Линейная алгебра. Лекция 2

1. Линейная алгебра

Лекция 2
доцент
Старожилова О.В.

2. Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства и системы линейных уравнений.

Теория матриц была
разработана в трудах Кэли
(1850-е). Написал более
700 работ.
доказал теорему о том, что
каждая квадратная матрица
является корнем своего
характеристического многочлена
Артур Кэ́ли 1821- 1895)
— английский математик
2
23.09.2024

3.

Системы линейных
уравнений в матричном
виде впервые появились
в работах Лагерра
(1867).
Эдмо́н Никола́ Лаге́рр (1834-1886) —
французский математик,
Труды по геометрии, комплексному анализу
3
23.09.2024

4. Понятие матрицы

Матрица (размера тхn) - прямоугольная таблица
чисел, содержащая т строк и n столбцов
a11
a21
...
А
ai1
...
a
m1
4
a12
a22
...
ai 2
...
am 2
... a1 j
... a2 j
... ...
... aij
... ...
... amj
23.09.2024
... a1n
... a2 n
... ...
... ain
... ...
... amn
Наряду
с
круглыми
скобками используются
и другие обозначения
матрицы: [ ], || ||.

5.

или, в сокращенной записи,
5
Величины, из которых
состоит эта таблица,
называются элементами
матрицы
обозначаются той же
буквой, только строчной,
что и матрица, с указанием
номера строки (первый
индекс) и номера столбца
(второй индекс).
23.09.2024
А=(аij);
i=1, 2, ..., m;
..., n.
j = 1, 2,

6.

Матрица называется квадратной n-го порядка,
если число ее строк равно числу столбцов и равно n
Матрица, состоящая из одной строки, называется
матрицей-строкой, а из одного столбца-матрицейстолбцом
a11 a12
a
21 a22
A
an1 an 2
6
a1n
a2 n
ann
23.09.2024
D d11, d12 , d13 , d14
c11
C c21
c
31

7. Виды матриц

Определение Две матрицы А и В одного размера называются
равными, если они совпадают поэлементно, т.е.
aij = bij для любых i=1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
Определение Квадратная матрица, независимо
от ее порядка, называется единичной матрицей,
если элементы ее главной диагонали равны
единице, а все остальные элементы равны нулю.
Такую матрицу обозначают
7
23.09.2024

8. Виды матриц

a11
a
Матрица AT 12
.
a1n
a 21
a 22
.
a 2n
... a m1
... a m 2
...
.
... a mn
получающаяся из матрицы A
заменой строк столбцами (и наоборот), называется
транспонированной матрицей.
Симметрическая матрица - матрица, у которой AT= A или
кососимметрической, если AT= -A .
Нулевая матрица - матрица, все элементы которой равны нулю
8
23.09.2024
aij a ji

9.

Замечание Транспонирование – это перемена ролями
строк и столбцов матрицы. Связь между матрицей и её
транспонированной можно записать в виде
.
aijT a ji
Пример Найти матрицу транспонированную данной
2 0 3
A
7 2 1
2 7
AT 0 2
3 1
1
B 2
3
B T 1 2 3
Замечание Матрица размера 1х1, состоит из одного числа,
отождествляется с этим числом.
9
23.09.2024

10. Теория определителей

Первоначально, определитель был представлен как собственно
система линейных уравнений. Определитель «определял» имеет
система одно или несколько возможных решений.
Впервые определители использовать в Китае в 12 в.
В Европе Крамер ввел положение о системах уравнений.
Вандермонд представил определители в виде независимых функций,
Лаплас создал общий метод разложения определителя на
дополнительные миноры.
Лагранж —изучал определители («результанты») в рамках
исключения.
Гаусс в в теории чисел, ввел термин «детерминант»
10
23.09.2024
теории

11. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определитель (или детерминант) квадратной матрицы A - это число,
которое ей сопоставимо и может быть вычислено по её элементам.
Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке,
соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называют главной
диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым
нижним, - побочной диагональю.
Пример Найти элементы, лежащие на главной диагонали матрицы
Решение
11
23.09.2024

