Линейные векторные пространства. Базис

1. Линейные векторные пространства. Базис

Линейные векторные пространства;
Линейная зависимость векторов;
Базис и размерность пространства
Преобразование координат;
Матрица перехода

2. Линейные векторные пространства

Определение. Множество V называется линейным
векторным пространством, если для любых его
элементов a и b
, называемых векторами этого
пространства, и любого действительного числа
определены в V векторы a b
следующие аксиомы:
и
так
a , что верны

3. Линейные векторные пространства

1. В пространстве V есть нулевой вектор 0 такой, что
a 0 a
а V ;
2. Для любого вектора a V существует противоположный
ему вектор, обозначаемый
a , такой, что a a 0 ;
3.
a b b a а, b V ;
4.
a b c a b c а, b, c V ;
5.
1 a a
а V ;

4. Линейные векторные пространства

6.
a b a b а, b V R ;
7. a a a
а V , R
a a
а V , R
8.
Пример. Множество всех векторов плоскости или
трехмерного
пространства
является
линейным
пространством относительно операций сложения двух
векторов и умножения векторов на число.

5. Линейные векторные пространства

n
З а м е ч а н и е 1. Пространство R – множество строк из n
действительных чисел x1 ;...; xn – является линейным векторным
пространством, если суммой строк x1 ;...; xn и y1 ;...; y n
x1 y1 ;...; xn yn , а произведением строки
x1 ;...; xn на число назвать строку x1 ;...; xn .
нулем пространства служит строка 0 0;...;0 ; противоположной
строке а1 ;...; аn является строка а1 ;...; аn и верны все
назвать строку
аксиомы 1– 8.

6. Линейная зависимость векторов

Определение . Векторы a1 , a2 ,..., an линейного
векторного пространства V называются линейно
зависимыми, если существуют числа
1 , 2 ,... n , не все равные нулю, такие, что
справедливо равенство:
1a1 2 a2 .... n an 0 (1 )
Определение . Векторы a1 , a2 ,..., an
линейного
векторного пространства называются линейно
независимыми, если выполнение равенства (1)
возможно только при условии:
.
1 2 n 0

7. Линейные векторные пространства

Теорема. Система
пространства
R
n
из k векторов a1 , a2 ,..., ak
является линейно
независимой тогда и только тогда, когда матрица
A , столбцы (строки) которой составлены из
этих векторов, имеет ранг k.
Следствие. Система, состоящая более чем из
n
векторов пространства R n , линейно зависима .

8. Базис линейного пространства

Пусть
L произвольное линейное пространство.
Определение . Линейная независимая система
элементов e1 , e2 ,..., en пространства
L
называется
базисом этого пространства, если любой элемент
пространства L
является линейной комбинацией
этих элементов, т.е.
где x1 , x2 ,..., xn
x x1e1 x2e2 ,..., xnen ,
( )
некоторые числа называемые
x относительно базиса
e1 , e2 ,..., en .
координатами элемента
x

9. Базис линейного пространства

Равенство
x x1e1 x2e2 ,..., xnen ,
разложением элемента
( ) называется
x по базису e1 , e2 ,..., en .
Пример 1. В линейном пространстве всех векторов
плоскости любые два неколлинеарные вектора
являются базисом этого пространства.
Пример 2. В линейном пространстве всех векторов
пространства любые три некомпланарные вектора
являются базисом этого пространства.

10. Базис линейного пространства

Теорема. Любой элемент x линейного
пространства
L
разлагается по базису e1 , e2 ,..., en
этого пространства единственным способом.
Доказательство. Предположим обратное,
пусть элемент
x разлагается по базису e1 , e2 ,..., en
двумя различными способами:
x x1e1 x2e2 ... xn en ,
x x1 e1 x2 e2 ... xn en .

11. Базис линейного пространства

x x1e1 x2e2 ... xn en ,
x x1 e1 x2 e2 ... xn en .
x1 x1 e1 x2 x 2 e2 ... xn xn en 0.
( )
В силу линейной независимости базисных элементов
e1 , e2 ,..., en , равенство ( )
справедливо только и
только тогда, когда
x1 x1 0, x2 x 0,..., xn xn 0,
x1 x1 , x2 x ,..., xn xn . Теорема доказана.

