
a
x
arcsin
C ( a 0)
2
2
a
x 2
a2
2
2
2
x a
x a ln | x x 2 a 2 | C (a 0)
2
2
2
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x C (a 0)
dx
x
arcsin
C ( a 0)
a2 x2
a
xdx
2
2
a 2 x 2 a x | C (a 0)
2

22.

Замечание
Замечание: Каждая из этих ф ормул рассматривается
на тех промежутках вещественной оси R, на которых
определена соответствующая подынтегральная ф ункция.
Е сли таких промежутков несколько то постоянная может
меняться от промежутка к промежутку.

23.

Основные правила вычисления интегралов
1.
f x g x dx f x dx g x dx
Доказательство.
f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x
f
x
g
x
dx
f x g x
2. af x dx a f x dx
Доказательство.
a f x dx af x
af
x
dx
af x

24.

Основные правила вычисления интегралов
Теорема. ( Замена переменных в неопределенном интеграле)
Е сли ф ункция y f x непрерывна на X , а x t , t T , t C 1 T ,
( то есть t непрерывна вместе с t и t обладает обратной
ф ункцией) то инте грал
f x dx f t t dt
Доказательство. Покажем, что левая и правая части имеют равные
производные по одному и тому же аргументу.
d
f x dx f x
dx
d
d
dt
1
f
t
t
dt
f
t
t
dt
f
t
t
f x .
dx
dt
dx
t
Таким образом, интегралы в левой и правой частях равны.

25.

Пример
Пример.
x sin t
1 x dx
1 sin 2 t cos tdt cos 2 tdt
dx cos tdt
2
1 cos 2t
1
dt
2
2
1
d 2t
dt cos 2tdt 2 dt cos 2t 2
1 1
1
t sin 2t C t sin t cos t C
2 2
2
1
arcsin x x 1 x 2 C
2

26.

Пример
Пример.
x tg t
dx
dt
cos tdt
2
cos t
cos 2 t tg 2 t 1
dt
dx
1 x
cos 2 t
sin t z
d sin t
dz
1 1
1
dz
2
2
1 sin t cos tdt dz
1 z
2 1 z 1 z
2
d 1 z 1
1 d 1 z
ln 1 z ln 1 z C
2
1 z
1 z 2

27.

Продолжение
Продолжение:
1
tg t
tg 2 t 1
1 1 z
1 1 sin t
1
ln
C ln
C ln
C
2 1 z
2 1 sin t
2 1 tg t
tg 2 t 1
1
ln
2
x2 1 x
1
ln
x2 1 x 2
x 1 x
2
Получили табличный интеграл :
2
C ln x x 2 1 C.
dx
1 x2
ln x x 2 1 C.

28.

Основные правила вычисления интегралов
Пример.
1
dx
sin tdt
sin t cos tdt
dt
cos t
2
2
cos t sin t
cos t
1
x 1 dx sin t dt
2
cos
t
1
cos 2 t
cos 2
x
1
2
1 1 sin t
1 1 1 cos 2 t
1
x
ln
C ln
C ln
C
2
2 1 sin t
2 1 1 cos t
2
1
1 1 2
x
1 1
1 x x2 1
1
ln
C ln x x 2 1
2 x x2 1
2
Получили табличный интеграл:
2
C ln x x 2 1 C
dx
x2 1
ln x x 2 1 C.

29.

Интегрирование по частям
Интегрирование по частям.
По правилу диф ф еренцирования произведения
d uv udv vdu udv d uv vdu, откуда
udv uv vdu
Последнее соотношение называется
ф ормулой интегрирования по частям.

30.

Классы функций интегрируемых по частям
Классы ф ункций интегрирования по ча стям.
1. J Pn x e x dx, где Pn x - многочл ен.
u Pn x , dv e x dx.
v dv e dx
x
J Pn x
1
1
e d x
x
1
e x
1
e e x Pn x dx
x
Степень многочлена стала меньше на е диницу

31.

Пример
u x 2 1;
du 2 xdx; e3 x dx dv
2
3x
x
1
e
dx
1
1 3x
3x
3x
v e dx d e e
3
3
u x; du dx;
1
1
1 3x 2
x 2 1 e3 x e3 x 2 xdx
e x 1
1 3x
3x
3
3
3
dv e dx; v e
3
2 1 3x
e3 x
1 3x 2
2 1 3 x e3 x
xe
dx e x 1 xe
3 3
3
3
3 3
9
1 3x 2
2 3 x 2e 3 x
e x 1 xe
C
3
9
27
C

32.