12. Исследование системы двух линейных уравнений

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя
неизвестными:
a1 x b1 y c1
a2 x b2 y c2
Найдем решение
x
Таким образом, если
c1b2 c2 b1
a1b2 a2 b1
y
a1c2 a2 c1
a1b2 a2b1
a1b2 a 2 b1 0
то система имеет единственное решение.
12
23.09.2024

13. Понятие определителя 2-го порядка

Определитель второго порядка, соответствующий таблице
элементов
a1
a2
b1
, определяется равенством
b2
a1
D det
a2
b1
a1b2 a2b1
b2
где a1 и b2 – элементы главной диагонали,
a2 и b1 – элементы побочной диагонали
Пример
13
23.09.2024

14. Определитель второго порядка

вычисляется по следующему правилу:
равен произведению
элементов, стоящих на главной
диагонали,
минус произведение элементов,
стоящих на побочной диагонали
вычисление определителя 2-го порядка
-схема
14
23.09.2024

15. Определители 3-го порядка, вычисление и свойства

Определитель третьего порядка, соответствующий таблице
элементов
a1
a2
a
3
b1
b2
b3
c1
c 2, определяется равенством
c 2
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2 a1 b2 c3+ a2 b3 c1+ a3 b1 c2- a3 b2 c1- a1 b3 c2- a2 b1 c3
c3
где a1 ,b2 и c3 – элементы главной диагонали,
a3 ,,b2 и c1 – элементы побочной диагонали
15
23.09.2024

16. Правило треугольников – схема нахождения определителя 3-го порядка

a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
Пример
2 4 3
2 5 3 2∙5∙6 + 2∙(-5)∙3 +3∙4∙3 -3∙5∙3 -2∙(-5)∙3 -3∙4∙6= - 21
3 5 6
16
23.09.2024

17. Правило треугольников

17
При вычислении определителя 3-го порядка
удобно пользоваться правилом треугольников
(или Саррюса), которое символически можно
записать так
23.09.2024

18. Пример

Решить уравнение
Решение
x 3 2 x 4
3
x 1 3 0
4
x
4
x 1 3
3 3
3 x 1
x 3
2 x
4
0
x
4
4 4
4
x
x 3 4 x 4 3 x 4 3 x 4 x 4 0
x 3 x 4 4 x 4 0
x 4 x 1 0
18
x1 4, x2 1
23.09.2024

19. Свойства определителей

1. Значение определителя не изменится, если
строки определителя заменить столбцами, а
столбцы – соответствующими строками.
При транспонировании определитель матрицы не меняется
(«равноправие» строк и столбцов определителя)
detA detA T
19
a11 a12
a21 a22
a31 a32
23.09.2024
a13 a11
a23 a12
a33 a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33

20. Свойства определителей (продолжение)

2.
Общий множитель элементов какой-нибудь строки (или
столбца) может быть вынесен за знак определителя.
k a11 k a12
a21
a22
a31
a32
k a13
a11 a12
a23 k a21 a22
a33
a31 a32
a13
a23
a33
3. Если элементы одной строки (столбца) определителя
соответственно равны элементам другой строки (столбца), то
определитель равен нулю
20
23.09.2024

21. Свойства определителей (продолжение)

4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель
меняет знак на противоположный
5. Определитель не изменится, если к элементам одной строки
(столбца) прибавить соответственные элементы другой
строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.
a1
a2
21
b1 a1 k a2
b2
a2
23.09.2024
k b2 a1
b2
a2
b1 k a1
b2 k a2

22. Свойства определителей (продолжение)

6. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца)
равны нулю, то определитель равен нулю.
7. Сумма произведений элементов одной строчки матрицы
на алгебраические дополнения соответствующих элементов
другой строчки равна нулю
a j1 Ai1 a j 2 Ai 2 a jn Ain 0
22
23.09.2024
j i

23.

8. Если каждый элемент столбца или строки представляет собой
сумму двух слагаемых, то такой определитель может быть
представлен в виде суммы двух определителей, у одного из
которых соответствующий столбец составлен из первых
слагаемых, а у второго – из вторых.
a1 a1 b1 a1 b1 a1 b1
a2 a2 b2 a2 b2 a2 b2
23
23.09.2024

24.

