Неопределенный интеграл и его свойства

1.

2.

§ 1. Неопределенный интеграл и его свойства
1.1. Определение неопределенного интеграла
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной (для)
функции f(x) на некотором множестве значений Х, если F΄(x) = f(x) на
этом множестве.
Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) имеет на
этом отрезке первообразную.
Теорема 2. Если функции F(x) и G(x) являются первообразными одной и
той же функции f(x) на некотором множестве, то необходимым и
достаточным условием этого является то, что G(x) = F(x) + C, где С –
любая постоянная.
Доказательство.
Достаточность.
Пусть F(x) - первообразная f(x), то есть F΄(x) = f(x).
Тогда для любого числа C (F(x) + C)΄= F΄(x) + C΄= F΄(x) + 0 = f(x), то
есть F(x) + C - первообразная f(x).
Необходимость.
Пусть F(x) и G(x) – две различные первообразные одной и той же
функции f(x). Тогда (F(x) – G(x))΄= F΄(x) – G΄(x) = f(x) – f(x) = 0,
следовательно, F(x) – G(x) = C (по следствию из теоремы Лагранжа).

3.

§ 1. Неопределенный интеграл и его свойства
1.1. Определение неопределенного интеграла
Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f(x) на
некотором множестве называется ее неопределенным интегралом.
Обозначение:
f ( x)dx F ( x) C.
При этом f(x) называется подынтегральной функцией, а f(x)dx –
подынтегральным выражением.
Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую
функцию,
дифференциал
которой
равен
подынтегральному
выражению, а производная — подынтегральной функции.
Например:
2
2
2
d
(
x
C ) 2 xdx.
так
как
или
(
x
C
)
2
x
,
2
x
dx
x
C
,

4.

§ 1. Неопределенный интеграл и его свойства
1.1. Определение неопределенного интеграла
С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет
собой однопараметрическое семейство кривых y F ( x) C.
y
у=F(x)+С
α
F ( x) tg f ( x)
у=F(x)
C
α
x
Кривые семейства [F(x) + C] называют интегральными кривыми. Они
не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую
точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все
интегральные кривые получаются одна из другой параллельным
переносом вдоль оси Oy.

5.

§ 1. Неопределенный интеграл и его свойства
1.2. Свойства неопределенного интеграла
1.
d f ( x)dx d ( F ( x) C ) F ( x)dx f ( x)dx.
Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется
дифференцированием.
x
x3
2
2
Например,
т.к.
x
.
x
dx
C
,
3
3
3
2.
dF ( x) F ( x)dx f ( x)dx F ( x) C.
3.
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx.
Действительно,
( f ( x) g ( x))dx F ( x) G( x) C, а
f ( x)dx g ( x)dx F ( x) C1 G( x) C2 .
Но, поскольку С1+С2 – произвольная постоянная, выражения в
левой и правой частях равны.

6.

§ 1. Неопределенный интеграл и его свойства
1.2. Свойства неопределенного интеграла
C1
) k ( F ( x) C ) k f ( x)dx.
k
4.
kf ( x)dx kF ( x) C1 k ( F ( x)
5.
Инвариантность формулы интегрирования.
Если f ( x)dx F ( x) C , то и f (u )du F (u ) C ,
где u= (x) - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
Рассматривая сложную функцию F (u ) F ( ( x)), в силу
инвариантности формы первого дифференциала функции имеем:
dF (u ) F (u )du f (u )du.
Отсюда
f (u)du d ( F (u)) F (u) C.
sin 3 x
sin x d (sin x) 3 C.
2
x3
x dx 3 C
2
ln 3 x
ln x d (ln x) 3 C.
2

7.

