02 Кинематика

1.

Кинематика

2.

Кинематика
Кинематика - раздел механики, посвященный
математическому описанию движения тел.
Материальная точка - тело, размерами которого можно
пренебречь в условиях данной задачи.
Система отсчета
y
x
z
Система отсчета это система координат,
жестко связанная с реальным телом
(телом отсчета)

3.

Кинематика
Радиус-вектор материальной точки
y
Радиус-вектор материальной точки
относительно данной системы
R
отсчета - это вектор из начала
координат системы отсчета в точку
x
R ( R x , R y , R z ) ( x, y , z )
z
Проекции радиус-вектора на оси координат равны координатам
точки
Описать движение точки, значит задать зависимость
R R(t )

4.

Кинематика
Траектория
Траектория - это линия, вдоль
которой движется тело
Пройденный путь
s
1
2
Пройденный путь – это расстояние,
пройденное телом вдоль
траектории
Пройденный путь – скалярноая
величина
[ s] м

5.

Кинематика
Перемещение
R
2
R2
1
R1
Перемещение – это вектор,
соединяющий начальную и
конечную точки пути
R1 R R2
R R2 R1
Перемещение равно изменению радиус-вектора точки
R ( Rx , R y , Rz )
Rx x
R y y
Rz z

6.

Кинематика
Скорость
Скорость – это векторная величина, равная перемещению точки
в единицу времени
R
1
t1
R
vср
t
2
t2
t t2 t1
vср
[v ]
м
с
vср R
Вектор скорости направлен по вектору перемещения

7.

Кинематика
Мгновенная скорость
Мгновенная скорость это средняя скорость за очень короткий
промежуток времени
R
dR
dR
v lim t 0
v
t
dt
dt
Мгновенная скорость равна производной радиус-вектора
материальной точки по времени
v (v x , v y , v z )
dx
vx
dt
dy
vy
dt
dz
vz
dt
Вектор мгновенной
скорости направлен по
касательной к траектории

8.

Кинематика
Ускорение
Ускорение – это векторная величина, равная изменению
скорости в единицу времени
м
v1
v
v
v
2
1
[
a
]
aср
2
с
t
t
v1
t
aср 2
t t2 t1
t1
v1
v
v2
aср v
Вектор ускорения направлен по вектору
изменения скорости

9.

Кинематика
Мгновенное ускорение
Мгновенное ускорение – это среднее ускорение за очень короткий
промежуток времени
v
a lim t 0
t
a (a x , a y , a z )
dv
dt
dv x
ax
dt
dv y
ay
dt
dvz
az
dt
d
v
a
dt
d 2x
2
dt
d2y
2
dt
d 2z
2
dt

10.

Кинематика
Тангенциальное, нормальное и полное ускорения
Любой малый участок криволинейной траектории можно считать
частью окружности определенного радиуса (радиус кривизны
траектории)
n
n
R
v
- тангенциальное
направление
n - нормальное
направление
, n - единичные векторы
v v

11.

Кинематика
Тангенциальное, нормальное и полное ускорения
d
v
d
dv
d
a
(v ) v
a an
dt
dt
dt
dt
C
1
1
A
d
B
dt
t
n
1
D
OAB ~ BCD
R
O
t
AB CD
OA BC
v
t R
v t
( 1 2 1)
R
1
n
v
n
t R

12.

Кинематика
Тангенциальное, нормальное и полное ускорения
2
dv v
a a an n
dt
R
a
an
n
a
dv
a
dt
v2
an
R
- тангенциальное
ускорение
- нормальное
ускорение
a a 2 an2

13.

Кинематика
Движение с постоянным ускорением
Формула скорости
v0
v v v0
a
t
t
t 0
a
R
v v0 at
t
v
v x v0 x a x t
v y v0 y a y t
v z v0 z a z t

14.

Кинематика
Движение с постоянным ускорением
Формула перемещения
Разобьем траекторию на малые
прямолинейные отрезки
v
i ti
R Ri
v0
t 0
Ri ti , ti
a
vi v0 ati
R v0 ti ati ti
vi
R
i
i
i
t
i
R v0 ti a ti ti
v
i
ti t
i
i
t
t2
ti ti ti 0 tdt 2
i
0

15.

Кинематика
Движение с постоянным ускорением
Формула перемещения
2
at
R v0t
2
axt 2
Rx x v0 x t
2
a yt 2
R y y v y t
2
azt 2
Rz z v0 z t
2

16.

Кинематика
Движение с постоянным ускорением по прямой
а) Скорость тела увеличивается
a
v
v
0
t 0
x0
v v0 at
at 2
R v0t
2
R
t
x
x
v v0 at
at 2
x x x0 v0t
2

17.

Кинематика
Движение с постоянным ускорением по прямой
б) Скорость тела уменьшается
a
v
v
0
t 0
R
t
x
x0
v v0 at
at 2
x x x0 v0t
2
x

18.

Кинематика
Графики прямолинейного движения
Равномерное движение. График проекции скорости.
v
v
v x v
v x v
x
vx
vxt x
vx 0
t
vx 0
Площадь под графиком
скорости равна
изменению координаты
точки

19.

Кинематика
Графики прямолинейного движения
Равномерное движение. График координаты.
t
t 0
v
x0
x x x0
vx
t
t
x
x0
x
x
x
x x0 vxt
vx 0
t
vx 0
x x0
tg
vx
t
Тангенс угла наклона
графика координаты равен
проекции скорости точки

20.

Кинематика
Графики прямолинейного движения
Движение с ускорением. График проекции ускорения.
x
v x v0 x
0
ax
const
0
t
a xt vx v0 x
ax 0
t
ax 0
Площадь под графиком
проекции ускорения
равна изменению
проекции скорости точки

21.

Кинематика
Графики прямолинейного движения
Движение с ускорением. График проекции скорости.
v x v0 x
ax
t
vx
v0 x
vx
vx v0 x axt
ax 0
t
точка
поворота
ax 0
v x v0 x
tg
ax
t
Тангенс угла наклона
графика скорости равен
проекции ускорения точки

22.

Кинематика
Графики прямолинейного движения
Движение с ускорением. График координаты.
ax 2
x x 0 v0 x t t
2
x
ax 0
x0
ax 0
t

23.

Кинематика
Абсолютная и относительная скорость
v1
R1
K
R21
R2
v2
d
dt
R2 R1 R21
dR2 dR1 dR21
dt
dt
dt
R R R
2
1
21
v2 v1 v21
v21 v2 v1