КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
План лекции
Введение
КИНЕМАТИКА
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ ТОЧКИ
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
СКОРОСТЬ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ
СКОРОСТЬ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ. ПРИМЕР
СКОРОСТЬ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ. ПРИМЕР
СКОРОСТЬ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ
УСКОРЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ВЕКТОРНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ПРОЕКЦИИ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ НА ОСИ ЕСТЕСТВЕННОГО ТРЕХГРАННИКА
ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
539.96K
Category: physicsphysics

Кинематика материальной точки

1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
КИНЕМАТИКА
ЛЕКЦИЯ 1

2. План лекции

Введение
Способы задания движения
Скорость
Ускорение
Частные случаи движения
Заключение
2

3. Введение

Мы изучили первый раздел курса ТМ - СТАТИКУ.
F1
F2
Основной результат
ТЕЛО, СИЛЫ : ( F1 ,..., F1 )
n
n
( F1 ,..., F1 ) 0 Fk 0, M 0 Fk 0
k 1
F3
Fn
k 1
Если уравнения равновесия не выполнены, то тело будет двигаться!
Каким образом?
Ответ на этот вопрос будет дан в третьей части курса – в динамике.
Вторая часть курса – кинематика, нужна для того, чтобы разобраться с
самим движением.
Причины движения (т.е. СИЛЫ) нас в кинематике интересовать не
будут!
3
Кинематика

4. КИНЕМАТИКА

наука, изучающая движение тел
без учета действующих на них сил.
Задачи кинематики:
1. Научиться задавать движение тел
2. По заданным законам движения тел определять их
кинематические характеристики
(скорость, ускорение, …)
Замечание. Есть еще и обратная задача - по заданным кинематическим
характеристикам тела определять закон его движения.
Решать эти задачи мы начнем с простейшего тела –
материальной точки.
Цель лекции: изучить кинематику точки.
4
Кинематика

5. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

В прямоугольной декартовой системе Oxyz
Z
1
r
z
k
O
х i
X
5
Задание движения
j
A
x x(t )
y y (t )
z z (t )
координатный способ
y
Y
2
r x(t )i y (t ) j z (t )k
r r (t ) векторный способ

6. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Z
Траектория точки –
геометрическое место
положений, занимаемых
ею при движении
A
O
X
Y
Замечание. Не путать с другим
«определением»: траектория – это
линия, по которой движется точка.
Траектория может быть лишь часть
этой линии!!!
Уравнения траектории
f1 ( x, y, z ) 0
f 2 ( x, y, z ) 0
6
Задание движения

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ ТОЧКИ

Пример. Точка двигалась в плоскости Oxy в течение 10 секунд.
Определить ее траекторию, если
x(t ) 2t; y(t ) 12t 2
y
Решение. Заданные уравнения
определяют траекторию в
параметрическом виде. Для получения
явного вида y=y(x) исключим параметр t.
Получим:
y 3x
x
O 10 20
t x / 2 y 3x . t 0,10 x 0,20
2
Ответ:
Траектория – часть параболы
7
Задание движения
y 3x , x 0,20
2
2

8. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

В естественной системе
A
– O+
s
M
B
Пусть линия AB, по которой движется
точка, известна. Тогда положение точки
М на линии можно определить введя
естественную координату s.
s OM ; s s(t )
Такой способ задания движения называется естественным.
1.
2.
3.
4.
8
Задание движения
Уравнения траектории
Начало отсчета
Положительное направление
Закон движения s(t)

9. СКОРОСТЬ ТОЧКИ

Z
r r (t t ) r (t )
r (t )
O
X
r
V (r )
r
Vср
t
r (t t )
Y
r dr
V (r ) lim
r
t 0 t
dt
Вектор скорости точки
направлен по касательной к ее траектории
9
Скорость точки

