Линейное пространство. Линейные операторы. Квадратичные формы. Лекция 3

1.

GİRİŞ HİSSƏ
ЛЕКЦИЯ 3
ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
PLAN
Определение линейного пространства.
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
Скалярное произведение векторов
Понятие линейного оператора и линейного преобразования
Матрица линейного преобразования
Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
Матрица квадратичной формы
Закон инерции
Критерий Сильвестра

2.

ЛИТЕРАТУРА
1)
Под ред. Н.Ш.Кремера . Высшая математика для экономистов.
ЮНИТИ 2012
2)
Н.Дж.Мусаев, В.Я.Гюльмамедов. Лекции и задачи по курсу высшей
математики. 1-я и 2-я части, Баку2002
3)
В.А.Ильин . Э.Г.Позняк . Линейная алгебра.-М.: Наука, 2010
4)
В.А.Ильин .Э.Г. Позняк. Основы математического анализа.Часть 1-М.:Физматлит,2005
5)
Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике .Москва.1-я
и 2-я части, 2018
6)
Под ред. В.И.Ермакова. Сборник задач по высшей математике для
экономистов-М.2006
7)
Ю.М.Протасов. Линейная алгебра и аналитическая геометрия .2017

3.

ВВЕДЕНИЕ
В этой лекции мы введём понятие линейного пространства. Дадим
определение размерности и базиса линейного пространства. Познакомимся с
линейными преобразованиями; рассмотрим собственные векторы и
собственные значения линейного преобразования. Исследуем квадратичные
формы. Познакомимся с критерием Сильвестра для установления
знакоопределенности квадратичной формы.

4.

В школе изучались различные числовые множества (подмножества множества
R): множество натуральных чисел N, целых чисел Z рациональных чисел Q и
т.д.. В современной математике изучаются и множества, каждый элемент
которых представляет собой совокупность нескольких действительных чисел.
Например, линейное уравнение:
полностью определяется
a1x1 a2 x2 ... an xn b с переменными x1 , x2 , ..., xn
совокупностью его коэффициентов и правой части a ,...an , b ; каждое решение
такого уравнения 1 , 2 ,..., n также представляет собой совокупность чисел .
Результат работы любого предприятия характеризуется определенными
числовыми показателями, т.е. совокупностью чисел. Для задания такой
совокупности, необходимо знать
не только какие числа образуют
совокупность, но и в каком порядке, например совокупности (2;5), (5,2) –
различны.
В этом смысле говорят, что совокупности чисел, которые мы будем
рассматривать, упорядочены.

5.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Упорядоченная совокупность n чисел x1 , x2 , ..., xn называется
n - мерной точкой или n -мерным вектором.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех n -мерных точек ( n -мерных векторов)
называется n -мерным арифметическим пространством и обозначается Rn .
R1 -множество действительных чисел (числовая прямая)
R2 - числовая плоскость.
Rn -числовое пространство n 3 .
Для элементов Rn можно определить понятие равенства и операций
сложения и умножения на число.
Два вектора X x1 ; x2 ;...xn
равными, если выполняется условие:
X i Уi
и У y , y ,... y
1
i 1,2,..., n ,
т.е. соответствующие компоненты равны.
Сумма двух векторов обозначается через
равенством :
X x1; x2 ,..., xn .
n
считаются
(1)
X У и определяется
X У x1 y1; x2 y2 ;...; xn yn
Умножение вектора X x1 ; x2 ;...xn на
равенством:
2
(2)
число
определяется

6.

