Теоретическая механика Кинематика
6.1 Основные понятия кинематики
6.2 ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
Скорость точки
Ускорение точки
6.3 Координатный способ задания движения точки
Скорость точки
Скорость точки
Ускорение точки
6.4 Естественный способ задания движения точки
Чтобы задать положение точки М на траектории необходимо:
Закон движения точки М по траектории:
Скорость точки
Оси естественного трехгранника
Ускорение точки М:
Ускорение точки равно:
6.5 Частные случаи движения точки
6.5.2 Равномерное криволинейное движение
6.5.3 Равномерное прямолинейное движение
6.5.4 Графики равномерного прямолинейного или криволинейного движения
6.5.5 Равнопеременное криволинейное движение
627.50K
Category: physicsphysics

Теоретическая механика Кинематика. Лекция № 6

1. Теоретическая механика Кинематика

Лекция № 6

2. 6.1 Основные понятия кинематики

Кинематикой называется раздел механики, в котором
изучаются геометрические свойства движения тел без
учета действующих на них сил.
В теоретической механике рассматривается движение
тел относительного другого тела, с которым связана
система координат. Эта система координат называется
системой отсчета. Систему отсчета чаще связывают
с условно неподвижным телом. В технических
расчетах - с Землей.
Пространство в теоретической механике
рассматривают как трехмерное Евклидово.
Время в теоретической механике считают
универсальным, то есть одинаково текущим во всех
системах отсчета.

3.

Основная задача кинематики точки и твердого
тела состоит в том, чтобы, зная их закон
движения, установить методы определения их
основных кинематических характеристик:
траектории, скорости, ускорения.
Задать закон движения точки или тела, значит
задать положение точки (тела) относительно
системы отсчета в любой момент времени.
Существует три способа задания движения точки
(тела): векторный, координатный,
естественный.

4. 6.2 ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Траектория движения
точки - геометрическое место
последовательных (с течением
времени) положений точки в
пространстве.
Закон движения точки М в
векторной форме задается
радиус-вектором
,
проведенным из точки
r Ок
точке М, как функции
времени t.
Z
r
k
O
i
X
r r (t ) r xi yj zk
j
M
z
y
x
Y

5. Скорость точки

Скорость – это векторная
величина, характеризующая
быстроту и направление
движения точки в данной
системе отсчета.
Вектор перемещения за
время t t1 t равен:
Z
r r r1
Средняя скорость точки М
за этот промежуток времени
равна:
r
vср
t
O
X
M
v
r r M
vср
r1 1
Y

6.

r dr
v lim (vср ) lim
r
t 0
t 0 t
dt
Вектор скорости v точки М
в данный момент времени
равен первой производной от
радиуса-вектора r по
времени t и направлен по
касательной к траектории
в сторону движения.
v 1м / c
Z
O
X
M
v
r r M
vср
r1 1
Y

7. Ускорение точки

За промежуток времени t t1 t
точка переместится из
положения M в положение M1, и
при этом ее скорость изменится
от до . v
v1
v
aср
v v1 v
t
Вектор a ср как и вектор v
М
v
v
a ср
М1
a
v1
всегда направлен в сторону
вогнутости траектории.
a lim aср
t 0
v dv d r
lim
2 v r
t 0 t
dt
dt
2
v1

8.

Ускорение точки a характеризует изменение
вектора скорости v по величине и направлению с
течением времени.
Ускорение a равно первой производной по
времени от вектора скорости v и второй
производной от радиус-вектора r точки М.
Вектор a лежит в соприкасающейся плоскости
и всегда направлен в сторону вогнутости
траектории.
Положение соприкасающейся плоскости
определяется предельным положением плоскости
проведенной через векторы v и v1при стремлении
2
точки М1 к точке М.
a 1м / с .

9. 6.3 Координатный способ задания движения точки

При координатном способе закон движения
точки в пространстве (уравнения движения
точки) задается тремя координатами
(декартовыми) как функциями времени:
X = f1(t); Y = f2(t); Z = f3(t);
на плоскости – двумя координатами:
X = f1(t); Y = f2(t);
при прямолинейном движении – одной
координатой:
X = f1(t).
Для получения уравнения траектории точки из
уравнений движения исключают время.

