Линейная алгебра. Билинейные и квадратичные формы. (Часть 14)

1.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра прикладной математики
И.Г. Руцкова
Электронный курс лекций «Линейная алгебра»,
часть 14
Оренбург 2016

2.

Линейные функции и формы
x x1e1 x2e2 ... xnen ,
ai f ei ,
i 1, 2, ..., n;
f x x1 f e1 x2 f e2 ... xn f en .
n
f x ai xi .
i 1

3.

Билинейные функции и формы
n
x x1e1 x2e2 ... xnen xi ei ;
n
y y1e1 y 2 e2 ... y n en y j e j
j 1
i 1
n
n
n
n
n n
f x , y f xi ei , y j e j f xi ei , y j e j f xi ei , y j e j
i 1
i 1
i 1 j 1
j
1
j
1
n
xi y j f ei ,e j
i 1 j 1
n
.
n
f x , y aij xi y j
i 1 j 1
n
aij f ei ,e j ,
i 1, 2, ..., n, j 1, 2, ..., n,
f x , y
n
aij xi y j
i , j 1

4.

Билинейные функции и формы
x1
y1
x
y
X 2 , Y 2 ,
xn
yn
a11 a12
a22
a
A Y 21
an1 an 2
a11 a12 a1n
a
a
a
22
2n
A 21
,
an1 an 2 ann
f x , y X T A Y
n
a1 j y j
a1n y1 a11 y1 a12 y2 ... a1n yn j 1
T
n
a2 n y2 a21 y1 a22 y2 ... a2 n yn a2 j y j X x1
,
j 1
ann yn an1 y1 an 2 y2 ... ann yn n
anj y j
j 1
x2 xn ,
n
n
n
n n
n n
X A Y x1 a1 j y j x2 a2 j y j ... xn anj y j xi aij y j aij xi y j .
j 1
i 1 j 1
i 1 j 1
j 1
j 1
T

5.

Матрица билинейной формы
В базисе:
,
f x , y
n
e'1 ,e'2 ,...,e'n : x x' e' ,
i i
n
a'ij x'i y' j ,
i , j 1
f x , y X ' T A' Y ' ,
,
i 1
n
y y' j e' j ;
j 1
a'11 a'12 a'1n
a
'
a
'
a
'
22
2n
A' 21
a'n1 a'n 2 a'nn
i 1, 2, ..., n, j 1, 2, ..., n
x'1
x'
X ' 2 ,
x'n
y'1
y'
Y' 2 ,
y'n
X T X' ,Y T Y T tij n матрица перехода от старого к новому
T
f x , y X T A Y T X A T Y ' X ' T T T A T Y'
,
a'ij f e'i ,e' j ,
A' T T A T

6.

Симметрические и кососимметрические билинейные функции и формы
aij f ei ,e j f e j ,ei a ji ;
Доказательство.
Пусть в базисе
i 1, 2, ..., n, j 1, 2, ..., n
e1 ,e2 ,...,en
AT A,
A' T T A T ,
A T
TT A T
T
T
T
A T
T
A T T
T
A T A ,
T T
T T AT T T T A T A ,

7.

Симметрические и кососимметрические билинейные функции и формы
f x , y
n
aij xi y j ,
i , j 1
n
n
i 1
j 1
aij f ei ,e j f e j ,ei a ji ,
x xi ei , y y j e j ;
i 1, 2, ..., n, j 1, 2, ..., n
aii 0, i 1, 2, ..., n
Доказательство.
1
1
1
f x , y f y , x f y , x f x , y
f x , y 2 f x , y f x , y f x , y
2
2
2
g1 x , y
1
f x , y f y , x g1 y , x 1 f y , x f x , y 1 f x , y f y , x g1 x , y
2
2
2
1
1
1
f x, y f y , x g 2 x, y
g
y
,
x
f
y
,
x
f
x
,
y
g 2 x , y f x , y f y , x 2
2
2
2

8.

Квадратичные формы
Доказательство.
x, y L
f x y , x y f x , x y f y , x y f x , x f x , y f y , x f y , y ,
f x , y f y , x
f x y , x y f x , x 2 f x , y f y , y ,
f x , y
1
f x y , x y f x, x f y , y
2

9.

Квадратичные формы
f x , y X T A Y ,
a11 a12 a1n
a
a
a
22
2n
A 21
,
an1 an 2 ann
x1
x
X 2 ,
xn
f x , x X T A X ,
X Y,
aij a ji ,
n
x xi ei .
i 1, 2, ..., n, j 1, 2, ..., n;
i 1
X T X'
f x , x X T A X T X ' T A T X ' X ' T T T A T X ' ,
f x , x X ' T A' X ' ,
A' T T T A T
T
T
A T A .
A' T T A T ,
T
A T
T
A T T T T
T
A T T T T T AT T T T A T .

10.

Квадратичные формы
Доказательство.

11.

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

12.

Критерий Сильвестра
1 a11 0, 2
Доказательство.
a11
a12
a21
a 22
0, ...., n det A 0.