§ 1. Неопределенный интеграл и его свойства
1.2. Свойства неопределенного интеграла
6.
Если подынтегральная функция f(x) четная (нечетная), то
первообразная функция будет соответственно нечетной
(четной).
Доказательство.
Пусть f(x) - чётная функция, т.е. f(-x)=f(x).
Рассмотрим интеграл
f ( x)dx F ( x).
F ( x) f ( x)d ( x) f ( x)d ( x) F ( x).
Например,
3
x
2
x dx 3 C ,
2
2
x
dx
x
C.

8.

§ 1. Неопределенный интеграл и его свойства
1.3. Таблица интегралов
1
u 1
u du 1 C, 1.
2
3
u
4
a
u
a du ln a C , a 0, a 1.
5
6
8
9
10
sin udu cosu C.
du
2
cos u
tg u C.
8
du
u ln | u | C.
u
u
e
du
e
C.
cos udu sin u C.
du
2
sin u
ctg u C.
du
1
u
1
u
2 2 a arctg a C a arcctg a C.
u a
du
u
u
2 2 arcsin a C arccos a C.
a u

9.

§ 1. Неопределенный интеграл и его свойства
1.3. Таблица интегралов
Добавить к этой таблице еще несколько формул, не следующих прямо
из таблицы производных, но удобных для вычисления многих интегралов.
11
12
13
14
du
u2 a2
du
u2 a2
1 u a
ln
C.
2a u a
ln | u u 2 a 2 | C.
2
u
a
2
2
2
2
2
2
u a du 2 u a 2 ln u u a C
u 2
a2
u
2
u a du 2 u a 2 arcsin a C
2
2

10.

§2. Простейшие методы интегрирования
В отличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь таблицей
производных, можно найти производную или дифференциал любой
заданной функции, в интегральном исчислении нет общих приемов
вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные
методы, позволяющие свести данный интеграл к табличному.
Простейшие
методы
интегрирования
Непосредственное
интегрирование
Внесение под
Знак
дифференциала
Замена
переменных
Интегрирование
по частям

11.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.1. Непосредственное интегрирование
1.
1
1
1
3 4 dx
x
x
x
x
1
2 dx
1
2x 2
2.
3.
x
1
3 dx
x
1
u
u du 1 C , 1
(1)
1
4 dx
2
3
33 2 44 3
3 3
4 4
2
x
x
x C.
C1 x C2 x C3
2
3
2
3
2
cos 2 x
sin
x
1
dx
tg
xdx
tg x x C.
dx
dx
2 dx
cos x
cos 2 x
cos 2 x
2
dx
du
arcsin
u
u
C arccos C (10)
a
a
a u
2 3x 2
1
dx
dx
1 arcsin x C .
2
2 2
3
3
2
x
3
2 x 2
3
3
3
2
2

12.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.1. Непосредственное интегрирование
4.
x2
x 1
2
x
dx
5.
x 4 dx
x 3
2
2
1 1
x 1
2
x2
x 1
2
dx dx
1
dx x arctg x C.
x 1
du
1
u
arctg
C (10)
2 2 a
a
u a
2
dx x arctg x C
( x 4 9) 9
x2 3
( x 2 3)( x 2 3) 9
dx
dx
2
x 3
dx
x3
9
x
( x 3)dx 9 2
3x
arctg
C.
2
3
3
3
x ( 3)
2

13.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.2. Подведение под знак дифференциала
Данный метод опирается на свойство 5 неопределенного интеграла
об его инвариантности.
1.
dx d ( x a)
2.
5.
dx
2d x
x
6.
9. dx
2
sin x
12.
15.
d ctg x
e x dx de x
dx
1 x
2
1 2
xdx dx
2
3.
1
x 2 dx dx3
3
7.
sin xdx d cos x cos xdx d sin x
10.
dx
d ln x
x
dx
2
cos x
d tg x
1
d
(
)
2
x
x
dx
d arctg x
2
1 x
13. x
1
x 14.
a dx
da
ln a
d arctg x d arcctg x
8.
1 4
x dx dx
4
3
dx
11.
16.
4.
dx
1 x
2
d arcsin x d arccos x

