Линейная алгебра
План лекции
Системы линейных уравнений (СЛУ)
Матричная запись СЛУ
Решение СЛУ
Матричная запись решения СЛУ
Типы СЛУ
Расширенная матрица СЛУ
Совместная СЛУ
Правило Крамера решения СЛУ
Правило Крамера. Пример 1
Метод обратной матрицы решения СЛУ
Метод Гаусса решения СЛУ
Метод Гаусса решения СЛАУ. Пример
Алгоритм решения произвольной СЛУ
2. Укороченная система
3. Свободные и базисные неизвестные
4. Общее решение СЛУ
Общее решение СЛУ. Пример 2
Теорема о числе решений СЛУ
Следствия из теоремы о числе решений СЛУ
Фундаментальное множество решений однородной СЛУ
Фундаментальное множество решений однородной СЛУ. Пример 2 (продолжение)
Пример 2 (продолжение)
Структура общего решения неоднородной СЛУ
Структура множества решений неоднородной СЛУ. Пример 3
Пример 3 (продолжение)
270.92K
Category: mathematicsmathematics

Системы линейных уравнений

1. Линейная алгебра

Лекция 3
Системы линейных уравнений

2. План лекции


Система линейных алгебраических уравнений
Совместность, определенность и равносильность
систем
Методы решения систем:
– Метод Крамера;
– Метод обратной матрицы;
– Метод Гаусса.
Количество решений системы
Случай однородных систем
2

3. Системы линейных уравнений (СЛУ)

Под системой линейных уравнений (СЛУ) будем понимать:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
................................................
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
где
– «неизвестные» системы,
a11, a12 , ... , amn , b1 , ..., bm R – коэффициенты системы,
m – число уравнений, n – число неизвестных.
x1 , x2, ...xn
3

4. Матричная запись СЛУ

A X B
a1 1
a2 1
A
...
a
m1
a1 2
a2 2
...
am 2
a1n
b1
... a2 n
b2
, B ,
... ...
...
b
... amn
m
...
x1
x2
X
...
x
n
A – матрица коэффициентов СЛУ,
B – столбец свободных членов,
X – столбец неизвестных.
4

5. Решение СЛУ

Решением СЛУ называется совокупность чисел
x10 , x20 ,..., xn0 R ,
удовлетворяющая всем уравнениям системы, т.е.
обращающая их в верные числовые равенства:
a11x10 a12 x20 ... a1n xn0 b1
0
0
0
a21x1 a22 x2 ... a2 n xn b2
................................................
a x 0 a x 0 ... a x 0 b
m2 2
mn n
m
m1 1
5

6. Матричная запись решения СЛУ

x0 1
x0 2
X 0 Rn :
...
x
0n
a1 1
a2 1
...
a
m1
a1 2
a2 2
...
am 2
a1n x0 1 b1
... a2 n x0 2 b2
,
... ...
...
...
... amn x0 n bm
...
A X0 B
a1 1
a1 2
a1n b1
a2 1
a2 2
a2 n b2
x0 1 x0 2 ... x0 n
...
...
...
...
b
a
a
a
n2
nm m
n1
6

7. Типы СЛУ

СЛУ называется совместной, если у неё имеется хотя бы
одно решение, в противном случае СЛУ называется
несовместной.
Совместная СЛУ называется определённой, если она имеет
одно единственное решение и неопределённой в
противном случае.
Две системы называются равносильными, если их
множества решений совпадают.
СЛАУ A.X=B называется однородной, если B=0 , в
противном случае СЛУ называется неоднородной.
7

8. Расширенная матрица СЛУ

Вся информация о СЛУ
A.X=B
содержится в
расширенной матрице системы:
a11
a21
A1
...
a
m1
a12
... a1n
a22
... a2 n
...
...
...
am 2 ... amn
b1
b2
...
bm
8

9. Совместная СЛУ

Пусть дана совместная определенная СЛАУ от
n неизвестных.
1.
2.
Тогда:
если система однородна, то она имеет только
тривиальное решение xi = 0, i=1,…,n;
если система не однородна, то она имеет
единственное решение, которое может быть
найдено
• по правилу Крамера,
• методом обратной матрицы,
• методом Гаусса.
9

10. Правило Крамера решения СЛУ

Пусть дана совместная СЛУ от n неизвестных
A X B , det( A) 0 .
Тогда система имеет единственное решение
i
xi , i 1, 2, ..., n ,
где
i – определитель, получаемый из
определителя заменой i-го столбца на столбец
свободных членов.
10