9. Если матрицы n -го порядка имеет две
пропорциональные строчки (или столбца), то ее
определитель равен нулю
a11
a12
k a11 k a12
a31
a32
24
23.09.2024
a13
k a13 0
a33

25. Пример

Вычислить определитель 3-го порядка
2 3 1
4 3 3
4 3 3
Так как элементы 2-ой и 3-ей строки одинаковы, то
определитель равен 0.
25
23.09.2024

26. СЛАУ

26
Крамер Габриэль (17041752) швейцарский
математик, родился в
Женеве,
основные работы
относятся к высшей
алгебре и аналитической
геометрии,
установил правила
решения систем линейных
уравнений с
неизвестными,
заложил основы теории
определителей.
основоположник линейной
алгебры
23.09.2024

27. Правило Крамера – метод решения системы линейных уравнений

a1 x b1y c1 z d1
a2 x b2y c 2 z d 2
a x b3y c3 z d 3
3
a1
a2
a3
27
b1
b2
b3
c1
d1
c2 , x d 2
c3
d3
b1
b2
b3
23.09.2024
c1
a1 d1 c1
a1 b1 d1
c2 , y a2 d 2 c2 , z a2 b2 d 2
a3 d 3 c3
a3 b3 d 3
c3

28. Правило Крамера

Δ≠0– система имеет единственное решение
у
х х, у
, z z
- формулы Крамера
Δ=0, Δx≠0, Δу ≠0, Δz ≠0- система не имеет решения
Δ=0, Δx=0, Δу =0, Δz =0-система имеет бесконечное
множество решений
Замечание Правило Крамера остается справедливым и для линейных систем
nуравнений с
28
n неизвестными при любом n
23.09.2024

29.

29
23.09.2024

30.

30
23.09.2024

31.

Определение Система, не имеющая ни одного решения,
называется несовместной или неопределенной.
Определение Система, обладающая хотя бы одним решением,
называется совместной или определенной
Пример Решить систему уравнений
Ответ: решений нет Почему ???
31
23.09.2024
2 x 3 y 5
4 x 6 y 7

32. Пример

Решить систему уравнений
Ответ: бесчисленное множество решений вида
3x 5
y
4
32
23.09.2024
3x 4 y 5
6 x 8 y 10

33. Геометрическое истолкование результатов исследования системы

33
23.09.2024

34. Понятие определителя n-го порядка.

Определителем n-го порядка называется число
Δ,образованное
из
n2
чисел
aij(элементов),
расположенных в квадратной таблице из n строк и n
столбцов, следующим образом
34
a11
a21
...
an1
... a1 j
... a2 j
... ...
... anj
23.09.2024
... a1n
... a2 n
... ...
... ann

35.

Определитель n-го порядка равное сумме
n!
членов
Замечание Число сомножителей в каждом произведении
равно порядку матрицы.
Определение Матрица невырожденная - квадратная матрица имеющая
определитель, отличный от нуля
в противном случае - матрица вырожденная или особая.
Замечание Определитель бывает только у квадратных матриц.
Замечание Иногда вместо термина определитель
используют термин детерминант
35
23.09.2024

36. Определитель Вандермонда

36
Вандермонд Александр
(1735-1796) –
франц.математик. Родился в
Париже.
Предложив специальный
символ определителя
изложил теорию
детерминантов
Его труды были забыты во
Франции и обратил внимание
Л.Кронекер (немецкий
математик уже через 100 лет,
он также занимался системами
линейных уравнений).
23.09.2024
1 x1
x12
x1n 1
1 x2
x 22
x2 n 1
Wn 1 x3
1
x32
x3n 1
1 xn
xn2
xn n 1

37. Вычисление определителя Вандермонда

Wn xn x1 xn x2 xn xn 1 xn 1 x1 xn 1 x2
xn 1 xn 1 x2 x1 xi x j
n ij 1
1
1
1
1
37
1 1 1
2 4 8
4 1 4 2 4 3 3 1 3 2 2 1 12
3 9 27
4 16 64
23.09.2024

38.

