3.30M

Category: $mathematics$ mathematics

Линейные пространства

3.

Подпространство линейного пространства
- это линейное пространство, все элементы которого являются
элементами исходного линейного пространства

Обратите внимание! В формуле матрицы представлены своими
обозначениями.
Это максимально удобный способ представления,
позволяющий проводить все необходимые вычисления, при условии, что
мы правильно совершаем действия с матрицами. Как мы узнали из
предыдущих лекций, для матриц выполняются:
дистрибутивные законы (A+B) = A+ B и ( + ) A = A + A,
ассоциативные законы A(BC)=(AB)C и (A+B)+C=A+(B+C).
При этом коммутативный закон выполняется только для сложения:
А+B=B+A
При умножении двух матриц, их нельзя менять местами!
Это означает, что если нужно умножить выражение на матрицу – ее всегда
необходимо записывать с учетом порядка умножения (с правильной
стороны!)

10.

Координаты векторов при замене базиса преобразуются по
определенным правилам
x=eX=e’X’=eTX’, X=TX’

11.

Линейные операторы

12.

Отображение линейного пространства

13.

Линейные операторы
Линейный оператор – это линейное отображение,
действующее из линейного пространства Rn в это же
пространство Rn.

14.

Матрица линейного оператора
Матрица-строка преобразованных оператором базисных
векторов
умножается на координатный столбец

15.

16.

17.

Пример: Получить матрицу линейного оператора, отображающего x в
вектор y=2x1e1+(x1-x2)e2.
Решение:

18.

Преобразование матрицы оператора при переходе к
новому базису

19.

Собственные значения и
собственные вектора линейного
оператора

20.

Обратите внимание: данное равенство может выполняться только
при определенных значениях (собственных значениях оператора) и
только для векторов с определенным набором координат
(собственных векторов), которые необходимо искать и которые могут
отсутствовать для заданной в условии задачи матрицы оператора

21.

22.

23.

Многочлены четной степени можно представлять в виде
произведения многочленов второго порядка. В случае нечетной
степени в разложении появляется также один многочлен первого
порядка

24.

25.

Формула для решения квадратного уравнения
А называется действительной частью комплексного числа,
B – мнимая часть комплексного числа

26.

Характеристическое уравнение (n=2)

27.

Характеристическое уравнение (n=3)
частный случай

28.

29.

Матрица линейного оператора в базисе
собственных векторов

30.

В случае, если матрица линейного оператора симметрична,
все собственные значения оператора являются вещественными
числами, а собственные вектора, соответствующие различным
собственным значениям ортогональны друг другу.
Поскольку собственные вектора определяются с точностью до
множителя, для оператора с симметричной матрицей можно построить
ортонормированный базис из собственных векторов.

31.

Модель Леонтьева

32.

Данная модель была предложена американским экономистом В.
Леонтьевым в 1930 году. В 1973 году им была получена Нобелевская
премия за развитие метода «затраты - выпуск».
В модели предполагается существование нескольких связанных
друг с другом производственных отраслей. Каждая отрасль производит
свой продукт, который в общем случае может быть как продан
потребителю (эта часть общего выпуска отрасли называется «конечный
продукт» или «конечный спрос»), так и использован для нужд
производства в самой отрасли и других отраслях. Таким образом,
количество выпущенной отраслью продукции равно сумме
производственного потребления и непроизводственного потребления
(конечного спроса).

33.

34.

35.

Основное уравнение модели Леонтьева,
X=AX+Y
записанное в матричном виде, легко преобразовать к виду, позволяющему
при заданном валовом выпуске отрасли и известных коэффициентах
прямых затрат (технологических коэффициентах) найти конечный спрос.
Y = (E-A)X
Также данное уравнение может быть преобразовано к виду, позволяющему
найти необходимый валовый выпуск отраслей по заданному конечному
спросу (конечному продукту).