Для определения, таким образом, операции сложения и умножения на число
элементов выполняются свойства 10 80 .
10 . X Y Y X
2 0 . X Y Z X Y Z
30 . 0 , для которого выполняется X 0 X .
4 0 . Для X X X X 0
50 . 1 X X
60 . X X
70 . X X X
80 . X Y X Y

7.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество L с определенными для его элементов
операциями сложения и умножения на число, удовлетворяющими аксиомам
10 80 , называется линейным (векторным) пространством.
И так Rn - линейное пространство. Множество векторов трехмерного
пространства V3 , множество векторов принадлежащих некоторой плоскости
V2 , множество всех функций, непрерывных на интервале и т.д. являются
линейными пространствами.
Совокупность всех многочленов степени n не являются линейным
пространством, так как при сложении двух многочленов одинаковой степени
может
получится
многочлен
низшей
степени,
например
3x3 x 2 5 3x3 x 2 5 , а это не является элементом этого
множества.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
линейной
1 , 2 ,..., k .
Выражение
комбинацией
a a ... a называется
1
векторов
1
2
2
a1 , a 2 ;...; a k
k
с
k
коэффициентами

8.

Любая линейная комбинация векторов линейного пространства является
вектором того же пространства.
Если некоторый вектор b линейного пространства представлен в виде
линейной комбинации векторов a1 , a 2 ;...; a k того же пространства,
т.е.
1 a1 2 a 2 ... k a k b
(4) ,
то говорят, вектор b разложен по векторам a1 , a 2 ;...; a k .
Важную роль в теории линейных пространств играет
линейной зависимости и линейной независимости векторов.
понятие
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов a1 , a 2 ;...; a k некоторого линейного
пространства L называется линейно независимой, если равенство
1 a1 2 a 2 ... k a k 0
(5)

9.

Выполняется только при нулевых значениях коэффициентов; если же
равенство (5) имеет место и при условии, что хотя бы один из коэффициентов
a1 , a 2 ;...; a k называется линейно
отличен от нуля, то система векторов
зависимой.
Видно, что (5) является частным случаем равенства (4) при b = 0.
Следовательно (5) есть разложение нуль - вектора по векторам a1 , a 2 ;...; a k .
Линейная независимость векторов a1 , a 2 ;...; a k означает, что разложение
нуль вектора по векторам системы возможно единственным образом, а
линейная зависимость означает не единственность такого разложения.
ТЕОРЕМА 1. Если система содержит не менее двух векторов, то для
линейной зависимости этой системы необходимо и достаточно, чтобы, по
крайней мере, один из этих векторов системы являлся линейной комбинацией
остальных векторов системы.

10.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Докажем сперва необходимость.
Пусть a1 , a 2 ,..., a k - линейно зависимые. Тогда по определению линейной
зависимости векторов равенство:
1 a1 2 a 2 ... k a k 0
Имеет место при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от
нуля. Допустим k 0 .
Тогда обе части равенства разделим на k .
1
2
a1 a 2 ... a k 0
k
k
1
2
k 1
a k a1 ...
a k 1
k
k
k
a k 1 a1 2 a 2 ... k 1 a k 1

11.

А это разложение вектора a k по остальным векторам этой системы.
Теперь докажем достаточность.
Пусть
a k 1 a1 2 a 2 ... k 1 a k 1
Перенесем все в одну сторону, получим
1 a1 2 a 2 ... k 1 a k 1 a k 0
Как видно, k 1 0 по определению линейной зависимости векторов
векторы a1 , a 2 ,..., a k - линейнозависимы.
Теорема доказана полностью.
Если система содержит нулевой вектор, то эта система линейнозависима.
Для системы, состоящей из одного вектора, линейная независимость системы
означает, что вектор не является нуль-вектором, а линейная зависимость
означает, что вектор является нуль-вектором.
И действительно, пусть система состоит из вектора a 1 . Равенство (5) примет
вид:
1 a1 0
Если a 1 =0, то равенство выполняется при 1 0 и при 1 0 (случай
зависимости). Если a1 0 , то равенство выполняется при условии 1 0
( случай независимости).