14.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.2. Подведение под знак дифференциала
1.
x 4 dx ( x
1
4) 2 d ( x
1
u 2 du
2
4) ( x
3
3
u2
3
2
3
4) 2
2
C ( x 4) x 4 C.
3
C
3
2
x
3
d
(
2
x
)
1
2
2
C.
(2 x 3) 2 d (2 x 3)
2. 2 x 3 dx (2 x 3)
6
2
2
u3
u du 3 C
2

15.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.2. Подведение под знак дифференциала
3.
x
2 dx
x 1
1 d (x2 )
2 1 x
2
1 2
xdx dx
2
du
u ln | u | C
x
1
2
dx
ln
x
1 C.
2
2
x 1
4.
sin x
d (cos x)
ln cos x C.
tg x dx cos x dx
cos x
sin xdx d cos x
1 d ( x 2 1) 1
ln 1 x 2 C.
2 1 x2
2
du
u ln | u | C

16.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.2. Подведение под знак дифференциала
5.
arctg x
1 x2
dx
1 x
6.
7.
2
dx arctg xd (arctg x)
d arctg x
3
2
(arctg x) 2
3
1
u 2 du
3
2u 2
3
1 x4
1 x4
4
x e dx 4 e d ( x ) 4 e C.
u
u
1 4
3
e
du
e
C
x dx dx
4
3
ln 2 x
(ln
x
)
2
C.
x dx (ln x) d (ln x)
3
3 x4
dx
d ln x
x
u3
u du 3 C
2
C
C
2
(arctg x)3 C.
3

17.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.3. Замена переменной в неопределенном интеграле
Теорема. Пусть функция f(x) определена на множестве Х, а функция
x
=φ(t) – на множестве Φ, причем φ(t) X t Ф. Тогда, если функция f(x)
имеет первообразную F(x) на Х, а φ(t) дифференцируема на Φ, то
f (t ) (t )dt f ( x)dx.
Доказательство.
Для того, чтобы доказать теорему, необходимо доказать, что производные
по х от левой и правой части совпадают.
f ( x)dx /x f ( x).
f ( (t )) (t )dt /x f ( (t )) (t )dt t/
1
dt dt
dx dx (t )
1
f ( (t )) (t )
f ( (t )) f ( x).
(t )
Полученная формула часто используется «в обратную сторону»:
f ( x)dx f (t ) (t )dt
то есть переменную х заменяется функцией новой переменной t.
Эта формула называется формулой интегрирования заменой переменной.

18.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.3. Замена переменной в неопределенном интеграле
x 3 t , x t 2 3
2
1. x x 3dx
t
(
t
3)2tdt
dx 2tdt
5
3
2
6
2
2 t 4 dt 6 t 2 dt t 5 t 3 C ( x 3) 2 2( x 3) 2 C.
5
3
5
dt
e x t , x ln t
dx
dt
2.
1 e x dx dt / t t (t 1) t 2 2 1 t 1 1
2
4 4
dt
2
1 1
t
2 2
2
1 u a
2 2 2a ln u a C
u a
du
1 1
x
1
e
t
2 2 C
ln
C.
ln
C ln x
1
1 1
t 1
e 1
2
t
2
2 2
t
(11)

19.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.3. Интегрирования по частям
Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором
промежутке, и на нем существует интеграл
существует и интеграл
udv,
vdu
, то на нем
причем
udv uv vdu.
Доказательство.
d uv vdu udv d uv vdu udv
vdu udv uv udv uv vdu.
u
udv dv
du
v
uv vdu.
Этот метод применяется чаще всего к интегралам вида
Pn ( x) f ( x)dx.

