Разложение вектора по базису

1.

Система
векторов
пространства Rn, если
называется
базисом
1
Векторы этой системы линейно независимы.
2
Любой вектор из этого пространства линейно
выражается через векторы этой системы.

2.

ТЕОРЕМА
Линейно независимая система векторов
в пространстве Rn является базисом
тогда и только тогда, когда число
векторов этой системы равно
размерности пространства n.

3.

ТЕОРЕМА
Разложение любого вектора в данном
базисе является единственным.

4.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть система векторов
a1 , a2 ...an
является базисом.
Предположим, что вектор b может быть
представлен в виде линейной комбинации
базисных векторов двумя способами:
b 1a1 2 a2 ... n an
b 1a1 2 a2 ... n an

5.

Причем наборы чисел
1 , 2 ... n и 1 , 2 ... n
не совпадают.
Вычтем одно равенство из другого:
( 1 1 )a1 ( 2 2 )a2 ... ( n n )an 0
Получили, что линейная комбинация векторов
системы равна нулю, т.е. Система оказалась
линейно зависимой, что противоречит условию
теоремы.
Следовательно, разложение вектора в данном
базисе будет единственным.

6.

Таким образом, в произвольном базисе
пространства Rn любой вектор из этого
пространства представим в виде разложения
по базисным векторам:
b 1a1 2 a2 ... n an
Причем, это разложение является единственным
для данного базиса.
Числа
1 , 2 ... n
называются координатами вектора b
в базисе
a1 , a2 ...an

7.

Чтобы найти коэффициенты разложения αi в
случае
произвольного
базиса,
нужно
приравнять соответствующие координаты
линейной комбинации и координаты вектора b
Пусть базисные вектора заданы в координатной
форме:
a1 (a11 , a12 ...a1n )
...
an (an1 , an 2 ...ann )
И задан вектор
b (b1 , b2 ...bn )

8.

Тогда получим систему линейных уравнений:
1a11 2 a12 ... n a1n b1
a a ... a b
1 21
2 22
n 2n
2
...
1an1 2 an 2 ... n ann bn
Решая эту систему,
разложения
находим
1 , 2 ... n
коэффициенты

9.

Рассмотрим базис пространства Rn , в котором
каждый вектор ортогонален остальным
векторам базиса:
e1 , e2 ...en
(ei , e j ) 0 i j
i, j 1,2...n
Такой базис называется ортогональным.
Они хорошо представимы на плоскости и в
пространстве:

10.

e3
e2
e1
e1
e2

11.

Найдем разложение вектора b
в ортогональном базисе:
b 1e1 2e2 ... n en
Умножим обе части равенства на e1
(b , e1 ) 1 (e1 , e1 ) 2 (e2 , e1 ) ... n (en , e1 )
Поскольку
все
вектора
ортогональны, то
(ei , e j ) 0
базиса
i j
взаимно

12.

Имеем:
(b , e1 ) 1 (e1 , e1 )
(b , e1 ) (b , e1 )
1 2
(e1 , e1 )
e1
В общем случае:
(b , ei )
i 2
ei

13.

Частным случаем ортогонального
является ортонормированный базис.
базиса
В этом случае все базисные вектора имеют
единичную длину:
ei 1
Тогда коэффициенты разложения имеют вид:
i (b , ei )
i 1,2...n