12.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если в линейном пространстве имеется n линейно
независимых векторов, а n 1 векторов линейно зависимы, то пространство
называется конечномерным; если же линейное пространство таково, что в
нем существуют системы из сколь угодно большого числа линейно
независимых векторов, то это пространство называется бесконечномерным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Максимально возможное число линейно независимых
векторов в конечномерном пространстве называется размерностью этого
пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система n линейно независимых векторов в n мерном
пространстве называется базисом этого пространства.
Теорема 2. По векторам базиса можно разложить любой вектор пространства,
причём единственным образом.

13.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть векторы
a1 , a 2 ,..., a n образуют базис некоторого линейного n
мерного пространства, а b произвольный вектор того же пространства.
Система ( a1 , a 2 ,..., a n b ) содержит n 1 вектор, а следовательно,
линейнозависима. По определению линейно зависимых векторов равенство
1 a1 2 a 2 ... n a n n 1 b 0
(6)
Выполняется при условии, что, по крайней мере, один из коэффициентов
отличен от нуля. Среди них обязательно будет и коэффициент n 1 , иначе мы
получим равенство:
1 a1 2 a 2 ... n a n 0
среди коэффициентов, которого будут отличные от нуля, что противоречит
линейной независимости векторов a1 , a 2 ,..., a n .

14.

Итак n 1 0 . Обе части равенства (6) разделим на n 1 , получим:
1
2
b
a1
an
n 1
n 1
(7)
b 1 a1 2 a 2 ... n a n
а это и есть разложение вектора b по базисным векторам a1 , a 2 ,..., a n .
Теперь докажем единственность этого разложения. Предположим кроме
разложения (7) существует и другое разложение:
b a1 a 2 ... n a n
(8)

15.

Из (7) вычтем (8)
b b 1 1 a1 2 2 a 2 ... n n a n
(9)
0 1 1 a1 2 2 a 2 ... n n a n
Так как векторы a1 , a 2 ,..., a n образуют базис, то они линейно независимы, а
следовательно равенство (9) выполняется только при нулевых значениях
коэффициентов. Следовательно,
1 1 0; 2 2 0; ...; n n 0
Следовательно , 1 1; 2 2 ;... n n .
И так, единственность разложения доказана.
Теорема доказана полностью.

16.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты разложения вектора по векторам базиса
этого пространства полностью определяет этот вектор. Они называются
координатами вектора в данном базисе.
В Rn рассмотрим n следующих векторов:
e1 1, 0,..., 0
e2 0,1,..., 0
en 0, 0,...,1
Докажем, что система векторов
e1,e2 ,...,en линейно независима в Rn .
Рассмотрим линейную комбинацию этих векторов с произвольными числами
1 , 2 ,..., n .
1 1,0,...,0 2 0,1,...,0 ... n 0,0,...,1
1,0,...0 0, 2 ,...,0 0,0,..., n 1, 2 ,..., n

17.

, ,..., является нулевым, если все числа 0 i 1,2,..., n ; то
1
2
n
i
есть равенство 1e1 2e2 ... n en 0 выполняется только при нулевых
значениях
коэффициентов, а это и означает линейную независимость
векторов e1,e2 ,...,en . Линейно независимые векторы e1,e2 ,...,en в n мерном
пространстве Rn образуют базис, который называется каноническим.
ПРИМЕЧАНИЕ. Следует различать координаты вектора от координат этого
вектора в данном базисе. Но координаты вектора совпадают с координатами
вектора в каноническом базисе.
Пример. Даны векторы:
a1 2;3;3 , a 2 1;4; 2 , a3 1; 2;4 , b 4;11;11
Показать, что векторы a1 , a 2 , a n образуют базис в R3 и найти координаты
вектора в данном базисе.

18.

Решение
2 1 2 3 0
3 1 4 2 2 3 0
3 1 2 2 4 3 0
2 1 2 3 0
11 1 6 3 0
1 6 3 0
2 1 2 3 0
11 1 6 3 0
10 1 0
1 0
3 0 a1 , a 2 , a3 - линейно независимые образуют базис в R3 .
2 0
Теперь найдем координаты вектора b в данном базисе:
2 1 2 3 4
3 1 4 2 2 3 11
3 1 2 2 4 3 11
2 1 2 3 4
11 1 6 3 27
1 6 3 3

19.

