Системы линейных алгебраических уравнений

1. Системы линейных алгебраических уравнений

Виды систем линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ)
Решение СЛАУ в матричном виде
Решение СЛАУ методом Крамера
Решение СЛАУ методом Гаусса
Решение СЛАУ в общем случае

2. Системы линейных алгебраических уравнений

Пусть задана система, состоящая из m уравнений
с n неизвестными вида:
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1
(1)
22 2
2n n
2
,
.........
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
где
а
aij , bi , i 1, m, j 1, n - заданные числа,
x1 , x2 ,..., xn - неизвестные

3. Системы линейных алгебраических уравнений

Систему (1) можно записать в виде
ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn bi , i 1, m
или
n
a x b , i 1, m
j 1
ij
j
i
Решением системы (1) называется такая
совокупность чисел x1 1 , x2 2 ,..., xn n ,
при подстановки которых каждое уравнение
системы обращается в верное тождество

4. Системы линейных алгебраических уравнений

Система (1) называется совместной, если у нее
существует решение. Если решения нет, то система
называется несовместной.
Система, имеющая единственное решение
называется определенной. Если система имеет более
одного решения, то она называется неопределенной
Система (1) называется однородной, если все
свободные члены в ней равны нулю. В противном
случае она называется неоднородной.

5. Решение СЛАУ в матричном виде

Коэффициенты при неизвестных в уравнениях
системы (1) образуют матрицу размера m n,
которую обозначим
а11 а12
а21 а22
Am n
... ...
a а
m1 m 2
... а1n
... а2n
... ...
... аmn
и назовем матрицей системы (1).

6. Решение СЛАУ в матричном виде

Вектор - столбец неизвестных системы (1):
x1
x2
X n 1
...
x
n
Вектор - столбец свободных членов системы (1):
b1
b2
Bm 1
...
b
m

7. Решение СЛАУ в матричном виде

Рассмотрим произведение матриц:
... а1n x1 а11x1 а12 x2 ... а1n xn
... а2n x2 а21x1 а22 x2 ... а2n xn
... ... ...
...
... аmn xn аm1 x1 аm 2 x2 ... аmn xn
а11
а21
Am n X n 1
...
a
m1
а12
а22
...
аm 2
b1
b2
Bm 1
...
b
m
Таким образом систему (1) можно
записать в матричном виде:
A X B

8. Решение СЛАУ в матричном виде

Рассмотрим случай, когда m=n, то есть
количество уравнений в системе (1) равно
количеству неизвестных. Матрица системы А –
квадратная матрица порядка n.
а11
а21
An n
...
a
n1
а12
а22
...
аn 2
b1
x1
... а1n
... а2 n
b2
x2
B
;
X
;
n
1
n
1
...
...
... ...
b
x
... аnn
n
n

9. Решение СЛАУ в матричном виде

Будем считать, что матрица А – невырожденная
матрица, то есть А 0
Пусть система записывается в матричном виде
A X B
(2)
У матрицы А существует, причем единственная
1
матрица А
. Умножим слева обе части
1
уравнения (2) на матрицу А .
1
1
А (A X ) А B
1
1
( А A) X А B
1
Е X А B
1
X n 1 Аn n Bn 1 (3)

10. Решение СЛАУ в матричном виде

Если задано матричное уравнение вида:
X A B
(4)
, то для его решения умножим обе части
уравнения (4) справа на матрицу А 1 .
1
1
( X A) А B А
1
1
X ( A А ) B А
1
X Е А B
1
X B А
(5)

11. Решение СЛАУ методом Крамера

Рассмотрим невырожденную линейную систему
алгебраических уравнений в матричном виде
A X B,
где А – квадратная матрица порядка n и det A 0
1
Решение системы: X A B
Аn1
Аn1
А21
А11 А21
А11
...
b
b
...
b
1
2
n
x
b
1
1
А
А
А
А
А
А
n
2
n2
12
22
12
22
x
b
2
2 b1
...
b
...
b
2
n
...
...
...
... ... ... ...
x А
b А
А
А
А2 n
Аnn
2n
nn
1n
n
n 1n
...
b2
... bn
b1

12. Решение СЛАУ методом Крамера

Таким образом, имеем:
1
x1 (b1 А11 b2 А21 ... bn Аn1 )
...................................................
1
xn (b1 А1n b2 А2 n ... bn Аnn )

13. Решение СЛАУ методом Крамера

Составим определитель 1 , который получается
из определителя путем замены первого
столбца столбцом из свободных членов
b1
b2
1
...
bn
a12
a22
...
an 2
...
...
...
...
a1n
a2 n
b1 А11 b2 А21 ... bn Аn1 x1
...
ann
1
x1

14. Решение СЛАУ методом Крамера

Составим определитель n , который получается
из определителя путем замены n -ого
столбца столбцом из свободных членов
a11
a21
n
...
an1
a12
a22
...
an 2
... b1
... b2
b1 А1n b2 А2 n ... bn Аnn xn
... ...
... bn
n
xn

15. Решение СЛАУ методом Крамера

Таким образом, была доказана следующая
теорема
Пусть - определитель матрицы системы А и
j - определитель матрицы, полученной из
матрицы А заменой j-ого столбца столбцом
свободных членов. Тогда, если 0, то система
имеет единственное решение, определяемое по
формулам Крамера
xj
j
, j 1, n