11. Правило Крамера. Пример 1

x1 2 x2 3 x3 2
3 x1 x2 x3 3
2 x 5 x 2 x 9
2
3
1
Найти решение СЛУ
1 2
2 2
x1 3
9
3
1
2
5
1 2 45 4 (6 12 5) 62 0 ,
2
3
1 1 62 ,
5
3
1
1 2 2
3
x2 3
3 1 62 , x2 3
2 9 2
2
2
Следовательно,
2
x1
x1
1 , x2
x2
1, x3
1 3 62 .
5 9
x3
1 .
11

12. Метод обратной матрицы решения СЛУ

Пусть дана совместная СЛАУ от n неизвестных
A X B , det( A) 0 .
Тогда существует A-1 и
X A B
1
1
A A X A B
(т.к.
1
).
Пример (тот же).
1 2 3
7 19 1
1 1
62 0 , A 3 1 1 , A 8 4 10 .
62
2 5 2
13
9
7
7 19 1 2 1
1
1
X A B 8 4 10 3 1 .
62
13 9 7 9 1
12

13. Метод Гаусса решения СЛУ

Суть метода состоит в последовательном исключении
неизвестных: сначала исключается x1 из всех уравнений системы,
начиная со 2-го, далее исключается x2 из всех уравнений,
начиная с 3-го, и т. д., пока в последнем уравнении останется
только xn (прямой ход схемы Гаусса). Затем из последнего
уравнения находится xn , с помощью этого значения из
предпоследнего уравнения вычисляется xn-1 и т. д., пока из 1-го
уравнения не найдется x1 (обратный ход схемы Гаусса).
13

14. Метод Гаусса решения СЛАУ. Пример

Пример (тот же):
x1 2 x2 3 x3 2
3 x1 x2 x3 3
2 x 5 x 2 x 9
2
3
1
1 2 3 2 II 3 I 1 2
3 2 1 2 3 2
x1 1
III 2 I
3 1 1 3 0 7 10 3 0 7 10 3 x2 1
2 5 2 9
0 9 4 5 0 0 62 62
x3 1
или
1
0
0
2 1
7 10 3 0
0 1
1 0
2
3
2 0 1 1 2 0 1 1 0 0 1
7 0 7 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
14

15. Алгоритм решения произвольной СЛУ

1. Приведем СЛУ к системе с матрицей A1 трапециевидного
(ступенчатого) вида:
a) полагая
a11 0, исключим неизвестную переменную x1
из всех уравнений системы, начиная со 2-го. Для этого
a21
к 2-му уравнению прибавим 1-ое, умноженное на
,
a11
a31
к 3-му уравнению прибавим 1-ое, умноженное на
,
a11
.........,
an1
к n-ому уравнению прибавим 1-ое, умноженное на
.
a11
15

16.

В результате преобразований система примет вид
a1n xn b1
a11 x1 a12 x2 ...
(1 )
(1 )
(1 )
a
x
...
a
x
b
22
2
2n
n
2
............................................................
an(12) x2 ...
arn(1) xn br(1)
ai1
aij aij a1 j , i 2,3,..., n, j 2,3,..., n
a11
(1 )
ai1
bi bi b1 , i 2,..., n
a11
(1 )
16

17.

б) полагая
a22(1) 0 , исключим неизвестную переменную x2
из всех уравнений системы, начиная с третьего. Для этого
(1 )
a32
к 3-му уравнению прибавим 2-ое, умноженное на (1) ,
(1 ) a 22
a42
к 4-му уравнению прибавим 2-ое, умноженное на (1) ,
a22
........ .,
an(12)
к n-ому уравнению прибавим 2-ое, умноженное на (1) .
a22
в) и т.д.
17

18. 2. Укороченная система

2. Отбросив последние n – r уравнений, запишем
укороченную систему, равносильную исходной:
a1, n xn b1
a11 x1 a12 x2 ...
(1 )
(1 )
(1 )
a
x
...
a
x
b
22
2
2 ,n n
2
............................................................
( r 1 )
( r 1 )
( r 1 )
a
x
...
a
x
b
r ,r
r
r ,n
n
r
18