10. СКОРОСТЬ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ

dx dy dz
dr
d
j
k
V (t )
i x jy kz i
dt
dt
dt
dt
dt
V x x
V y y
V z z
10
Скорость точки
V (t ) i vx j vy kvz
V
2
Vx
2
Vy
2
Vz
2
2
2
x y z

11. СКОРОСТЬ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ. ПРИМЕР

Движение точки задано уравнением
t
t
r 2 cos i 2 sin j
6
6
Определить уравнение траектории и скорость точки при t = 1c.
t
x(t ) 2 cos ,
6
t
y(t ) 2 sin
6
2
2
t
t
x
y
сos2 sin 2
1
4
6
6 4
x2 y2
1
4
4
11
Скорость точки
уравнение траектории
(окружность)

12. СКОРОСТЬ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ. ПРИМЕР

Движение точки задано уравнением
t
t
r 2 cos i 2 sin j
6
6
Определить уравнение траектории и скорость точки при t = 1c.
t
Vx x sin ,
3 6
Vx (1) 0,52 м / с
t
Vy y cos
3
6
Vy (1) 0,91м / с
y
V
2
Vx
2
Vy
V
1,1м / с
1
12
Скорость точки
2
x

13. СКОРОСТЬ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ

dr dr ds ds
V
s
dt ds dt dt
dr
ds
r
ds
V (t )
dt
Вектор скорости точки направлен по касательной к ее траектории
13
Скорость точки

14. УСКОРЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

v1
M (t1 )
v
aср
v v2 v1
v
a cp14
t
14
Ускорение точки
M (t1 t )
v2
приращение вектора скорости за
время Δt
среднее ускорение – изменение скорости
за единицу времени

15. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ВЕКТОРНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ

a cp
v
t
v
d v d 2r
a lim
2
t
dt
dt
t 0
ускорение в данный момент
времени t
Ускорение точки — это векторная величина,
характеризующая быстроту изменения ее скорости и равная
первой производной от скорости или второй производной
от радиус-вектора по времени
15
Ускорение точки

16. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ

в декартовой системе координат
вектор скорости
v
вектор ускорения
a
vx i v y j vzk
a x i a y j a zk
d v
v x i v y j v z k
a x i a y j a zk
dt
a x v x x
a y v y y
a z v z z
a | a | a 2x a 2y a 2z
16
Ускорение точки

17. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ

спрямляющая плоскость
соприкасающаяся плоскость
M (t1 )
b
n
нормальная плоскость
17
Ускорение точки

18. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ

dv d
d
a
s s s
dt dt
dt
d
v
dt
Момент времени
d
dt
t
1
c
2
Момент времени
18
Ускорение точки
t+∆t
t
d d
n
dt
dt
2 1

19. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ

d
lim
t 0 t
dt
При малых ∆φ
d
a s s
dt
1
sin / 2 / 2
d
2 sin / 2
lim
t 0
t
dt
2
lim
t 0 t
a s s n a ann a an
Касательное ускорение
19
Ускорение точки
Нормальное ускорение

20. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ

M
ds
d
2
2
d
d ds
d
s
v
s
s
s 2
dt
ds
ds dt
угловая скорость вектора
Радиус кривизны
траектории
d 1
ds
ds d
Ускорение точки
s
v
2
2
a a an v n
20
v
an
a
2
a an
2
v2
2

21. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ

– О + s(t)
M
an
n
a
21
Ускорение точки
a
v

22. ПРОЕКЦИИ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ НА ОСИ ЕСТЕСТВЕННОГО ТРЕХГРАННИКА

b
n
v v vn n vbb
v s
vn 0
22
Ускорение точки
vb 0
a a an n abb
a s a s 2
n
ab 0

23. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

a 0
v const
v t1
v t1 v t2 v t3
v t 2
v t3
Такое движение называется равномерным
Равнопеременное движение
a const
Ускоренное движения:
v a 0
Замедленное движения:
v a 0
v 0
a 0
a 0
23
Ускорение точки
v 0
English     Русский Rules