Similar presentations:
Системы линейных алгебраических уравнений
1. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
2.
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1a x a x a x ... a x b
21 1
22 2
23 3
2n n
2
..........
..........
..........
..........
..........
.....
am1 x1 am 2 x2 am 3 x3 ... amn xn bm
3.
• Здесьaij
где
i
j
bi
x1 , x2 ,..., xn
- неизвестные;
- коэффициенты при неизвестных,
- номер уравнения,
- номер неизвестного;
- свободные члены (правые части).
4.
• Система наз. неоднородной, еслине все bi равны нулю.
Система наз. однородной, если все
bi равны нулю.
5.
• Матрица системыa11 a12
a21 a22
A
... ...
am1 am 2
a13
a23
...
am 3
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
6. Расширенная матрица
a11 a12a
a
21
22
A
... ...
am1 am 2
b1
... a2 n b2
... ... ...
... amn bm
... a1n
7.
Решением системы будем называтьупорядоченный набор чисел
x1 , x2 ,..., xn
обращающий каждое уравнение
системы в верное равенство.
8.
Решить систему — значит найтивсе ее решения или доказать, что ни
одного решения нет.
Система, имеющая хотя бы одно
решение, называется совместной.
Если система имеет только одно
решение, то она называется
определенной.
9.
Если система не имеет решений, тоона называется несовместной.
Система, имеющая более чем одно
решение, называется неопределенной
(совместной и неопределенной).
Если число уравнений системы
совпадает с числом неизвестных , то
система называется квадратной.
10.
Две системы, множества решенийкоторых совпадают, называются
эквивалентными или равносильными.
Преобразование, применение которого
превращает систему в новую
систему, эквивалентную исходной,
называется эквивалентным или
равносильным преобразованием.
11. Метод Гаусса
12.
Рассмотрим квадратную систему:x1 x2 3 x3 2 x4
4 x 6 x x
1
2
3
3 x1 2 x2 2 x3 x4
5 x1 x2 2 x3 x4
11;
1;
3;
2.
13.
1 1 3 2 114 6 1 0 1 ~
3 2
2 1 3
1 2
5 1 2
14.
1 1 3 2 114 6 1 0 1 ~
3 2
2 1 3
1 2
5 1 2
15.
1 1 3 2 116 1 0 1
4
3 2
2 1 3
1 2
5 1 2
(-4) (-3) (-5)
+
+
+
~
16.
11
0
10 13
0
5
7
0
4 13
3
11
8 45
7 30
9 53
2
2
+
(-2)
(-5)
+
17.
11
0
10 13
3
0
0
1
0
0
39
11
8 45
6 15
29 175
2
~
(-39)
+
18.
11
0
10
0
0
0
0
11
13
8 45
1
6
15
0 205 410
3
2
19.
Полученная матрица соответствует системе:x1 x2 3x3 2 x4 11;
10 x2 13 x3 8 x4 45;
x3 6 x4
15;
205 x4 410 .
20.
x1 11 x2 3x3 2 x4 11 1 3 3 2 211 1 9 4 1;
10 x2 45 13 x3 8 x4 45 13 3 8 2
45 39 16 10; х2 1;
x3 15 6 x4 15 6 2 15 12 3;
x4 2.
21.
6 x1 9 x2 3 x3 2 x4 42 x1 3 x2 5 x3 4 x4 2
4 x 6 x 4 x 3 x 3
1
2
3
4
22.
6 9 3 2 42 3 5 4 2 ~
4 6 4 3 3
23.
(-3)2
3
5
4
2
+
6 9 3 2 4
4 6 4 3 3
(-2)
+
~
24.
54
2
2 3
0 0 12 10 2 ~
0 0 6 5 1
25.
54
2
2 3
(-2)
0
0
6
5
1
~
0 0 12 10 2 +
26.
42
2 3 5
0 0 6 5 1 ~
0 0 0
0
0
27.
2 30 0
5
6
2
5 1
4
28.
• Рассмотрим минор2 5
0
6
12 0
назовем его базисным. Тогда
x1 , x3 базисные переменные.
29.
2 x1 3x2 5 x3 4 x4 26 x3 5 x4 1
30.
5 x4 1x3
;
6
5
1
x3 x4 ;
6
6
31.
2 x1 2 3 x2 5 x3 4 x4 ;2 3 x2 5 x3 4 x4
x1
;
2
3
5
x1 1 x2 x3 2 x4
2
2
3
5 5
1
1 x2 x4 2 x4
2
2 6
6
3
25
5
7 3
1
1 x2 x4 2 x4 x2 x4 ;
2
12
12
12 2
12
32.