2 1 2 3 4
11 1 6 3 27
10 1 30
1 3
33 6 3 27
3 1
6 2 1 4
2 1
(3; 1; 1) – координат вектора b в данном базисе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением векторов X
Y y1 , y2 , ..., yn пространства Rn называется число
x ; x ;...; x и
1
2
n

20.

X ,Y x y x y x y ... x y
n
b 1
i
i
1 1
2
2
n
(10)
n
Свойства:.
X , X 0; X , X 0 тогда и только тогда, когда X 0
2) X , Y Y , X
3) X Y , Z X , Z Y , Z
1)
Число (неотрицательное)
X x12 x22 ... xn2
(11)
называется длиной вектора X x1 , x2 ,..., xn .
4) Неравенство Коши-Буньяковского
X , Y X Y

21.

Доказательство.
X Y , X Y .
По 1-ому свойству X Y , X Y 0 .
С другой стороны, используясь свойствами скалярного произведения, имеем:
X Y , X Y X , X Y , X X ,Y Y ,Y
X , X 2 Y , X Y , Y 0
Рассмотрим скалярное произведение:
2
2
Квадратный трёхчлен тогда 0 , когда дискриминант 0 .
D b 4ac 4 X , X 4 X , X У ,У 0
2
X ,У X , X У ,У
X ,У X , X У ,У
2
X ,У Х У
Неравенство доказано.
2

22.

Расстояние
между
обозначается:
Х х1 , х2 ,..., хn , У y1 , y2 ,..., yn
d X ,У Х У
и определяется по формуле:
точками
d X ,У хi yi
т
2
ш 1
(12)
Из неравенства Коши-Буняковского следует:
X ,У
1
1
ХУ
X ,У
Вместо величины
можно взять Cos 0; .
ХУ
X ,У
Угол , определяемый равенством Cos
и принадлежащий 0,
Х У
, называется углом между
X иУ

23.

X ,У
Cos
Х У
Если
x1 y1 x2 y2 ... xn yn
x12 ... xn2 y12 ... yn2
X и У ненулевые векторы, а
говорят, что векторы
2
, то
(13)
X, У 0 . В этом случае
X, У 0 ортогональны.
Система векторов называется ортогональной системой, если все векторы этой
системы попарно ортогональны между собой.
Теорема. Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейно
независима.

24.

Доказательство.
Обе части равенства
скалярно
1 a1 2 a 2 ... n a n 0
умножим
на
*
ak 0
вектор
1 a1 2 a 2 ... n a n , a k 0, a k
a , a 0 j k
a , a 0, но с другой стороны a , a 0 , так как a , a 0
Так как векторы ортогональны, то
k
k
j
k
k
k
k
k
k
только если a k 0 , а это противоречит условию теоремы. Следовательно
k 0 k 1,2,..., n . Значит, равенство * выполняется только при
нулевых значениях коэффициентов, а это означает линейную независимость
системы.
Теорема доказана.

25.

X 1;1; 3; 5
У 2; 1;1; 3
Найти: а) скалярное произведение X , У ;
ПРИМЕР. Даны векторы:
б) длины этих векторов;
в) угол между векторами X и У .
Решение
а) X ,У
б) Х
1 2 1 1 3 1 5 3 15
1 1 32 52 36 6
У 2 1 12 32 15
X ,У
15
15
в) Cos
6
Х У 6 15
2
2
15
arccos
6

26.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
n
m
Пусть R и R - конечномерные арифметические пространства.
Если установлено соответствие, сопоставляющее каждому вектору X из R
n
вполне определенный вектор У из R , то говорят, что задан оператор А,
n
m
действующий из R в R . Записывается это в виде
m
У AX
или Y A X
n
Оператор А, действующий из R в R
любых элементов
выполняется:
m
называется линейным, если для
X 1 , X 2 пространства R n
и для любого числа
1) A X 1 X 2 A X 1 A X 2 (свойство аддитивности)
2) A X A X ( свойство однородности)
n
m
Если пространство R совпадает с R , то оператор А называется линейным
n
преобразованием R в себя.