10. Скорость точки

Z
Скорость точки dx
vX
vZ
v
k vX
r
i
X
j
vY
M
Y
x ;
dt
dy
vY
y ;
dt
dz
vZ
z
dt
Проекции вектора скорости
Так как r xi yj zk , то
на оси декартовых
скорость точки равна:
координат равны первым
dr dx
dy
dz
v
i
j k , производным от
dt dt
dt
dt
соответствующих
координат по времени.
но
v vX vY vZ

11. Скорость точки

Модуль вектора скорости равен
v v v v
2
2
2
X
Y
Z
Вектор образует с осями координат углы,
определяемые направляющими косинусами
Z
vZ
v
cos v X ; v
X
;
v
vY
cos vY ; v ;
v
vZ
cos vZ ; v
v
v
k vX
r
i
X
j
vY
M
Y

12. Ускорение точки

Ускорение
Ускорение точки
равно:
2
2
2
точки
Z
aZ
dv d r d x
d y
d 2z
a
2 2 i 2 j 2 k
dt другой
dt
dt
dt
dt
С
стороны
a aX aY aZ
a
k
aX
r
aY
M
Y
dv X d 2 x
j
i
aX
2;
X
dt
dt Проекции вектора
ускорения на
2
dvY d y оси декартовых координат равны
aY
2 ; первым производным от проекций
dt
dt
скорости или вторым производным
2
dvZ d z от координат точки по времени.
aZ
2.
dt
dt

13.

Модуль вектора ускорения:
a a a a
2
X
2
Y
2
Z
Углы вектора ускорения
с осями координат:
.
aX
cos a X ; a
;
a
aY
cos aY ; a ;
a
aZ
cos aZ ; a .
a
Z
aZ
a
k
i
X
aX
r
j
aY
M
Y

14. 6.4 Естественный способ задания движения точки

Для применения естественного способа
задания движения точки должна быть известна
ее траектория.
Траектория точки может быть задана
различными способами:
уравнениями (возможно с неравенствами),
x2
y2
например,
1, 1 x 3;
4
9
словесно, например, радиус окружности равен 3м;
в виде графика в масштабе.

15. Чтобы задать положение точки М на траектории необходимо:

Указать точку О – начало
отсчета расстояний;
указать направление
Z
положительного отсчета (+);
указать начало отсчета
времени t =0,
обычно за начало отсчета
O1
времени принимают или
X
начало движения или момент
времени, когда движущаяся
точка М проходит через точку О.
S
O
t
r
y
M
z
x
Y

16. Закон движения точки М по траектории:

s f t ,
f t
Функция
определяет положение точки
на траектории, но не пройденный ею путь
Z
ds dx dy dz
2
2
S
O
2
t
r
O1
X
y
M
z
x
Y

17.

Если при
Z
t 0, s 0
, то
S
O
t
.
t
s dx dy dz
2
2
r
2
O1
M
z
x
Y
0
X
Если известен закон движения точки в декартовых
координатах, то
dx x dt ;
dy y dt ;
dz z dt
y
t
s x y z dt
2
2
0
Это - связь естественного способа задания
движения точки с координатным.
2

18. Скорость точки

dr ds ds dr
v
dt ds dt ds
Z
S
O
t
r
O1
v
z
x
Y
dr
X
,
1
,
Но
единичный вектор направлен по
ds
касательной к траектории в сторону движения точки
М, следовательно, скорость точки М направлена по
касательной к траектории в сторону движения и
равна
y
M
ds
v
dt

19. Оси естественного трехгранника

b
Точка М - начало подвижной системы
координат -естественного
трехгранника М nb.
спрямляющая
M
Ось M - касательная направлена по
нормальная
касательной к траектории в сторону
движения точки.
Ось Мn – главная нормаль направлена соприкасающаяся
перпендикулярно М в сторону
n
вогнутости траектории так, чтобы эти оси
образовали соприкасающуюся плоскость.
Ось Мb - бинормаль направлена перпендикулярно соприкасающейся плоскости в сторону, откуда поворот от оси М к оси Mn
виден против хода часовой стрелки.
Образовались еще две координатные плоскости:
Mnb
нормальная и M b – спрямляющая.

