Линейное пространство. Базис. Линейная оболочка (УСР). Лекция 17

1.

§17. Линейное пространство. Базис. Линейная
оболочка(УСР)
п.1. Линейная зависимость.
Упорядоченная совокупность n
действительных чисел ( x1 , x 2 ,..., x n )
называется n-мерным вектором.
Числа x1 , x 2 ,..., x n называются координатами
вектора.
Пример.
— 2-мерный вектор
(1,5 )
(1,5 , 2 ) — 3-мерный вектор
(1,5 , 2 , 0 ) — 4-мерный вектор

2.

Линейные операции над n-мерными векторами
(сложение, вычитание, умножение на число)
определяются аналогично случаю векторов на
плоскости и в пространстве (в координатной
форме).
Совокупность всех n-мерных векторов, для
которых определены линейные операции
называется n-мерным векторным
n
пространством и обозначается R .

3.

Рассмотрим систему из m n-мерных векторов
a1 , a 2 ,..., a m .
Вектор b называется линейной комбинацией
системы a1 , a 2 ,..., a m , если существуют такие
числа
что
Числа
1 , 2 ,..., m R ,
b 1 a1 2 a 2 ... m a m .
1 , 2 ,..., m
называются коэффициентами линейной
комбинации.

4.

Пример.
Если три вектора a , b , c R некомпланарны, то
3
1 , 2 , 3 R d R
3
d 1 a 2 b 3 c .
Система векторов a1 , a 2 ,..., a m называется
линейно зависимой, если существуют
числа 1 , 2 ,..., m R , хотя бы одно из которых
не равно нулю, такие, что справедливо
равенство
1 a1 2 a 2 ... m a m 0 .
Система векторов a1 , a 2 ,..., a m называется
линейно независимой, если

5.

равенство
1 a1 2 a 2 ... m a m 0
возможно тогда и только тогда, когда
1 2 ... m 0 .
Свойства линейно (не)зависимых систем
векторов
1) Если среди векторов системы a1 , a 2 ,..., a m
есть нулевой, то система линейно зависима.

6.

2) Если среди векторов системы a1 , a 2 ,..., a m
есть k (k m ) линейно зависимых векторов, то
система линейно зависима.

7.

3) Если система векторов линейно
независима, то любая ее подсистема линейно
независима.
4) Для того, чтобы система векторов была
линейно зависима, необходимо и достаточно,
чтобы хотя бы один из ее векторов линейно
выражался через остальные.

8.

Если вектор b является линейной
комбинацией векторов линейно независимой
системы a1 , a 2 ,..., a m , т.е.
b 1 a1 2 a 2 ... m a m ,
то числа 1 , 2 ,..., m называются
координатами вектора b в системе a1 , a 2 ,..., a m .
Теорема 1.
Координаты вектора b в линейно независимой
системе a1 , a 2 ,..., a m , задаются однозначно, т.е.
разложение
b 1 a1 2 a 2 ... m a m
единственно.

9.

Единичными векторами пространства R n
называются векторы
e1 (1, 0 , 0 ,..., 0 ),
e 2 ( 0 ,1, 0 ,..., 0 ),
e 3 ( 0 , 0 ,1,..., 0 ),
…………………
e n ( 0 , 0 , 0 ,...,1).

10.

Теорема 3.
а) Система единичных векторов линейно
независима.
б) Любой вектор a ( a1 , a 2 ,..., a n )
n
пространства R является линейной
комбинацией единичных векторов этого
пространства, причем координаты вектора a в
этой системе совпадают с его координатами
a1 , a 2 ,..., a n .

11.

Рассмотрим систему векторов
a1 ( a11 , a21 ,..., an1 ),
a2 ( a12 , a22 ,..., an 2 ),
...................................
am ( a1m , a2 m ,..., anm ).
Матрица
a11 a12
a21 a22
A
... ...
a
n1 an 2
... a1m
... a2 m
... ...
... anm
называется матрицей системы векторов.

12.

Теорема 4.
Система векторов линейно независима тогда и
только тогда, когда количество векторов в
системе равно рангу матрицы этой системы
векторов.
Пример. Проверить линейную зависимость
системы векторов.
(2, 2, 4,1), (4, 5,7,4), (6, 7,3,5).

13.