27.

Для преобразований в обычном трехмерном пространстве условия (1) и (2)
имеют определенный геометрический смысл.
Пусть под воздействием преобразования А векторы X и У
переходят в
векторы A X и AУ . Тогда диагональ параллелограмма, построенного на
X У , переходит в диагональ параллелограмма,
построенного на векторах A X и AУ A X AУ .
векторах
X
и У
X У
У
AУ
A X AУ
X
AX
Второе условие означает, что при изменении длины вектора X в раз,
во столько же раз меняется длина вектора A X .

28.

При 0 векторы X
и A X
меняют направление на
противоположное.
n
Пусть А и В – линейные преобразования, действующие в R , тогда:
Суммой этих преобразований называется преобразование (А+В),
определяемое равенством
X R
A B X A X B X
n
Произведением линейного преобразования А на число
линейное преобразование A , определяемое равенством
A X A X
назовем
X R
n
Произведением
линейного
преобразования
А
на
линейное
преобразование В называется линейное преобразование АВ, действующее по
закону:
AB X A B X
Замечание:
Пример.
AB BA
Является
ли
преобразование
пространства R3 в себя линейным ?
A X x1; x2 1; x3 2

29.

Решение
Надо проверить выполнение условий:
1) A X У A X A У
2) A X A X
A X У x1 y1 ; x2 y2 1; x3 y3 2
x1 ; x2 ; x3 y1 ; y2 1; y3 2 A X AУ
Итак, одно из условий линейности не выполняется, следовательно, данное
преобразование не является линейным.

30.

МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
e1 , e2 , , en задано линейное
n
преобразование А. Каждый вектор пространства R можно разложить по
X Rn :
базисным векторам. Для
X x1e1 x2e2 xn en
Координаты X
запишем в столбец
x1
x2
X
xn
n
Пусть в R с фиксированным базисом
Так как преобразование А – линейное, то
A X x1 Ae1 x2 Ae2 xn Aen
(1)

31.

Aei i 1, , n являются элементами Rn и
поэтому и их можно разложить по векторам базиса e1 , e 2 , , e n :
i 1, , n
Aei a1i e1 a2i e2 ani en
С другой стороны векторы
А именно:
Ae1 a11 e1 a21 e 2 an1 e n
Ae 2 a12 e 2 a22 e 2 an 2 e n
Ae n a1n e1 a2 n e 2 an e n
n
Учитывая эти равенства в равенстве (1), получим:
A X a11 e1 x1 a21 e 2 x1 an1 e n x1
a12 e1 x2 a22 e 2 x2 an e n x2
2
a1n e1 xn a2 n e 2 xn ann e n xn
a11 x1 a12 x21 a1n xn1 e1 a21 x1 a22 x2
a2 n xn e 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn e n
(2)

32.

Т.е.
A X y1 e1 y2 e2 yn en , где
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn
y2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn
yn an1 x1 an 2 x2 ann xn
y1 a11
y2 a21
yn an1
a12
a22
an 2
или
a1n x1
a2 n x2
ann xn
(3)
Матрица
a11
a21
a n1
a12
a22
an 2
a1n
a2 n
ann
называется матрицей преобразования А в данном базисе
e1 , e 2 , , e n .

33.

Из соотношения (3) видно, что для того, чтобы
преобразованного вектора
У
получить координаты
надо матрицу линейного преобразования
умножить на столбец координат вектора Х .
Если в n - мерном линейном пространстве задан базис e1 , e 2 , , e n , то
каждому линейному преобразованию соответствует квадратная матрица
порядка n , и наоборот.
Чтобы найти матрицу линейного преобразования, надо:
1)
подвергнуть его действию базисные векторы e1 , e 2 , , e n

34.

