Линейные операторы в линейных пространствах

1. Линейные операторы в линейных пространствах

• Определение и примеры ЛО
• ЛО и матрицы
• Выражение координат вектора - образа
через координаты вектора - прообраза

2. Линейные операторы в линейных пространствах

Пусть даны линейные пространства X и Y над
одним и тем же полем P. Говорят, что из
пространства
X в пространство
Y действует
оператор или, что то же самое, отображение ,
преобразование , функция , если каждому вектору
a из X по какому-либо правилу ставится в
соответствие определенный вектор a a a из Y .
Вектор a называют образом вектора a, вектор a прообразом вектора a при отображении .
Если пространства X и Y совпадают, то говорят, что
оператор действует в пространстве X n .

3. Линейные операторы в линейных пространствах

Оператор , действующий из X в Y, называют
линейным, если он сумму любых векторов a и b из
X переводит в сумму их образов a и b , а
произведение любого вектора a из X на любое
число из P - в произведение образа a вектора
a на то же число , т.е. если
a b a b a b , a a a

4. Свойства линейных операторов в линейных пространствах

1. линейный оператор переводит линейную
комбинацию векторов a1 , a2 ,..., ak из X в линейную
комбинацию образов a1 , a2 ,..., ak этих векторов с теми
же коэффициентами, т.е.
( 1a1 2 a2 ... k ak ) 1 a1 2 a2 ... k ak 1a1 2 a2 ... k ak
2. линейный оператор переводит нулевой вектор
0 из X в нулевой вектор 0 из Y ;
3. линейный оператор переводит вектор -a ,
противоположный вектору a в вектор a из Y.

5.

Пример
Показать, что преобразование Ах =