16. Решение СЛАУ методом Гаусса

Метод последовательного исключения
неизвестных
Этот метод заключается в том, что с помощью
элементарных преобразований система
уравнений приводится к равносильной
системе треугольного вида, из которой
последовательно, начиная с последних по
номеру элементов находятся все остальные
элементы

17. Решение СЛАУ в общем случае

Пусть дана произвольная система m линейных
уравнений с n неизвестными
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
,
.........
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
(1)

18. Решение СЛАУ в общем случае

Рассмотрим для системы (1) матрицу системы А
и расширенную матрицу А , дополненную
столбцом свободных членов
а11 а12
а21 а22
A
... ...
a а
m1 m 2
...
...
...
...
а1n
а11 а12
а2 n
а21 а22
;
A
...
...
...
a а
аmn
m1 m 2
...
...
...
...
а1n b1
а2 n b2
... ...
аmn bm

19. Решение СЛАУ в общем случае

Исследуем систему (1) на совместность
Для того, чтобы система (1) была совместна
необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
системы был равен рангу расширенной матрицы
r ( A) r ( A)

20. Решение СЛАУ в общем случае

Из теоремы Кронекера-Капелли следует:
1. Если r ( A) r ( A) , то система (1) несовместна,
то есть не имеет решения.
2. Если r ( A) r ( A) n (n – число неизвестных
системы), то система имеет единственное
решение, которое можно найти, например, по
формулам Крамера.
3. Если r ( A) r ( A) n , то система (1) имеет
бесконечно много решений.

21. Пример

Исследовать систему на совместность
x1 x2 x4 1
x3 3
x1 x2 x3 x4 0
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
A 0 0 1 0 3 0 0 1 0 3 ~ 0 0 1 0 3
1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 4
r ( A) 3; r ( A) 2 r ( A) r ( A)
система несовместна

22. Решение систем линейных неоднородных уравнений

Алгоритм построения общего решения
неоднородной системы
1.Вычислить r (A) иr (A ) и установить совместность
системы (1). Пусть r ( A) r ( A) r .
2. Выделим в матрице А базисный минор:
а11
а
21
...
ar1
а12
а22
...
аr 2
...
...
...
...
а1r
а2 r 0
...
аrr
(считаем, что он расположен в левом верхнем
углу матрицы А)

23. Решение систем линейных неоднородных уравнений

3.
Рассмотрим уравнения системы (1),
соответствующие базисному минору. Их будет r.
4. Неизвестные x1 , x2 ,..., xr , коэффициенты
которых соответствуют базисному минору,
назовем базисными.
Неизвестные xr 1 , xr 2 ,..., xn назовем свободными.

24. Решение систем линейных неоднородных уравнений

5.
Запишем уравнения системы (1),
соответствующие базисному минору, в виде:
слагаемые с базисными переменными оставим
в левой части, а слагаемые со свободными
переменными перенесем вправо:
a11x1 a12 x2 ... a1r xr b1 a1r 1 xr 1 ... a1n xn
a x a x ... a x b a x ... a x
21 1 22 2
2r r
2
2 r 1 r 1
2n n
.........
ar1 x1 ar 2 x2 ... arr xr br arr 1 xr 1 ... arn xn

25. Решение систем линейных неоднородных уравнений

6.
Обозначим свободные переменные
xr 1 с1 , xr 2 с2 ,..., xn сn r
Выразим базисные переменные x1 , x2 ,..., xr по
формулам Крамера через параметры с1 , с2 ,..., сn r :
x1 x1 (c1 , c2 ,..., cn r )
x x (c , c ,..., c )
2
2 1 2
n r
.....
xr xr (c1 , c2 ,..., cn r )

26. Решение систем линейных неоднородных уравнений

В результате получим решение системы (1),
которое называю общим решением системы.
Если придать свободным переменным
конкретные числовые значения, то получим
частное решение системы (1).

27. Пример

Найти общее и указать некоторое частное
решение системы
x1 5 x2 4 x3 3x4 1
2 x1 x2 2 x3 x4 0
5 x1 3x2 8 x3 x4 1
1 5 4 3 1 1 5 4 3 1 1 5 4 3 1
A 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 ~ 2 1 2 1 0
5 3 8 1 1 4 2 4 2 0
r ( A) 2; r ( A) 2 r ( A) r ( A)
система совместна

28. Пример

Базисный минор:
1
2
5 1 10 11 0
1
Система из двух уравнений, соответствующих
базисному минору:
x1 5 x2 4 x3 3 x4 1
2x x 2x x 0
3
4
1 2
x1 , x2 - базисные переменные
x3 , x4 - свободные переменные

29. Пример

Базисные переменные модели выразим через
свободные:
x1 5 x2 1 4 x3 3 x4
2 x x 2 x x
3
4
1 2
Обозначим свободные переменные:
x3 с1 , x4 с2
Имеем:
x1 5 x2 1 4с1 3с2
2 x x 2с с
1
2
1 2

30. Пример

Выразим базисные переменные по формулам
Крамера через параметры с1 , с2 .
Общее решение системы
1 4с1 3с2
2с1 с2
x1
11
x1
1
2
5
1
6
8
1
с1 с2
11
11
11
1 4с1 3с2
2с1 с2
6
7
2
с1 с2
11
11
11
11

31. Пример

Частное решение системы
с1 0, с2 2
16 1
17
x1
11 11
11
14 2 16
x1
11 11 11