31
7
x1 x2 x4 ;
2
12
12
5
1
x3 x4 ;
6
6
33.
31
7
x1 C2 C4 ;
2
12
12
x2 C2 ;
5
1
x3 C4 ;
6
6
x4 C4 .
34. Метод Жордана-Гаусса
35.
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1a x a x a x ... a x b
21 1
22 2
23 3
2n n
2
..........
..........
..........
..........
..........
.....
an1 x1 an 2 x2 an 3 x3 ... ann xn bn
36.
a11 a12a
a
21
22
A
... ...
a
a
n1 n 2
... a1n b1
... a2 n b2
... ... ...
... ann bn
37.
10
...
0
b1
1 ... 0 b2
... ... ... ...
0 ... 1 bn
0 ... 0
38.
x1 2 x2 4 x3 315 x1 x2 2 x3 29
3 x x x 10
2
3
1
39.
1 2 4 315 1 2 29
3 1 1 10
40.
ab
d
c
41.
a с b dс
a
42.
столбецразрешающий
1 2 4 31
5 1 2 29
3 1 1 10
разрешающая
строка
~
43.
1 2 4 310 .... .... ....
0 .... .... ....
~
44.
431
1 2
0 9 18 126
0 7 11 83
~
45.
431
1 2
1
0 9 18 126 ~
9
0 7 11 83
46.
431
1 2
2
14
0 1
0 7 11 83
~
47.
1 0 ... ...~
0
1
2
14
0 0 ... ...
48.
1 0 0 30
1
2
14
1
0 0 3 15
3
~
49.
1 0 0 30 1 2 14
0 0 1 5
~
50.
1 0 0 ....0 1 0 .... ~
0 0 1 5
51.
1 0 0 34
0
1
0
0 0 1 5
52.
x1 3x2 4
x 5
3
53.
6 x1 9 x2 3 x3 2 x4 42 x1 3 x2 5 x3 4 x4 2
4 x 6 x 4 x 3 x 3
1
2
3
4
54.
6 9 3 2 42 3 5 4 2
4 6 4 3 3
~
55.
2 3 5 4 26 9 3 2 4
4 6 4 3 3
1
2
~
56.
31
2
6
9
4
6
5
2
3
4
2 1
2
4 ~
3
3
57.
31
2
0
0
0
0
5
2 1
2
12 10 2 ~
6 5 1
58.
31
2
0
0
0
0
2 1
1 ~
5 1 6
12 10 2
5
2
6
59.
31
2
0
0
0
0
2 1
5
1
1
6
6
12 10 2
5
2
~
60.
31
2
0
0
0
0
1
0
12
5
1
6
0 0
7
12
1
6
0
61.
31
7
x
x
x
1 2 2 12 4
12
5
1
x
x
3
4
6
6
62.
31
7
x1 x2 x4 ;
2
12
12
5
1
x3 x4 .
6
6
63.
31
7
x1 C2 C4 ;
2
12
12
x2 C2 ;
5
1
x3 C4 ;
6
6
x4 C4 .
64. Матричный метод
65.
• С помощью этого метода можнорешать квадратные системы
линейных уравнений
66.
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1a x a x a x ... a x b
21 1
22 2
23 3
2n n
2
..........
..........
..........
..........
..........
.....
an1 x1 an 2 x2 an 3 x3 ... ann xn bn
67.
• Систему можно записать в видеA X B
где
a11
a21
A
...
a n1
(1)
a12 a13 ... a1n
a22 a23 ... a2 n
... ... ... ...
an 2 an 3 ... ann
68.
x1x2
X
...
xn
b1
b2
B
...
bn
69.
• Если матрицаA
невырожденная, то
можно выполнить преобразования
A A X A B
1
1
X A B
1
(2)
70.
x 2 y z 22 x y 3 z 9
5 x 2 y 2 z 3
1 2 1
x
2
A 2 1 3 , X y , B 9
5 2 2
z
3
71.
X A B1
72.
А1
А11
1
А12
А
13
А21
А22
А23
А31
А32
А33
73.
12
2 1
5
2
1
3 2 4 30 5 6 8 25
2
74.
A111
3
2
2
A12
A13
2
3
5 2
2 1
5
2
2 6 4
( 4 15) 19
4 5 9
75.
A21A22
1
2
1
2 2
1
5 2
A23
1 2
5 2
( 4 2) 2
2 5 3
(2 10) 8
76.
A312
1
1
3
A32
A33
1
1 1
3
2
2
2 1
6 1 5
(3 2) 5
1 4 5
77.
4 2 51
1
A 19 3 5
25
9 8 5
78.
x4 2 5 2
1
X y 19 3 5 9
25
z
9 8 5 3
4 2 2 9 5 3
1
19 2 3 9 ( 5) 3
25
9 2 8 9 ( 5) 3
79.
