Кинематика материальной точки
Линейная скорость материальной точки.
Средняя скорость прохождения отрезка пути.
Векторный способ описания движения
Описание движения материальной точки в декартовой системе координат
II. Скорость материальной точки
III. Ускорение материальной точки
IV. Перемещение материальной точки за интервал времени от t1 до t2
Траекторный способ описания движения
Радиус кривизны траектории
Выразим нормальное ускорение материальной точки через радиус кривизны её траектории:
Движение с постоянным ускорением .
Движение с постоянным ускорением Формула для разности квадратов скоростей
Материальная точка движется вдоль оси Ох.
По графику зависимости x(t) вычислим
Кинематика равномерного вращения материальной точки по окружности
Кинематика вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Кинематика вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Связь линейных и угловых величин.
Пример:
Равноускоренное движение материальной точки по окружности.
0.96M
Category: physicsphysics

Кинематика материальной точки

1. Кинематика материальной точки

s
Пусть за интервал времени от t1
2 l
до t2 материальная точка
1
переместилась из положения 1 в
r
положение 2.
r2
r1
О – начало отсчёта.
r1и r–2 радиусы-векторы точки
в моменты времени t1 и t2
O
соответственно.
l – траектория материальной точки.
S – путь, пройденный материальной точкой за интервал
времени от t1 до t2.
r r2 –r1перемещение материальной точки за интервал
времени от t1 до t2.

2. Линейная скорость материальной точки.

v1
Линейная скорость материальной точки.
r
r1
O
Средняя скорость материальной
точки в интервале времени от t1 до
t2:
r (t2 ) r (t1) r
vср
t t
t
2 1
r dr
r2
v
lim
Мгновенная скорость:
t 0 t
dt
Среднее ускорение материальной точки в
интервале времени от t1 до t2:
v ( t 2 ) v ( t1 ) v
aср
t2 t2
t
v dv
Мгновенное ускорение: a lim
t 0 t
dt
v2

3. Средняя скорость прохождения отрезка пути.

vср S
t
Средний путевой скоростью движения точки называется
скалярная величина равная отношению пути, пройденного
точкой за интервал времени t к его продолжительности.
Пример:
A
vср
v2
v1
S
B
2S
S
v
1
S
v2
v1 v 2
v1 v 2

4. Векторный способ описания движения

r r (t )
dr
v
dt
2
dv
d
r
Ускорение материальной точки:
a
dt
dt
Скорость материальной точки в момент времени t:
Скорость материальной точки:
t
v ( t ) v0 a ( t ) dt ,
0
где 0– скорость материальной точки в момент времени t=0.
Радиус-вектор материальной точки в момент времени t:
t
r ( t ) r0 v ( t ) dt
0
Перемещение материальной точки за интервал времени
t
от 0 до t:
r v ( t ) dt
0

5. Описание движения материальной точки в декартовой системе координат

I.
Z
z
A
y
0
x
X
Y
x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)

6. II. Скорость материальной точки

Проекции вектора скорости на оси координат:
dx
dy
dz
vx
; vy
; vz
dt
dt
dt
v v x2 v y2 v z2
Модуль вектора скорости:
Косинусы углов, которые вектор скорости
составляет с осями Ox, Oy, Oz:
vx
Cos ;
v
Cos
vy
v
;
vz
Cos
v

7. III. Ускорение материальной точки

Проекция вектора ускорения на оси координат:
dv x d 2 x
ax
2;
dt
dt
d 2y
ay
2;
dt
dt
dv y
Модуль вектора ускорения:
dv z d 2 z
az
2
dt
dt
a a x2 a y2 a z2
Косинусы углов, которые вектор ускорения
составляет с осями Ox, Oy, Oz:
ay
a
x
Cos ; Cos ; Cos a z
a
a
a

8. IV. Перемещение материальной точки за интервал времени от t1 до t2

Проекция вектора перемещения на оси координат:
rx x2 x1
ry y2 y1
rz z2 z1
Модуль вектора перемещения:
r rx2 ry2 rz2
Косинусы углов, которые вектор перемещения
составляет с осями Ox, Oy, Oz:
ry
r
x
Cos ; Cos ; Cos r z
r
r
r