12. Базис линейного пространства

x и
Пусть элементы
пространства L
разложены по базису
y
линейного
e1 , e2 ,..., en :
x x1e1 x2e2 ... xn en ,
y y1e1 y2e2 ... yn en .
Из этих равенств, в силу аксиом 1-8 линейного
векторного пространства, получим
x y x1 y1 e1 x2 y2 e2 ... xn yn en , (1)
и
x x1e1 x2e2 ... xn en .
(2)

13. Базис линейного пространства

Равенство (1) означает, что при сложении двух
элементов линейного пространства
L
их
координаты складываются.
Равенство (2) означает, что при умножении элемента
линейного пространства L
на некоторое число
координаты этого элемента умножаются на
.

14. Размерность линейного пространства

Определение. Если линейное пространство L
имеет базис, состоящий из n элементов, то это число
n называется размерностью линейного пространства
L
, а само пространство называется n – мерным
линейным или векторным пространством.
Размерность линейного пространства
обозначается через
dim L.
L

15. Размерность линейного пространства

Линейное пространство, в котором не существует базис,
назывется бесконечномерным.
Теорема. В линейном пространстве любые два базиса
содержат одинаковое число элементов.
Размерность линейного пространства всех векторов
плоскости равна двум.
Размерность линейного пространства всех векторов
пространства равна трем.
n
Размерность линейного пространства R равна n.

16. Переход от одного базиса к другому

Пусть e1 , e2 ,..., en и e1 , e2 ,..., en
два произвольных
базиса n-мерного линейного пространства
Элементы e1 , e2 ,..., en
Rn .
разложим по базису
e1 , e2 ,..., en
e1 a11e1 a12 e2 ... a1n en ,
e2 a21e1 a22e2 ... a1n en
...........................................
en an1e1 an 2 e2 ... ann en .

17. Переход от одного базиса к другому

Обозначим
a11 a12 ...a1n
a21 a22 ...a1n
A
...................
an1 an 2 ...ann
Матрицу А называют матрицей перехода от нового
базиса к старому базису .
Определитель этой матрицы отличен от нуля.

18. Переход от одного базиса к другому

Замечание . Каждый вектор a пространства L
имеет координаты как в старом базисе, так и в новом.
Справедливо равенство: ( y1; y2 ;...; yn ) A ( x1; x2 ;...; xn )
которое связывает координаты
вектора
координаты
( x1; x2 ;...; xn )
( x1; x2 ;...; xn )
в старом базисе и
вектора a в новом базисе, где
– матрица перехода от нового базиса к старому.
А

19. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА.

Определение. Скалярным произведением
векторов
a и b линейного векторного
пространства L называется число, обозначаемое
(a, b) и удовлетворяющее следующим условиям:
1. ( a, b) (b, a ) а, b L
2. ( a b , c) (a, с) b, c а, b, c L
3. ( а , с ) ( a , с )
4.
( a, a ) 0
а, с L, R
а L

20. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

( a , а ) 0 тогда, когда , a нулевой элемент
пространства
L.
Определение. Линейное векторное пространство
L,
в котором определено скалярное произведение
векторов, называется евклидовым пространством.
Пространство
R n является евклидовым, так как оно
линейное векторное и в нем определено скалярное
произведение элементов.

21. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

:
.
В любом евклидовом пространстве определяют:
длину вектора:
a a, a
расстояние между двумя векторами:
a; b a b
косинус угла
между векторами a и b :
cоs
a, b
a b

22. Ортогональные элементы. Ортонормированный базис

Определение. Базис e1 , e2 ,..., en евклидова
пространства L называется ортогональным, если
ei , e j 0 при любых 1 i j n
Определение. Ортогональный базис e1 , e2 ,..., en
евклидова пространства L
ортонормированным, если
называется
ei , ei 1 i 1, 2,..., n

23.   ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ БАЗИСА  

ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ
БАЗИСА
Пусть – f1 , f 2 ,..., f n
пространстве
L . Тогда векторов, вычисленных по
формулам
k 1
e k f k c i ei
e1 f1
где
базис в евклидовом
k 2,...n
i 1
f k ; ei
ci
, k 2,...n,
ei ; ei
образуют ортогональный базис в евклидовом
пространстве
L
.

24.   ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ БАЗИСА  

ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ
БАЗИСА
Процесс построения указанным способом
ортогонального базиса
данному
e1 , e2 ,..., en
по некоторому
f1 , f 2 ,..., f n базису называется процессом
ортогонализации Шмидта.
Определение. Нормированием вектора a называется
а
замена его вектором а , имеющим длину, равную 1.