Минором Мij элемента aij определителя n-го
порядка называется определитель (n-1)-го порядка
который получается путем вычеркивания в исходном
определителе строки и столбца, содержащих элемент
aij.
Алгебраическим дополнением Аij элемента aij
определителя n-го порядка называется его минор,
умноженный на (-1) i+j
Аij=(-1) i+j Мij
38
23.09.2024

39. Пример

Дан определитель
a21 5
M 21
1
2 3
5 1 1
2 1 4
2 3
8 3 11
1 4
Замечание Определитель всякой матрицы есть число, то
миноры элементов матрицы также являются числами
Замечание Каждый элемент матрицы является ее минором 1-го порядка
39
23.09.2024

40. Пример

Замечание
Пример
Минор берется со своим знаком, если сумма его
индексов четна,
и с обратным, если сумма нечетна.
Дан определитель
Найти алгебраическое дополнение
A 13
2 3
A 13
2 12 14
4 1
0 1 1
3 2 2
4 1 2
Замечание Для элементов, расположенных на главной диагонали,
алгебраическое дополнение совпадает с минором
Aii 1 M ii M ii
2i
40
23.09.2024

41. Теорема Лапласа (разложение по строке)

Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой
его строки(столбцов) на их алгебраические дополнения, т.е.
Δ ai1Ai1 ai 2 Ai 2
n
ain Ain aik Aik
k 1
Разложение называется разложением определителя по элементам
Пример разложение элементам второй строки
a11 a12
2 1
2 2
a 21 A 21 a 22 A 22 a 21 1 M 21 a 22 1 M 22
a 21 a 22
a 21 M 21 a 22 M 22 a 21 a12 a 22 a11 a11 a 22 a12 a 21
41
23.09.2024

42. Пример: Вычислить определитель, разлагая его по элементам второго столбца

42
23.09.2024

43. Методы вычисления определителей

для численных определителей –
получение нулей в какой-нибудь строчке и
сведение к одному определителю на
единицу меньшого порядка
преобразование матрицы определителя к
треугольному виду.
43
23.09.2024

44. Обобщение формулы Крамера на случай системы n - линейных уравнений.

Обобщение формулы Крамера на случай системы n линейных уравнений.
a 11 x 1 a 12 x 2 ... a 1n x n b1
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 ;
...............
a x a x ... a x b .
n2 2
nn n
n
n1 1
Из коэффициентов при неизвестных составим определитель, т.е.
44
a11 a12
a21 a22
det
.
.
an1 an 2
23.09.2024
... a1n
... a2 n
... .
... ann

45.

Главный определитель системы -
определитель главной матрицы системы,
составленной из коэффициентов при
неизвестных:
45
23.09.2024

46.

46
Если в главном определителе системы заменить
поочередно столбцы коэффициентов при
неизвестных на столбец свободных членов, то
получим n дополнительных определителей (для
каждого из n неизвестных):
23.09.2024

47. Разрешимость системы

47
При этом важен вопрос о разрешимости данной системы, который
решается сравнением главного и дополнительных определителей
системы с нулем:
23.09.2024

48. Алгоритм решения методом Крамера

1.Записывают систему в матричном виде.
2. Вычисляют главный определитель системы:
48
23.09.2024

49.

49
3. Вычисляют все дополнительные определители
системы:
23.09.2024

50.

4. Если главный определитель системы не равен нулю, то
выполняют пункт 5.
Иначе рассматривают вопрос о разрешимости данной системы
(имеет бесчисленное множество решений или не имеет решений).
5. Находят значения всех неизвестных по формулам Крамера
50
23.09.2024

51. Варианты решений

Если для системы уравнений определитель Δ≠0, то
система имеет единственное решение
i
,
i
1
,
n
xi
где определитель Δi - полученный из определителя
Δ заменой i-го столбца на столбец свободных
членов.
51
23.09.2024

52. Пример: Решить систему линейных уравнений

Вычислим определитель системы
52
23.09.2024

53. Поскольку ∆ ≠ 0, система уравнений может быть решена по формулам Крамера. Найдем определители ∆x1 – ∆x4:

õ1
õ2
53
23.09.2024

54.

