Similar presentations:
Кинематика движения материальной точки и абсолютно твердого тела. Движение материальной точки
1. Кинематика движения материальной точки и абсолютно твердого тела
Движение материальнойточки
2. Материальная точка – физическая модель объекта
Модель – абстрактная система, являющаясяупрощенной копией реальной системы.
Материальная точка – тело, размерами
которого можно пренебречь в условиях
данной задачи.
Движение тел происходит в пространстве и
времени.
Следовательно, для описания движения
материальной точки надо знать, в каких
местах пространства эта точка находится в
различные моменты времени.
3. Положение материальной точки определяется по отношению к какому-либо другому произвольно выбранному телу.
Положение материальной точкиопределяется по отношению к какомулибо другому произвольно выбранному
телу.
Тело отсчета – условное неподвижное тело,
относительно которого определяется
положение движущегося тела.
Тело отсчета – реальный объект.
С телом отсчета связывают
систему координат – это абстракция
(декартова с.к., сферическая с.к.).
4.
Приборы, служащие для определенияположения движущегося тела – линейка
и т.п.
Прибор, служащий для определения
времени – часы – любой периодический
процесс.
Если есть несколько тел и,
соответственно, несколько часов, то
необходимы приборы для
синхронизации часов.
5.
Тело отсчета, связанная с ним системакоординат, линейка, часы и приборы
для синхронизации часов составляют
пространственно-временную систему
отсчета.
Гелиоцентрическая СО – тело отсчета
Солнце.
Геоцентрическая СО – тела отсчета
Земля.
6. Положение материальной точки в системе отсчета Наиболее часто используется декартова система отсчета.
yj
x – ось абцисс
(абцисса),
y – ордината,
z – аппликата.
y
0
x
k
i
z
z
x
7. Положение материальной точки характеризуется тремя координатами (x,y,z) или радиус-вектором
r xi yj zk ,i,
y
j,
единичные вектора
(орты).
i j k 1.
j
r x y z .
2
y
0
x
k
i
z
z
k
x
2
2
8. При движении материальной точки её координата с течением времени изменяется.
Движение материальной точкиопределяется скалярными уравнениями
x x t ;
y y t ;
z z t ,
или векторным уравнением r r t .
Эти уравнения называются
кинематическими уравнениями
движения материальной точки.
9. Траектория точки. Длина пути. Вектор перемещения (перемещение). Принцип независимости движения
Траектория точки. Длина пути.Вектор перемещения (перемещение).
y
r1
0
Принцип независимости движения
Число независимых
S
координат, полностью
определяющих положение
Δr
точки в пространстве,
r2
называется число
степеней свободы.
x
r t - радиус вектор.
Траектория – кривая, которую описывает
радиус вектор материальной точки при её движении.
В зависимости от формы траектории движение разделяется на
- прямолинейное, - криволинейное.
10. Расстояние, отсчитанное вдоль траектории, (длина участка траектории) называется длиной пути S. - скалярная функция.
Расстояние,отсчитанное
вдоль
траектории, (длина участка траектории)
называется
длиной
пути
S.
S t - скалярная функция.
Направленный отрезок прямой
(вектор), соединяющий
S
y
r
начальную и конечную точки
Δr
траектории называется
r
вектором перемещения
0
x (перемещением).
1
2
r r2 r1;
r S .
11. При прямолинейном движении
r SЕсли движение происходит в течение
бесконечно малого времени Δt → 0, то
по модулю путь равен перемещению
dS dr .
12. Если материальная точка участвует в нескольких перемещениях,
то результирующее перемещение равновекторной сумме перемещений,
совершаемых материальной точкой в каждом
из движений в отдельности:
r ri .
y
Δ r1
r r1 r2
Δr
Δ r2
x
13. Скорость движения материальной точки. Понятие о кривизне
Для характеристики движения материальной точкивводится понятие скорости – векторная величина.
S1
Δ r1
v ср1
Δ r2
v ср2
Материальная точка
движется по
криволинейной
траектории.
За время Δt1 точка
проходит путь S1 и
получает приращение
Δr1 ,
За время Δt2 – Δr2 .
14. Вектор средней скорости – отношение перемещения к промежутку времени
r1vср1
;
t1
r2
vср 2
;
t 2
r
vср v
;
t
v r .