25. Примеры

Выяснить, являются ли векторы
a1 (1;3;1;3); a2 (2;1;1; 2); a3 (3; 1;1;1);
линейно зависимыми.
Решение. Составим матрицу, у которой, например,
строками являются векторы a1 ; a2 ; a3 . Приведем
ее к ступенчатому виду:

26. Примеры

1
3
1
3
2 3 ( 3)( 1) 1 2 3
1 2 3
1 1
0
5
10
:
(
5)
0
1
2
0 1 2
0 0 0
1 1
2 1
0 4 8
0 0 0
Ранг системы векторов равен двум.
Ответ : Векторы линейно зависимые.

27. Примеры

П р и м е р 2. Показать, что векторы
a (1; 2; 3 ), b ( 3; 2;1) и c (1; 0;1)
3
образуют базис в пространстве R . Найти координаты вектора
m ( 1; 6;13 ) в этом базисе.
Р е ш е н и е. Составим матрицу, столбцами которой являются
данные в примере векторы. Приведем ее к ступенчатому виду:

28. Примеры

Следовательно, ранг матрицы, составленной из векторов a, b , c
, равен трём; векторы a, b , c линейно независимы и образуют
базис в пространстве R 3 .
Тогда вектор
базису:
m ( 1; 6;13 ) должен разлагаться по этому
m x1a x2 b x3 c
Т.е. координаты данного разложения удовлетворяют линейной системе
алгебраических уравнений:

29. Примеры

1 x1 3x 2 x3
6 2 x1 2 x 2
13 3x x x .
1
2
3
1 3 1 1 ( 2)( 3)
2 2 0 6
3 1 1 13
1 1
1 3
0 4 2 8 2
0 8 2 16
1 1
1 1
1 3
1 3
0 4 2 8
0 4 2 8
0 0
0 0
1 0 ( 2) ( 1)
2 0 (1 / 2)
1 3 0 1
1 3 0 1
0 4 0 8 ( 1 / 4) 0 1 0 2 ( 3)
0 0 1 0
0 0 1 0
1 0 0 5
0 1 0 2 .
0 0 1 0
x1 5, x2 2, x3 0

30. Примеры

Итак, вектор m в базисе a, b , c имеет координаты:
Отсюда заключаем:
m 5a 2b .
3
О т в е т: a, b , c – базис пространства R ;
m 5a 2b .
П р и м е р 3. Найти матрицу перехода от базиса
e1 1;1;0 , e2 2;0;1 , e3 0;1;1
к базису
5; 2;0 .
f1 1;1;1 , f 2 2;0;0 , f 3 0;0;2 .

31.

х1 , х2 , х3 , у1 , у2 , у 3 и
в базисе f1 , f 2 , f 3 :
Р е ш е н и е. Найдем координаты
z1 , z 2 , z 3 векторов e1 , e2 , e3
e1 x1 f1 x2 f 2 x3 f 3 ,
e2 y1 f1 y 2 f 2 y3 f 3 ,
e3 z1 f1 z 2 f 2 z 3 f 3 .
Рассматривая каждое уравнение в отдельности, получим три
системы, соответственно, для координат х1 , х2 , х3 ,
у1 , у2 , у 3 и
z1 , z 2 , z 3 :
x1 2 x2 1
1) x1 1
x 2 x 0,
3
1
y1 2 y 2 2
2) y1 0
y 2 y 1,
3
1
z1 2 z 2 0
3) z1 1
z 2 z 1.
3
1

32.

x1 1;
x2 0;
x3 1 / 2,
y1 0;
y 2 1;
y 3 1 / 2,
z1 1;
z 2 1 / 2;
z3 0.
f1 , f 2 , f 3
координаты 1;0; 1 / 2 , вектор e2 ― 0;1;1 / 2 и e3 ―
1; 1 / 2;0 .
Значит, матрица перехода от базиса e1 , e2 , e3 к базису f1 , f 2 ,
f 3 имеет вид:
Таким образом, вектор
0
1/ 2
1
1
1/ 2
0
1 1/ 2
0
e1
имеет в базисе
Ответ :
0
1/ 2
1
0
1
1
/
2
1 1/ 2
0