20.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.3. Интегрирования по частям
Вид интеграла
u
kx
P
(
x
)
e
dx
n
Pn(x),
каждое применение
интегрирования по частям
понижает степень Pn(x) на единицу
Pn ( x) sin kx dx
P( x) n coskx dx
Pn ( x) arcsin kx dx
Pn ( x) arccos kx dx
Pn ( x) ln kxdx
Pn ( x) arctg x dx
Pn ( x) arcctg x dx
ax
e sin bx dx
ax
e
cos bx dx
sin(ln x)dx
cos(ln x)dx
dv
Pn ( x)dx
eax,
и после двукратного применения
интегрирования по частям
приходим к исходному интегралу с
каким-то коэффициентом

21.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.3. Интегрирования по частям
1.
du dx
u x
x
cos
xdx
dv cos xdx v sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
dx
u
ln
x
du
2
2
2
x2
x
dx
x
x
x
2.
ln x
ln x C.
x ln xdx
2
2 x
2
4
x 2
dv xdx v 2
dx
u
arctg
x
du
2
2
2
x
x
dx
x 1
arctg
x
2
3. xarctg xdx
2
2 x 1
2
x
v
dv xdx
2
x2
1
dx x 2
1
1
arctg x dx 2
arctg x x arctg x C.
2
2
2
2
x 1 2

22.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.3. Интегрирования по частям
4.
u x 2
du 2 xdx
3x
2
e
2 3x
3x
2
x
e
dx
3
x
x
e
dx
x
e
3x
3
3
dv e dx v 3
du dx
u x
3x
3x
2
e
1
e
3
x
2
3x x
e dx
x
dv e 3 x dx v e
3 3 3
3
3
3x
e
2 3x 2 3x
e3 x
2
x
xe e C
(9 x 2 6 x 2) C.
3
9
27
27

23.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.3. Интегрирования по частям
5.
Рассмотрим так называемый возвратный интеграл:
x
x
u
e
du
e
dx
x
x
x
e cos x cos xe dx
J e sin xdx
dv sin xdx v cos x
u e x
du e x dx
x
x
x
e
cos
x
e
sin
x
sin
xe
dx
dv cos xdx v sin x
e x cos x e x sin x J .
Таким образом,
J e x (sin x cos x) J 2 J e x (sin x cos x),
1
J e x (sin x cos x) C.
2

24.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.3. Интегрирования по частям
Получим так называемую рекуррентную формулу для интеграла
dx
Jn
.
2
2 n
x a
6.
Jn
x
dx
2
a
2 n
u x
xdx
dv
2
2
x
a
1
a
2
a2 x2 x2
x
2
a
2 n
1 d x2 a2
n 2
2
2 n
x a
dx
1
a
2
J n 1
1
a
2
x
du dx
2
a
1
x
1
dx
2 J n 1 2
2
2 n 1 1 n
2
2 n 1
2a (1 n)( x a )
(x a )
a
1
x
1
2 J n 1 2
J n 1 .
2
2 n 1
n 1
2a (1 n)( x a )
a
2 n
1 1
1
v
2 n 1 x 2 a 2 n 1
1
1
x2
dx

25.

§2. Простейшие методы интегрирования
2.3. Интегрирования по частям
Таким образом,
или окончательно
1
1
x
2
J n 1
2
Jn
2
2
2 n 1
2
2a (n 1)( x a )
2a (n 1)
a
Jn
J1
J2
x
J3
x
2 n 1
2a (n 1)( x a )
2
2
J n 1
2n 3
a (2n 2)
2
.
dx
1
x
arctg
C,
2
2
a
a
x a
dx
2
x
a
dx
2
2 2
a
2 3
2 2 3 1
x
x
1
arctg
2 a
2
2
2
2
1
a 2 (2 1)a ( x a )
2 (2 1)a
1
2a 3
arctg
x
x
1
2 2
C;
2
a 2a x a
2 3 3 1
x
x
x
1
arctg
2
3
2
2
2
2
2
2
3
1
a 2a ( x a ) 2 (3 1)a ( x a )
2 (3 1)a 2a
3 1
x
x
x
1
2 3 arctg 2 2
2 2
C и т.д.
2
2 2
a
4 a 2a
2a ( x a ) 4a ( x a )