9. Траекторный способ описания движения

Дуговая координата: l=l(t)
Скорость материальной точки:
l
n
dl
v
v
dt
Полное ускорение материальной точки:
O
v
dv
v d d v
1
2
a
v
n
dt
dt
dt
R кр
v0
a
an
a
an
a a 2 an2
Если v , a v
Если v , a v
g
an
a

10. Радиус кривизны траектории

B
RB
A
RA
Радиус окружности, аппроксимирующий траекторию
в данной точке

11. Выразим нормальное ускорение материальной точки через радиус кривизны её траектории:

d
d dl
2 d
an v
v
v
dt
dl dt
dl
1
1
dl
d
2
n
Rкр
d
O
Rкр
d
1
1
d
n
n
dl R кр
R кр
1
an v
n
R кр
2

12. Движение с постоянным ускорением .

Движение с постоянным ускорением a const
.
Зависимость скорости материальной точки от времени:
v ( t ) v0 a t
v0 - скорость материальной точки в момент времени t=0.
Зависимость радиуса-вектора материальной точки от
времени:
at 2
r ( t ) r0 v0t
2
r0 - радиус-вектор материальной точки в момент времени
t=0.
Перемещение материальной точки за интервал
времени от 0 до t:2
at
r ( t ) v0t
2

13. Движение с постоянным ускорением Формула для разности квадратов скоростей

v0
O
x0
a
v
x
X
ax t 2
x x 0 v0 x t
v x v0 x a x t
2
Приращение координаты материальной точки за интервал
времени от 0 до t:
v x2 v02x
x x x 0
2a x
Проекция на ось Ох перемещения материальной точки за
2
2
интервал времени от 0 до t:
v x v0 x
r x x
2a x

14. Материальная точка движется вдоль оси Ох.

)
По графику зависимости x (tвычислим:
v x , м/c
3
2
v ( t ')
1
t
t1
0
1
1
t '2
3
1). Путь, пройденный
материальной точкой за
интервал времени от t1 до t2:
S 2 0,5 2,5 м
2). Приращение координаты
материальной точки за
интервал времени от t1 до t2:
x2 x1 2 0,5 1,5 м
t2 3). Проекцию перемещения
4 t, c материальной точки за
интервал времени от t1 до t2:
r 2 0,5 1,5 м
x

15. По графику зависимости x(t) вычислим

x
vx ( t )
Касательная
x2
x x2 x1
x1
t t2 t1
t1
x
v x ( t ')
t
t2
t

16.

Материальная точка движется вдоль оси Ох.
По графику зависимости x(t)
вычислим vср
X
x2
Направление движение
точки не изменяется
X
x'
S x2 x1
x2
t t2 t1
t1
S
vср
t
S1 x ' x1
S2 x2 x '
x1
'
В момент времени tнаправление
движения точки изменяется
x1
t2
t
t
t1
S1 S2 t '
vср
t
t2 t

17. Кинематика равномерного вращения материальной точки по окружности

2 R
Период обращения точки:
T
Частота обращения точки:
1
T
Центростремительное ускорение:
R
aцс
v лин
2
[T ] c
c 1
2
v
aцс 2R
R

18. Кинематика вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

d
Угол поворота:
d
Угловая скорость:
d
рад
с
dt
Угловое ускорение:
d d 2
рад
r
с2
dt dt 2
O
Если: , , если: , .
2
(t ) 0 t ,
( t ) 0 t t
Если const ,
2 18

19. Кинематика вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Связь линейных и угловых величин.

Z
d
d
dr
r
O
n
v
dr d , r
, r
dv d , r
a
dt
dt
, r
z
a
:dt
dr
,
dt
, , r
2
n
an
Л2
19

20. Пример:

Материальная точка начинает движение по окружности
радиусом R с постоянным угловым ускорением .
Вычислите угол между векторами её скорости и
полного ускорения через t секунд после начала
движения.
a R
an 2 R 2t 2 R
aполное
R
v
an
a
an
arctg
arctg t 2
a

21. Равноускоренное движение материальной точки по окружности.

Зависимость угловой
скорости от времени:
0 t
z
Зависимость приращения
угла поворота от времени:
0t
z 0z z t
t
2
2
z 0 z t
z t2
2
English     Русский Rules