Вектор средней скорости характеризует
изменение положения радиус-вектора.
t 0
v стремится к
Если
предельному значению.
15. Мгновенная скорость материальной точки
– векторная величина, равная первойпроизводной радиус-вектора
движущейся точки по времени.
r dr
v lim
t 0 t
dt
t 0
dr dS , следовательно,
модуль мгновенной скорости равен
первой производной пути по времени:
dS
v v .
dt
16. В математике производной функции
y f xв точке x0 называется предел отношения
изменения функции Δy в этой точке к
вызвавшему его изменению аргумента Δx
при произвольном стремлении Δx к нулю
dy
y
y x y x lim
.
x 0 x
dx
17. Физический смысл производной:
это среднее значение изменения функции натаком интервале, на котором среднее
значение функции не меняется.
Мгновенная скорость
dr dx dy dz
v
i
j k.
dt dt
dt
dt
dx
dy
dz
vx ;
vy ;
v z – проекции
dt
dt
dt вектора скорости
2
2
2
v vx v y vz .
на оси координат.
18. Неравномерное движение
yСредняя скорость неравномерного
S – скалярная
движения
v
величина.
t
S
r1
S r
Δr
r2
0
x
v v
Средняя скорость больше модуля
вектора средней скорости.
19. Вычисление пройденного пути. Понятие об интеграле
vti 0.
2
1
vi – мгновенная
скорость.
S i vi ti .
0
n
t1
Δ ti
t2
t
(1)
n
S S i vi ti .
i 1
( 2)
i 1
n
t2
S lim v t dt v t dt.
t 0 i 1
t1
(3)
20.
21
v
0
t1
Δ ti
t2
t
Физический смысл интеграла –
бесконечно большая сумма бесконечно
малых слагаемых.
Геометрический смысл интеграла –
площадь под кривой, ограниченная двумя
перпендикулярами и осью абсцисс.
21. Средняя скорость прохождения пути
Svср .
t
(4)
Средняя скорость неравномерного
движения – средняя скорость такого
равномерного движения, при котором
материальная точка за то же время
проходит тот же путь.
22. Ускорение
1y
v v2 v1.
v1
(1)
2
v2
Δv
Мгновенное ускорение
v2
v dv
a lim
v t v t .
t 0 t
dt
2
dv d dr d r
a
2 . (3)
dt dt dt dt
x
(2)
23.
Модуль среднего ускорения:a
2
d S
dt
.
2
( 4)
Ускорение движения материальной точки это
первая производная от вектора скорости по
времени или вторая производная от радиусвектора по времени.
a axi a y j az k ,
a x , a y , a z – проекции вектора ускорения на координатные оси.
dvx d 2 x
ax
2;
dt
dt
dv y d 2 y
ay
2 ;
dt
dt
dvz d 2 z
az
2.
dt
dt
a a x2 a y2 a z2 .
24. Понятие о кривизне
v1ΔS
1
v1
2
Δφ
Δφ
v2
Δφ - угол между
касательными в
точках, отстоящих друг
от друга на расстоянии
ΔS.
Кривизна
d
C lim
.
S 0 S
dS
25. Кривизна траектории характеризует
скорость поворота касательной придвижении или степень искривленности
кривой.
Радиус кривизны траектории в данной
точке есть величина обратная кривизне
1
R .
C
Радиус кривизны траектории в данной
точке есть радиус окружности, которая
сливается на бесконечно малом участке
в данном месте с кривой.
26. Нормальное и тангенсальное ускорения при криволинейном движении
Δ vτРазложим вектор Δv на
две составляющие.
v1
Δ vn
v2
Δv
v2
v v2 v1;
v v vn .
dv d R d
dR
a
R
dt
dt
dt
dt
2
v
2
R v R R R R
R .
R
a
an
27. Нормальное и тангенсальное ускорение
aτv
an
a
dv
a
an a .
(1)
dt
an нормальное ускорение
характеризует изменение
скорости по направлению.
Вектор an направлен в
данной точке
перпендикулярно
скорости к центру
кривизны траектории
(центростремительное
ускорение).
28. – тангенсальное ускорение характеризует
a – тангенсальное ускорение характеризуетaτ
изменение скорости по
величине и направлено
вдоль скорости (или в обратную сторону).
dv
a . (3)
dt
v
an
a
2
2
a an a .