Решение. Составим матрицу этой системы
(транспонированную)
2 2 4 1
4 5 7 4 .
6 7 3 5
Найдем ее ранг
r 2.
Значит, система линейно зависима.

14.

15.

п.2. Базис и ранг системы векторов.
Базисом системы векторов называется
содержащая максимальное количество
векторов ее линейно независимая
подсистема.
Замечание 1.
Система векторов может иметь несколько
базисов.
Количество векторов в любом базисе системы
векторов одинаково.

16.

17.

Число векторов в базисе называется рангом
системы векторов.
Теорема 5.
Ранг системы векторов равен рангу матрицы
этой системы векторов.
Базисом n-мерного векторного пространства
называется n линейно независимых векторов
этого пространства.

18.

Теорема 6.
n
Пусть a1 , a 2 ,..., a n — базис пространства R .
Тогда любой вектор b этого пространства
разлагается по данному базису, т.е.
b 1 a1 2 a 2 ... n a n ,
причем это разложение единственно.
Доказательство. Пусть
a1 ( a11 , a21 ,..., an1 ),
b ( b1 , b 2 ,..., b n ),
a2 ( a12 , a22 ,..., an 2 ),
...................................
an ( a1n , a2 n ,..., ann ).

19.

Коэффициенты 1 , 2 ,..., n определим из
системы:
b1 a11 1 a12 2 a1n n ,
b a a a ,
2
21 1
22 2
2n n
bn an1 1 an 2 2 ann n .
Так как векторы a1 , a 2 ,..., a n линейно
независимы, то ранг матрицы коэффициентов
этой системы равен n (определитель матрицы
не равен нулю).
Поэтому система имеет единственное
решение, которое можно найти по правилу
Крамера.

20.

1.1
1.1
1.2
1.3
1.1
1.2
1.3
1.1

21.

п.3. Евклидово пространство.
Пусть
x ( x1 , x 2 ,..., x n ), y ( y1 , y 2 ,..., y n ).
Скалярным произведением векторов x и y
называется сумма произведений
соответствующих координат этих векторов:
n
x y x1 y1 x 2 y 2 ... x n y n x k y k .
k 1
Модулем вектора x называется квадратный
корень из скалярного произведения этого
вектора на себя:
n
| x | x x x1 x1 x 2 x 2 ... x n x n
x
k 1
2
k
.

22.

Косинус угла между векторами x и y
определяется по правилу:
x y
cos
.
| x | | y |
Евклидовым пространством называется nмерное векторное пространство, в котором
задано скалярное произведение.
Векторы x и y евклидова пространства
называются ортогональными, если:
x y 0.

23.

Система векторов a1 , a 2 ,..., a n
называется ортогональной, если:
Теорема 7.
a i a j 0 , i j.
Ортогональная система векторов линейно
независима.
Доказательство. Пусть
a1 , a 2 ,..., a n
─ ортогональная система.
Рассмотрим равенство
1 a1 2 a 2 ... n a n 0 , | a i

24.

1 a1 a i 2 a 2 a i ... i a i a i ... n a n a i 0 ,
i | ai | 0,
2
i 0 .
Значит,
i 2 ... n 0 ,
т.е. система линейно независима.

25.

Теорема 8.
Ортогональная система n векторов
a1 , a 2 ,..., a n
образует базис n-мерного пространства.
При этом координаты произвольного вектора
b ( b1 , b 2 ,..., b n )
в этом базисе можно найти по правилу:
ai b
bi
, i 1, 2,..., n.
2
| ai |

26.

Доказательство.
По определению базиса пространства и
теореме 7 система
a1 , a 2 ,..., a n
является базисом.
Тогда любой вектор можно представить в виде
b b1 a1 b 2 a 2 ... b n a n , | a i
a i b b1 a1 a i b 2 a 2 a i ... bi a i a i ... b n a n ,
2
bi | a i | a i b .
ai b
Значит,
bi
, i 1, 2,..., n.
2
| ai |

27.

Ортогональная система векторов называется
ортонормированной, если длина каждого
вектора этой системы равна 1.
Теорема 9.
Координаты произвольного вектора
b ( b1 , b 2 ,..., b n )
в ортонормированном базисе
a1 , a 2 ,..., a n
можно найти по правилу
bi a i b , i 1, 2 ,..., n .

28.

Определение.
Линейной оболочкой системы векторов
называется
множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов.
То есть:
.
Очевидно, что
и является подпространством.