Квадратичные формы

1.

§16. Квадратичные формы
п.1. Основные определения.
Квадратичной формой от n переменных
называется сумма, каждый член которой
является либо квадратом одной из
переменных, либо произведением двух
переменных, взятых с некоторым
коэффициентом
L ( x1 , x 2 ,..., x n ) a x a x ... a x
2
11 1
2
22 2
2
nn n
a12 x1 x2 ... a1n x1 xn a 21 x2 x1 ... a n 2 x2 xn ...
n
n
an1 xn x1 ... ann 1 xn xn 1 aij xi x j .
i 1 j 1

2.

Пример.
2
2
L ( x1 , x2 , x3 ) x1 3 x2 4 x1 x2 5 x2 x3 .
Замечание. Можно считать, что в
определении квадратичной формы
aij a ji , i , j 1, n.
Пример.
L ( x1 , x 2 ) x12 3 x 22 4 x1 x 2 6 x 2 x1
x 3 x 5 x1 x 2 5 x 2 x1 .
2
1
2
2

3.

Матрица
a11
a
21
A
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
называется матрицей квадратичной формы.
Ранг этой матрицы называется рангом
квадратичной формы.

4.

Квадратичную форму можно записать в виде
скалярного произведения
L ( x1 , x2 ,..., xn ) x Ax ,
где
x ( x1 , x2 ,..., xn ).
Действительно,
a11 a12
a21 a22
Ax
... ...
an1 an 2
... a1n x1 a11 x1 a12 x2 ... a1n xn
... a2 n x2 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn
.
... ... ... ...................................
... ann xn an1 x1 an 2 x2 ... ann xn

5.

Значит,
n
n
x Ax aij xi x j .
i 1 j 1
Пример. Записать матрицу квадратичной
формы
L ( x1 , x2 , x3 ) x 3 x 4 x1 x2 5 x2 x3 .
2
1
2
2
Решение.
2
0
1
A 2 3 2,5 .
0 2,5
0

6.

Замечание. Матрица квадратичной формы
является симметрической.
Теорема.
Собственные значения симметрической
матрицы различны и действительны.
Пример. Найти спектр матрицы
13 3
A
.
3 5
Решение. Характеристическое уравнение
13 3
Спектр:
2
3
5
18 54 0,
{3,15}

7.

Теорема.
Собственные векторы, соответствующие
различным собственным значениям
симметрической матрицы ортогональны.
Теорема. При невырожденном линейном
преобразовании X CY матрица
квадратичной формы принимает вид
A C AC .
*
T

8.

Говорят, что квадратичная форма имеет
канонический вид, если она содержит только
квадраты переменных.
Матрица канонической квадратичной формы
является диагональной.
Пример.
L ( x1 , x2 , x3 ) 2 x 5 x 3 x ;
2
1
2
2
2 0 0
A 0 5 0 .
0 0 3
2
3

9.

Теорема. Любая квадратичная форма, с
помощью невырожденного преобразования
переменных может быть приведена к
каноническому виду.