1)
полученные векторы Aei
i 1, , n разложить в этом базисе
Ae1 a11e1 a21e2 an1en
Ae2 a12e1 a22e2 an 2en
Aen a1n e1 a2 n e2 an en
(4)
n
2) коэффициент разложения (4) записать в виде матрицы А, помещая
коэффициент строк в соответствующие столбцы матрицы.
ПРИМЕР. Найти матрицу линейного преобразования:
A X x2 x3 ; 2 x1 x3 ; 3x1 x2 x3
пространства R3 в себя, в каноническом базисе

35.

Решение
Ae1 0 0; 2 1 0; 3 1 0 0 0; 2; 3
Ae2 1 0; 2 0 0; 3 0 1 0 1; 0; 1
Ae3 0 1; 2 0 1; 3 0 0 1 1;1;1
Ae1 0 e1 2 e2 3 e3
Ae2 1 e1 0 e2 1 e3
Ae3 1 e1 1 e2 1 e3
0 1 1
A 2 0 1
3 1 1

36.

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
X Rn называется собственным
вектором линейного преобразования А, если найдется такое число , что
X 0
AX X
Само число называется характеристическим числом линейного
преобразования А, соответствующим вектору X .
Если линейное преобразование А в базисе e1 , e 2 , , e n имеет матрицу
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Ненулевой вектор
a11 a12
a21 a22
A
an1 an 2
a1n
a2 n
ann

37.

AX X
то уравнение
в координатной форме имеет вид:
a11 x1 a12 x2 a1n xn x1
a21 x1 a22 x2 a2 n xn x2
an1 x1 an 2 x2 ann xn xn
a x a x a x 0
a x a x a x 0
11
1
12
21 1
22
2
2
1n
2n
n
n
an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
(5)
Известно, что для существования отличного от нуля решения системы
однородных уравнений, необходимым и достаточным условием является
равенство нулю определителя основной матрицы, т.е.

38.

a11
a21
an1
a12
a22
an 2
a1n
a2 n
0
ann
(6)
Если вычислим этот определитель, то получим многочлен n -й степени по
отношению к . Этот многочлен называется характеристическим
многочленом
линейного
преобразования,
а
(6)
называется
характеристическим уравнением.
Числа 1 , 2 , , n называются собственными числами линейного
преобразования.
Подставив найденные числа i в систему (5) и решив эту систему
относительно
x1 , x2 , , xn . Найдем
координаты собственных векторов,
соответствующих собственному числу .
Пример. Определить собственные числа и собственные векторы линейного
преобразования с матрицей.
1 4
A
2 1

39.

Составим характеристическое уравнение
1
4
0
2
1
1 1 8 0
2 9 0
1 3
2 3 - собственные числа
1 x1 4 x2 0
2 x1 1 x2 0
Для 1 3 система имеет вид:
2 x1 4 x2 0
x1 2 x2
2 x1 4 x2 0

40.

Пусть x2 , тогда
x1 2
x 2 ; - собственный вектор, отвечающий собственному
значению 3 .
Для 2 3 система имеет вид
4 x1 4 x2 0
x1 x2
2 x1 2 x2 0
Пусть x2 , тогда x1 .
X ; - собственный вектор, отвечающий собственному числу
3 .

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

ИТОГ
Итак, в этой лекции мы ввели понятие линейного пространства. Дали
определение линейной зависимости и линейной независимости векторов.
Рассмотрели линейные операторы и линейные преобразования. Получили
матрицу линейного преобразования. Ознакомились с квадратичными
формами и с критерием Сильвестра.

51.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Какие пространства называются линейными
1)
Базис и размерность пространства
2)
Неравенство Коши-Буняковского
3)
Как определяется матрица линейного преобразования
4)
Собственные векторы и собственные значения линейного
5)
преобразования
Как определяется матрица квадратичной формы
6)
Критерий Сильвестра
7)