õ3
Таким же образом высчитываем ∆х4 и получаем: ∆х1 = ∆х2 = –∆х3 =
∆х4,
и, следовательно, х1 = х2 = –х3 = х4 = 1.
54
23.09.2024

55. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными.

a1 x b1 y c1 z 0
a2 x b2 y c2 z 0
Если a1/a2=b1/b2=c1/c2, то система сводится к одному
уравнению (например, первому), из которого одно выражается
через два других, значения которых остаются произвольными.
Если a1/a2=b1/b2=c1/c2 не выполнено, то решения системы
находятся по формулам
b1
x
b2
55
c1
t,
c2
y
a1
a2
23.09.2024
a1
t, z
a2
c2
c1
b1
t.
b2

56. Система трех однородных линейных уравнений с тремя неизвестными.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный
член равен нулю.
Система линейных уравнений называется однородной, если все
входящие в нее уравнения являются линейными однородными
уравнениями.
a1 x b1 y c1 z 0
a2 x b2 y c2 z 0
a x b y c z 0
3
3
3
Если определитель отличен от нуля, то она имеет единственное
решение x=0, y=0, z=0.
В противном случае она имеет бесконечное множество решений
56
23.09.2024

57. Метод Крамера

Преимущества метода:
- простой метод;
- независимость вычислений определителей,
следовательно, процесс вычисления
определителей может быть распараллелен.
Недостатки метода:
- высокая ресурсоемкость вычислений
определителей;
- чувствительность к ошибкам округления.
57
23.09.2024

58. Решение системы уравнений с помощью Mathcad

–
–
–
Чтобы определить матрицу, введите с клавиатуры имя
матрицы и знак присваивания .
Затем щелкните по кнопке Matrix or Vector Toolbar в
панели математических инструментов, чтобы открыть
панель операций с матрицами и векторами.
определите число строк (Rows) и число столбцов
(Columns) и закройте окно диалога, Ok.
–
58
23.09.2024

59.

59
Определим матрицу
системы A и матрицу
правой части b:
Найдем по формулам
Крамера решение
системы линейных
уравнений
23.09.2024

60.

Вычислим
определитель
матрицы системы A
Для нахождения определителя матрицы,
воспользуйтесь нопкой Determinant
в панели Matrix or Vector Toolbar
Для просмотра результата введите знак равенства,
используя клавишу <=>.
60
23.09.2024

61. Определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение

61
Вычисление решения по формулам Крамера
23.09.2024

62. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ LSOLVE

Для численного решения линейных систем
уравнений в MathCAD имеется специальная
функция : lsolvе(A,B)
Она решает систему линейных алгебраических
уравнений вида
А x X =B,
выдавая решение - вектор X.
А - матрица коэффициентов размерности nxn;
В - вектор свободных членов размерности n ;
X - вектор неизвестных решений
62
23.09.2024

63. Пример

63
23.09.2024

64. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ GIVEN - FIND

solve block (Блок решения) удобен для решения
системы уравнений.
Синтаксис Блока решения:
Given
Уравнения
Ограничительные условия
Find(v1,v2,...vn) - возвращает значение одной
или ряда переменных для точного
решения
64
23.09.2024

65.

65
Задаем начальное
приближение
Заключаем уравнения в блок
решения, начинающийся
ключевым словом Given и
заканчивающийся ключевым
словом Find(v1,v2,...vn).
после слова Find(v1,v2,...vn)
ввести знак равенства [=],
MathACD выдаст численное
решение
23.09.2024

66. Используя вычислительный Given/Find

66
23.09.2024

67. Литература

67
Щипачев В.С. Высшая математика. Учебн. Для вузов. 3-е изд.,
стер.-М., Высшая школа. 1996-479 с.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я., Высшая математика в
упражнениях и задачах, ч.1,2, М.В.Ш., 1996 г.
Гурман В. Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистики. Высшая школа. 1979
г.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. Н., 1988 – 223
с.
Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике.
Харьков, 1980 г.
Пискунов Н. П. Дифференциальное и интегральное исчисление по
математике для вузов. М., 1970 г., 1985 г., т. 1, 2
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика.
Дифференциальное и интегральное исчисление. М., 1980 г., 1984
г.
23.09.2024