Классы функций интегрируемых по частям
2. J Pn x sin xdx
или J P x cos xdx ,
n
где Pn x - многочлен.
u Pn x ,
dv sin xdx dv cos xdx .

33.

Пример
u x 2 1; du 2 xdx
1
2
2
x
1
cos
2
xdx
x
1
sin 2 x x sin 2 xdx
1
2
v sin 2 x; dv cos 2 xdx
2
1
1
1
1
1
x 2 1 sin 2 x x cos 2 x cos 2 xdx x 2 1 sin 2 x x cos 2 x
2
2
2
2
2
1
sin 2 x C
4
Замечание.
udv u v C v C du uv Cu Cu vdu uv vdu

34.

Классы функций интегрируемых по частям
arcsin x
arccos x
3. J Pn x
dx , где Pn x - многочлен.
arctg x
arcctg x
dv Pn x dx, u arcsin x arccos x; arctg x; arcctg x .

35.

Пример
Пример.
3
x
x 2 1 dx dv v x
x3
3
2
x arcsin x
x 1 arcsin xdx
dx
3
arcsin x u du
1 x2
x3
dx
x3
1 x 3 dx
xdx
x
x arcsin x
2
2
2
3
3
3
1 x
1 x
1 x
x sin t
x3
1 sin 3 t cos tdt
sin t cos tdt
x arcsin x
dx cos tdt 3
3
cos
t
cos
t
x3
x3
1
2
x arcsin x sin t 1 cos t dt cos t x arcsin x cos t
3
3
3
1
1
cos t cos3 t C J
3
3

36.

Продолжение
Продолжение:
1
1
3
J arcsin x cos t cos t cos t C
3
3
4
1
2
arcsin x
1 x 1 x 2 1 x 2 C
5
9

37.

Классы функций интегрируемых по частям
4. J Pn x ln x dx ,
k
где Pn x - многочлен.
dv Pn x dx, u ln x
k

38.

Пример
2ln x
dx
x3
2
2
x
2
x
1
ln
x
dx
x
ln
x
3
3
x
2
dv x 1 dx; v x
3
u ln x ; du
2
x3
2ln x
x3
x2
2
x
dx x ln x 2 1 ln xdx
3
x
3
3
dx
u ln x, du
x
x3
x3
2
2
x
ln
x
2ln
x
x
3
x
x
3
9
1
dx
dv
,
v
x
9
3
x3
dx x 3
x3
x3
2
2 x x ln x 2ln x x 2 x C
9
x 3
9
27

39.

Классы функций интегрируемых по частям
u e ax ; du e ax dx
1 x
a
5. J e ax sin bx dx
e
cos
bx
cos bx e ax dx
1
b
b
dv sin bx; v sin bx
b
u e ax ; du e ax dx
1 x
a ax
a 2 ax
e cos bx 2 e sin bx 2 e sin bx dx
1
b
b
b
dv cos bxdx; v sin bx
b
1 x
a ax
a2
e cos bx 2 e sin bx 2 J
b
b
b
1
a
e ax 2 sin bx cos bx
ax
e
a sin bx b cos bx
b
b
J
a2
a 2 b2
1 2
b

40.

Классы функций интегрируемых по частям
Р екуррентные ф ормулы.
Jn
Jn
dx
x
2
n
x
x
2na 2
Jn
a
2
2
a
2
2n
n
dx
x
2
a
x
x
, dx dv, v x, u
2
a
2
n
2
n 1
x2 a2 a2
x
2
a
2
n 1
dx
1
x
2
a
2
n
x
x
2
a
2
n
, du
2n
2x
x
2
a
2
dx
x
2
a
2
n
n 1
dx
, или
1
x
2nJ n 2na 2 J n 1, т. е. J n 1
2n 1 J n
n
2
2na x 2 a 2

41.

Основные правила вычисления интегралов
Пример.
dx
x
2
9
3
J 3;
dx
x
2
9
3
1
x
dx
3
2
2
2 2 9 x 2 9 2
x 9
1
x
3 x
dx
2
2
2
2
36 x 9 2 9 x 9
x 9
x
d
dx
1
dx
1
a 1 arctg x C
x 2 a 2 a 2 x 2 a x 2 a
a
1 2
1
a
a
dx
x2 9
3
1
x
3 x
1
x
arctg C
2
2
2
36 x 9 2 9 x 9 3
3

42.

Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Первообразная. Неопределенный интеграл.
Замена переменной в неопределенном интеграле,
формула интегрирования по частям.
Лекция 1 завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Формула интегрирования по частям.
Интегрирование рациональных выражений.
Лекция состоится в среду 26 февраля
В 10:00 по московскому времени.