20.

n
1
φ - угол смежности
d
1
lim
k
S 0 s
ds
k – кривизна кривой
в точке М,
ρ – радиус кривизны
кривой
в точке М.
1
n
φ
v1
ρ
φ
1
ρ
v
M
M1
Δs
v

21.

n
1
n
dv d ds
a
dt dt dt
2
n d
d s
ds d
d
2
dt
dt dt
так как d d n ,
dv
d ds
v
d / ds 1 / , то
dt
dt ds
2
dv
v
dv
2 d
v
.
a
n
dt
ds
dt
1
φ
v1
ρ
φ
1
ρ
v
M
M1
Δs
v

22. Ускорение точки М:

dv
v2
a n
dt
Вектор a ускорения точки М разложен на две взаимно
перпендикулярные составляющие, лежащие в
соприкасающейся плоскости:
касательное
ускорение
dv
a
(тангенциальное), направленное по
dt касательной
к
траектории,
характеризующее
изменение
2
скорости
по величине;
v
нормальное
ускорение
a
n
n
направленное
перпендикулярно касатель- ному в
сторону
вогнутости
траектории,
характеризующее
изменение
скорости по направлению.
(центростремительное),

23. Ускорение точки равно:

a a a
n
n
Модуль ускорения равен:
a
a a
2
n 2
ρ
a
an
a v
M
Направление ускорения по отношению к нормали
определяется углом α:
n
a
cos
a

24. 6.5 Частные случаи движения точки

6.5 Частные случаи движения
2
dv
v
точки
a n
6.5.1 Прямолинейное
движение
n
dt
dv
, a 0 a a
dt
Ускорение направлено по прямой так же как
и скорость , если точка движется ускоренно и в
противоположном направлении, если замедленно.
Ускорение меняется только по величине.
Если a const , то точка движется
равнопеременно: равнозамедленно или равноускоренно.
v
a
замедленное
v
a
ускоренное

25. 6.5.2 Равномерное криволинейное движение

dv
v const
0 a 0
dt
2
v
n
a a n
Полное ускорение
и направлено
по радиусу кривизны в
сторону вогнутости.
Скорость изменяется
только по
направлению.
2
dv
v
a n
dt
a
n
v
τ

26. 6.5.3 Равномерное прямолинейное движение

dv
v const
0 a 0
dt
,
a 0
n
a a 0 a 0
n
dv
v2
a n
dt
Точка движется по прямой с постоянной скоростью
.
v const
s vt
v a 0
равномерное
прямолинейное

27. 6.5.4 Графики равномерного прямолинейного или криволинейного движения

График движения
s
наклонная
прямая
График скорости
v
t
о
прямая // Ot
График ускорения
a (a)
t
s vt v const
o
t
a (a ) 0

28. 6.5.5 Равнопеременное криволинейное движение

2
dv
v
n
a const , a n
dt
dv a dt
интегрируем:
v a t C1
dv a dt
При t=0, v=v0 , C1=v0 ,
Скорость изменяется по закону:
v v0 a t

29.

ds
v0 a t ds v0 dt a tdt
dt
ds
v
dt
a
tdt
0
t2
s v0t a
C2
2
при t =0, С2=s0 ,
Закон движения точки при ее равнопеременном
криволинейном движении имеет вид:
2
t
s s0 v0t a
2

30.

Графики равнопеременного криволинейного или
прямолинейного движения точки имеют вид:
График движения
График скорости
парабола
v
s
наклонная
прямая
a
2
t
s s0 v0t a
2
t
t
t
График ускорения
прямая // Ot
v v0 a t a const
English     Русский Rules