Первообразная и неопределенный интеграл

1.

Лекция7

2.

«Недостаточно только получить знания, надо их
систематизировать и найти им достойное приложение». Гёте И.
(Немецкий поэт и мыслитель18 века.)
«Не в количестве знаний заключается образование, но в полном
понимании и искусном применении всего того, что знаешь.»
Дистервег А.(Немецкий педагог и политик 19 века.)
«Повторение – мать учения». (Русская народная пословица.)

3.

Первообразная и неопределенный
интеграл
Определение. Функция F x называется
первообразной функции f x , определенной на
некотором промежутке, если F x f x для
каждого x из этого промежутка.

4.

Первообразная и неопределенный
интеграл
Определение. Совокупность всех
первообразных функции f x ,
определенных на некотором
.
промежутке, называется
неопределенным интегралом от
функции f x на этом промежутке и
обозначается f x dx .

5.

Свойства интеграла
Сформулируем далее следующие свойства
неопределенного интеграла:
Если функции f1 x и f 2 x имеют
первообразные, то функция f1 x f 2 x
также имеет первообразную, причем
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
2. Kf x dx K f x dx ;
3. f x dx f x C ;
4. f x x dx F x C .

6.

Таблица неопределенных
интегралов
1.∫dx=x+c
2.∫xⁿdx=(xⁿ⁺/n+1)+c
3.∫1/x²dx=-1/x+c
4.∫1/√xdx=2√x+c
5.∫sinxdx=-cosx+c
6.∫cosxdx=sinx+c
7.∫1/sin²xdx=-ctgx+c
8.∫1/cos²xdx =tgx+c
9.∫1/(1+x²)dx =arctgx+c
10.∫1/(√1-x²)dx =arcsinx+c

7.

Свойства дифференциалов
При интегрировании удобно пользоваться
свойствами:
1
1 . dx d ( ax )
a
1
2 . dx d ( ax b ),
a
1 2
3 . xdx dx ,
2
1 3
2
4 . x dx dx .
3

8.

пример
Вычислить
∫cos5xdx

9.

Примеры
Пример . Вычислить cos 5xdx .
Решение. В таблице интегралов найдем
cos xdx sin x C .
Преобразуем данный интеграл к табличному,
воспользовавшись тем, что d ax adx .
Тогда:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

10.

пример
Вычислить
∫(x²+3x³+x+1)dx

11.

Примеры
3 dx
Пример. Вычислить (x 3 x
x
.
Решение. Так как под знаком интеграла
находится сумма четырех слагаемых, то
раскладываем интеграл на сумму четырех
интегралов:
2
2 3x3 x 1 dx x 2 dx 3 x3dx xdx dx .
x
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

12.

Решите самостоятельно:
1.∫(3x²+6x)dx
2.∫(1+sinx)dx
3.∫(1/x²+x)dx
4.∫(2+3x⁵)dx
5.(x⁷+2x⁵-4x²)dx
6.∫(4/√x+8/x²)

13.

пример
Найти неопределенный интеграл.
1.∫(3х²-6x)dx=x³-3x²+C
2.∫(1+sinx)dx=x-cosx+C
3.∫(1/x²+x)dx=-1/x+x²/2+C
4.∫(2+3x)⁵dx=1/3*6*(2+3x)⁷+C
5.∫(x⁷+2x⁵-4x²)dx=x⁸/8+x⁶/3+4x³/3+C
6.∫(4/√x+8/x²)dx=8√x-8/x+C

14.

Домашнее задание
1.∫(2+3x⁵+х-sin x)dx
2. ∫ (x⁷+7x³-9x²+cos2x)dx