(4)
Любое криволинейное движение можно
представить
как
суперпозицию
поступательного
и
вращательного
движений.
29. Основная задача механики
Состоит в нахождении закона движения –кинематического уравнения.
Закон движения – зависимость
положения тела от времени в
выбранной системе отсчета.
r r t .
x x t ,
y y t ,
z z t .
(1)
(2)
30. Понятие об абсолютно твердым телом (АТТ). Поступательное и вращательное движение
Абсолютно твердое тело – это модель,тело расстояние между любыми двумя
точками которого в процессе движения
не меняется.
31. Поступательное движение – движение,
21
2
1
при котором любая
прямая проведенная
внутри тела,
перемещается
параллельно самой
себе.
При поступательном движении все точки тела за одно и
тоже время совершают одинаковые перемещения и в
один и тот же момент времени имеют одинаковые
скорости и ускорения.
32. Абсолютно твердое тело
• Поступательное движение АТТ можнорассматривать, как движение
материальной точки.
33. Кинематические уравнения.
1. Равномерноедвижение
материальной
точки
вдоль оси x.
a 0
x t x0 v0 t ,
x0 – начальная координата.
34. Кинематические уравнения.
2. Равнопеременное движение.2
at
x x0 v0t
,
2
v v0 at.
35. Вращательное движение АТТ относительно неподвижной оси – движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры
которых лежат на прямой, называемой осьювращения.
Δφ
R 1
R 2
При вращательном движении
точек тел, находящихся на
разном расстоянии от оси
вращения, они за одно и то
же время совершают разные
перемещения и в один и тот
же момент времени имеют
разные v и a.
36. В то же время радиус-вектор, соединяющий точки тела с осью вращения, за одно и то же время поворачивается на один и тот же угол
Δφ.Δφ
R 1
R 2
• Угол поворота служит для
определения положения
тела и закон движения –
кинематическое уравнение
имеет вид
t .
37. Вектор элементарного угла поворота. Вектор угловой скорости и углового перемещения. Связь линейных и угловых характеристик
движенияdφ
ω
d
v
• Положение
материальной точки,
R
совершающей
вращательное движение,
определяется
углом
поворота d .
– векторная величина (псевдовектор, аксиальный
вектор).
Модуль
равен углу поворота.
d
Направление определяется правилом правого
винта.
38. Угловая скорость
– векторная величина, равная первойпроизводной угла поворота по времени
d
рад
,
(1 )
d ,
.
dt
сек
Линейная скорость точки
S
R
v lim
lim
R lim
R .
t 0 t
t 0 t
t 0 t
В векторном виде
v , R .
(2)
39. В векторном виде
v , R .(2)
Векторное произведение по
модулю равно
v R sin , R.
α
ω
R
v
Направление вектора v
совпадает с направлением
поступательного движения
правого винта при его
вращении от вектора ω к
R.
40. Угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени
Угловое ускорение – векторная величина,равная первой производной
угловой
скорости
2
d d
по времени
dt
dt
2
.
(3)
При ускоренном движении ;
при замедленном движении
.
ε
aτ
an
an
v
ω 1
ω 2
ε
d
0
dt
ω 2
aτ
d
0
dt
ω 1
v
41. Кинематическое уравнение равномерного вращения
00 t .
Частота вращения:
Период: T
2
.
N
n ;
t
1
n .
T
42. Кинематическое уравнение равнопеременного вращения
0 tt
const
2
2
.
Длина пути, пройденного точкой по дуге
радиуса R:
S R;
Sокр 2 R.
43. Скалярное и векторное произведение векторов
● Скалярное произведение:С A B cos ,
A, B.
Пример: работа, совершаемая силой
A FS cos .
44. ● Векторное произведение:
C A, B ,C A B sin .
C
B
α
A
Направление вектора С
определяется по правилу
правого винта:
1. С перпендикулярен
плоскости векторов А, В.
2. Направление вектора С
совпадает с направление
поступательного
движения правого винта
при его вращении от А к
В.
Другое правило: если наблюдать с конца вектора С, то кратчайший
поворот от А до совмещения с В – против часовой стрелки.