8 18 1525 1
1
1
38 27 15 50 2
25
25
18 72 15
75 3
80.
x 1y 2
z 3
81. Метод Крамера
82.
• Если определитель системы nлинейных уравнений с n
неизвестными отличен от нуля, то
эта система является определенной
и её единственное решение
находится по формулам
83.
ixi
i 1,2,...., n
84.
a11a12
... a1n
a 21
a 22
... a 2 n
...
...
...
a n1
an 2
... a nn
...
85.
Здесьi
– определитель,
получающийся из определителя
заменой i-го столбца столбцом
свободных членов.
86.
x1A11 A21
x2 1 A12 A22
... ... ...
xn
A1n A2 n
... An1 b1
... An 2 b2
... ...
...
... Ann bn
87.
A11 b1 A21 b2 ... An1 bnx1
b1 a12 ... a1n
b2 a22 ... a2 n
... ... ... ...
b n an 2 ... ann
A11 b1 A21 b2 ... An1 bn
88.
1x1
89.
x 2 y z 22 x y 3 z 9
5 x 2 y 2 z 3
90.
xx
;
y
y
;
z
z
91.
12
2 1
5
2
1
3
2
2 4 30 5 6 8 25
92.
22
x 9 1
3
2
1
3
2
4 18 18 3 12 36 25
93.
1 2y 2 9
1
3
5 3 2
18 30 6 45 9 8 50
94.
12
2
z 2 1 9
5
2
3
3 8 90 10 12 18 75
95.
25x
1;
25
50
y
2;
25
75
z
3.
25
96.
• Если 0 и по крайне мере один изопределителей i 0, то система не
имеет решения.
• Если 0 и i 0 , система либо
не имеет решения, либо имеет
бесконечно много решений.
97.
x y 2z 22 x 2 y 4 z 4
3x 3 y 6 z 3
98.
11 2
1 1 2
2 2 4 2 1 1 2 0
3 3 6
3 3 6
1 2
2 1 2
2
x 4 2 4 2 2 1 2 0
3 3 6
3 3 2
99.
1 2 21 2 2
y 2 4 4 2 1 2 2 0
1
3 3 6
3 3 6
1 2
1 1 2
z 2 2 4 2 1 1 2 0
3 3 3
3 3 3
100.
• Система не имеет решения, т.к.первое и третье уравнения
противоречивы
101.
2 x 3 y z 34 x 6 y 2 z 6
3x y 2 z 1
102.
23
1
2
3
1
4
6
2 2 2
3
1 0
3 1
3 1
2
3
3
1
x 6
6
2 0
1 1
2
2
103.
23
1
2
3
1
y 4
6
2 2 2
3
1 0
3 1
3 1
2
2
3
3
z 4
6
6 0
3 1 1
2
104.
• Второе уравнение получаетсяумножением первого на два. Данная система
равносильна системе
2 x 3 y z 3
3
x
y
2
z
1
Система имеет бесчисленное множество
решений.
105.
23
3 1
2 9 11
106.
y 3x 2 z 12 x 3 3 x 2 z 1 z 3
2x 9x 6z 3 z 3
11x 5 z 0
5
x z
11
15
y z 2z 1
11
7
y 1 z
11
107.
5x z
11
7
y 1 z
11
z z
108. Т е о р е м а К р о н е к е р а - К а п е л л и
ТеоремаКронекера-Капелли
m
Для того чтобы система
неоднородных линейных уравнений
с
неизвестными была совместной,
необходимо и достаточно, чтобы
n
r A r A
109.
• Замечание. Пусть система совместна иr A r A k
-
-
k n
если число уравнений равно
числу неизвестных, причем 0 , то
система имеет единственное решение;
k n если число уравнений меньше
числа неизвестных, то система имеет
множество решение.
110.
1 5 4 3 1*
A 2 1 2 1 0
5 3 8 1 1
(-2) (-5)
~
111.
54
3
1
1
(-2)
0
11
6
7
2
~
0 22 12 14 4
112.
43
1
1 5
0 11 6 7 2
0 0
0
0
0
r ( A) r ( A ) 2 4
*
113.
1 142
x1 x3 x4 ;
11 11
11
2 6
7
x 2 x3 x 4 .
11 11
11
114. Однородные системы
a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0,a x a x ... a x 0,
21 1
22 2
2n n
..........
..........
..........
..........
.....
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn 0.
115. Теорема о совместности однородной системы
Для того чтобы однородная системалинейных уравнений имела решение,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы этой системы был меньше числа
неизвестных n.