13.

Пример 1.
a11 2, a22 1, a12 a21 2,
2 1
,
A
1 1
1 2 , 2
2
1
1
1
a12 a21
a12 1, a21 1
2 1 2,
Пример 2.
a11 0, a22 0, a33 0;
a12 a21 2, a12 a21 , 2a12 2, a12 1, a21 1;
a13 a31 2, a13 a31 , 2a13 2, a13 1, a31 1;
1
0 1
А 1 0 3
1 3 0
a23 a32 6, a23 a32 , 2a23 6, a23 3, a32 3;
1 0 0,
0 1
2
1,
1 0
f 0,1,2 12; f 4,1,1 10
0 1
1
3 1 0 3 0 3 3 0 0 0 6;
1 3 0

14.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

15.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа
Пример 1.
f x1 , x2 2 x12 8 x1x2 10 x22 .
Решение.
2 x x 4 x 10 x
f x1 , x2 2 x12 8 x1 x2 10 x22 2 x12 4 x1 x2 10 x22
2 x12 2 x1 2 x2 4 x22 4 x22 10 x22
x1' x1 x2 ,
x1 x1' x'2 ,
x2 x'2 .
x'2 x2 ;
2
1
f
X T X ,
x1' , x'2
2
2
2
2
' 2
x1
2
2
2
1 1
T
0 1
2 x1 x2 2 2 x22 ,
' 2
x2

16.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа
Пример 2.
f x1 , x2 , x3 x12 2 x1 x2 3x22 4 x1 x3 6 x2 x3 3x32
Решение.
f x1 , x2 , x3 x12 2 x1 x2 2 x3 3x22 6 x2 x3 3x32
x12 2 x1 x2 2 x3 x2 2 x3 2 x2 2 x3 2 3x22 6 x2 x3 3x32
x1 x2 2 x3 2 x22 4 x2 x3 4 x32 3x22 6 x2 x3 3x32
x1 x2 2 x3 2 2 x22 2 x2 x3 x32 x1 x2 2 x3 2 2 x22 x2 x3 x32
2
2
2
x
x
x
3
3
3
x1 x2 2 x3 2 x2 2 x2
x32
22 4
4
x
3
x1 x2 2 x3 2 2 x2 3 x32
2
2
f x1' , x'2 , x'3 x1'
2
1
x1' x1 x2 2 x3 ; x'2 x2 x3 ; x'3 x3
2
2
2
2 способ
' 2
x2
3 '
x3
2
2
f x1 , x2 , x3 x1 x2 2 x3 2 2 x22 2 x2 x3 x32 x1 x2 2 x3 2 2 x22 x32 2 x2 x3
x1 x2 2 x3 2 2 x22 x32 2 x2 x3 x22 x22 x1 x2 2 x3 2 3x22 x3 x2 2
x1' x1 x2 2 x3 ; x'2 x2 ; x'3 x3 x2
f
x1' , x'2 , x'3
3
' 2
x1
' 2
x2
' 2
x3

17.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа
xi yi y j ,
x j yi y j ,
k i ,k j
xk yk ,
xi x j yi y j yi y j yi2 y 2j
Пример 3.
.
Решение.
f x1 , x2 , x3 x1x2 x1x3 x2 x3
x1 y1 y2 , x2 y1 y2 , x3 y3 ,
f x1, x2 , x3 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y3 y1 y2 y3
y12 y22 y1 y3 y2 y3 y1 y3 y2 y3 y12 y22 2 y1 y3
y12 2 y1 y3 y32 y32 y22 y1 y3 2 y22 y32
x1' y1 y3 , x'2 y 2 , x'3 y3
y1
1
x1 x2 , y2 1 x2 x1 , y3 x3
2
2
f x1 , x2 , x3
' 2
x1
' 2
x2
' 2
x3
1
1
1
1
x1' x1 x2 x3 ; x'2 x1 x2 ; x'3 x3
2
2
2
2

18.

Использование ортогональных преобразований
Пример 4.
f x1 , x2 2 x12 8 x1 x2 8 x22
Решение.
8 x1x2 2a12 x1x2 ,
2 4
,
А
4 8
a12 a21 4,
2
4
0,
4
8
2 8 16 0,
16 8 2 2 16 0,
2 10 0,
0 ,
10.
f x1 , x2 10
' 2
x2

19.

0
2 x1 4 x2 0,
4 x1 8 x2 0;
x1 2 x2 ;
2a
, a 0.
a
10
8 x1 4 x2 0,
4 x1 2 x2 0.
x2 2 x1 ;
b
, b 0.
2b
2a b a 2b 0,
e1'
векторы ортогональны, их модули:
2
1
1
2
e1
e2 ; e'2
e1
e2 .
5
5
5
5
2
5
T
1
5
1
5 ,
2
5
X T X ,
5a 2 ,
2 '
1 '
x1 5 x1 5 x2 ,
x 1 x' 2 x' .
1
2
2
5
5
5b2 .