Similar presentations:
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
1. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
2.
a11x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1a x a x a x ... a x b
21 2 22 2 23 3
2n n
2
..........
..........
..........
..........
..........
.....
am1 x1 am 2 x2 am3 x3 ... amn xn bm
3.
• Здесьx1 , x2 ,..., xn - неизвестные;
aij - коэффициенты при неизвестных,
где
i - номер уравнения,
j - номер неизвестного;
bi - свободные члены (правые части).
4.
• Система наз. неоднородной, еслине все bi равны нулю.
Система наз. однородной, если все
bi равны нулю.
5.
• Матрица системыa11 a12 a13
a21 a22 a23
A
... ... ...
am1 am 2 am 3
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
6. Расширенная матрица
a11 a12a21 a22
A
... ...
am1 am 2
...
...
...
...
a1n
a2 n
...
amn
b1
b2
...
bm
7.
Решением системы будем называтьупорядоченный набор чисел
x1 , x2 ,..., xn
обращающий каждое уравнение
системы в верное равенство.
8.
Решить систему — значит найтивсе ее решения или доказать, что ни
одного решения нет.
Система, имеющая хотя бы одно
решение, называется совместной.
Если система имеет только одно
решение, то она называется
определенной.
9.
Если система не имеет решений, тоона называется несовместной.
Система, имеющая более чем одно
решение, называется неопределенной
(совместной и неопределенной).
Если число уравнений системы
совпадает с числом неизвестных , то
система называется квадратной.
10.
Две системы, множества решенийкоторых совпадают, называются
эквивалентными или равносильными.
Преобразование, применение которого
превращает систему в новую
систему, эквивалентную исходной,
называется эквивалентным или
равносильным преобразованием.
11. Метод Гаусса
12.
Рассмотрим квадратную систему:x1 x2 3x3 2 x4 11;
4 x 6 x x
1;
1
2
3
3
x
2
x
2
x
x
3
;
1
2
3
4
5 x1 x2 2 x3 x4 2.
13.
Исходную систему можно представить ввиде таблицы:
(-5)
(-4)
(-3)
1
1
3
2
11
4 6 1 0 1
3 2 2 1 3
1 2
5 1 2
14.
10
0
0
3
1
10 13
5 7
4 13
11
2
8 45 (-1) (-2)
7 30 2
9 53 5
15.
10
0
0
1
3
10 13
0
1
0 39
2
11
8 45
6 15
29 175
16.
10
0
0
2 11
3
1
10 13 8 45
6 15
1
0
0 205 410
0
17.
Полученная матрица соответствует системе:x1 x2 3x3 2 x4 11;
10 x 13x 8 x 45;
2
3
4
x
6
x
15
;
3
4
205 x4 410.
18. Матричный метод
19.
• С помощью этого метода можнорешать квадратные системы
линейных уравнений
20.
a11x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1a x a x a x ... a x b
21 2
22 2
23 3
2n n
2
..........
..........
..........
..........
..........
.....
an1 x1 an 2 x2 an 3 x3 ... ann xn bn
21.
• Систему можно записать в видеA X B
где
a11
a21
A
...
an1
a12 a13
a22 a23
... ...
an 2 an 3
...
...
...
...
a1n
a2 n
...
ann
22.
x1x2
X
...
xn
b1
b2
B
...
bn
23.
• Если матрицаA невырожденная, то
можно выполнить преобразования
A A X A B
1
1
X A B
1
24. Метод Крамера
25.
• Если определитель системы nлинейных уравнений с n
неизвестными отличен от нуля, то
эта система является определенной
и её единственное решение
находится по формуле
26.
ixi
27.
a11a21
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
28.
Здесьi
– определитель,
получающийся из определителя
заменой i-го столбца столбцом
свободных членов.
29.
x1A11 A21
x2 1 A12 A22
... ... ...
x
A
A
n
1n
2n
...
...
...
...
An1 b1
An 2 b2
...
...
Ann bn
30.
A11 b1 A21 b2 ... An1 bnx1
b1
b2
...
bn
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2 n
A11 b1 A21 b2 ... An1 bn
... ...
... ann
31.
• Если 0 и по крайне мере один изопределителей i 0, то система не
имеет решения.
• Если 0 и i 0 , система либо
не имеет решения, либо имеет
бесконечно много решений.
32. Т е о р е м а К р о н е к е р а - К а п е л л и
ТеоремаКронекера-Капелли
m
Для того чтобы система
неоднородных линейных уравнений
с
неизвестными была совместной,
необходимо и достаточно, чтобы
n
r A r A
33.
• Замечание. Пусть система совместна иr A r A k
- если число уравнений равно числу
неизвестных, то система имеет
единственное решение;
- если число уравнений меньше числа
неизвестных, то система имеет
множество решение.
34. Однородные системы
a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0,a x a x ... a x 0,
21 1
22 2
2n n
..........
..........
..........
..........
.....
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn 0.
35. Теорема о совместности однородной системы
Для того чтобы однородная системалинейных уравнений имела решение,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы этой системы был меньше числа
неизвестных n.