19. 3. Свободные и базисные неизвестные

3. Назовем неизвестные x1, x2,…,xr базисными,
xr+1, xr+2,…,xn – свободными.
Запишем укороченную систему в виде
a11 x1 a12 x2 ... a1, r xr b1 a1,r 1 xr 1 a1, n xn
(1 )
(1 )
(1 )
(1 )
(1 )
a
x
...
a
x
b
a
x
a
x
22
2
2,r r
2
2 , r 1 r 1
2,n n
...................................................................................
( r 1 )
( r 1 )
( r 1 )
( r 1 )
a
x
b
a
x
a
r ,r r
r
r , r 1 r 1
r , n xn
19

20. 4. Общее решение СЛУ

4. Для каждого набора свободных неизвестных
xr+1= с1 , xr+2= с2 , … , xn= сn-r
укороченная система имеет единственное решение:
x1 c1 , c2 ,..., cn r
x c , c ,..., c
r 1 2
n r
X c1 , c2 ,..., cn r
c1
c
n r
называемое общим решением исходной СЛУ.
20

21. Общее решение СЛУ. Пример 2

Найти общее решение СЛУ
x1 2 x2 3x3 0
2 x1 4 x2 6 x3 0
1 2 3 0 1 2 3 0
.
A1
2
4
6
0
0
0
0
0
Положим
x3=c1, x2=c2 .
Укороченная система имеет вид
откуда
x1 2c2 3 c1
Общее решение
x1 2 x2 3x3 0
,
.
2c2 3c1
X c1 , c2 c2 , c1 , c2 R .
c
1
21

22. Теорема о числе решений СЛУ

Пусть дана совместная СЛУ от n неизвестных с матрицей
коэффициентов , которая при приведении к ступенчатому виду
имеет r ненулевых строк.
Тогда:
1. если r = n , то система имеет единственное решение;
2. если r < n , то система имеет бесконечно много решений,
причем (n – r) неизвестным можно присвоить произвольные
значения, а остальные r неизвестных выражаются через них
единственным образом.
22

23. Следствия из теоремы о числе решений СЛУ

1.
Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет
единственное решение тогда и только тогда, когда матрица
коэффициентов системы невырожденная.
2.
Однородная система A.X= 0 всегда совместна, т.к. имеет
тривиальное решение X= 0. Для существования
нетривиального решения однородной системы необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось r < n.
23

24. Фундаментальное множество решений однородной СЛУ

Общее решение однородной системы имеет вид
X c1 E 1 c2 E 2 ... cn r E n r ,
где
с1, с2,…,сn-r
– произвольные постоянные.
Фундаментальное множество решений
E1, E 2, ..., E n r
может быть получено из общего решения, если
свободным неизвестным придавать поочередно
значение 1, полагая остальные равными 0.
24

25. Фундаментальное множество решений однородной СЛУ. Пример 2 (продолжение)

Найти фундаментальное множество решений СЛУ
x1 2 x2 3x3 0
2 x1 4 x2 6 x3 0
3c2 2c1
X c1 , c1 , c2 R
c
2
Общее решение
При c1=1, c2=0
E
2
1
1
0
,
при c2=1, c1=0
E
3
0
2
1
.
25

26. Пример 2 (продолжение)

Общее решение системы может быть записано так:
2
1
1
0
X c1 E 1 c2 E 2 c
2
1
0
,
3
0
1
c
3
0 ,
2
1
c1 , c2 R
- фундаментальное множество
решений исходной СЛУ.
26

27. Структура общего решения неоднородной СЛУ

Общее решение неоднородной системы
A.X = B
может быть найдено как сумма общего решения
соответствующей однородной системы
A. X = 0
и произвольного частного решения неоднородной
системы.
~
X X одн X неодн
27

28. Структура множества решений неоднородной СЛУ. Пример 3

Найти множество решений СЛУ
x1 x2 2 x3 x4 1
x4 0
2 x1 3 x2
3 x 4 x 2 x 2 x 1
2
3
4
1
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
A1 2 3 0 1 0 ~ 0 1 4 1 2 ~ 0 1 4 1 2 .
3 4 2 2 1 0 1 4 1 2 0 0 0 0 0
Укороченная система имеет вид
x1 x2 2 x3 x4 1
x2 4 x3 x4 2
n-r = 2 . Полагаем x3 = c1 , x4 = c2 , тогда
x2 2 4с1 с2
x1 1 2 4с1 с2 2с1 с2 3 6с1 2с2
28

29. Пример 3 (продолжение)

Общее решение
3 6c1 2c2
6
2 3
2 4c1 c2
4
1 2
X
c1 c2
, c1 , c2 R
c1
1
0
0
c2
0
1 0
общее решение
однородной СЛУ
частное решение
неоднородной СЛУ
29
English     Русский Rules