Подпространства. Базис и размерность

1. Линейная алгебра

Лекция 6
Подпространства. Базис и
размерность

2. План лекции

Определение линейного подпространства nмерного координатного пространства
Линейная оболочка набора векторов
Линейное пространство решений однородной
системы линейных уравнений
Базис и размерность
Ортонормированные базисы
2

3. Векторные подпространства. Определение

Подпространством линейного пространства Rnнад полем Rназывают
такое подмножество U R n , которое обладает свойствами:
а ) x, y U x y U ;
б) x U x U .R
Другими словами, подмножество U замкнуто относительно действий
«сложения» и «умножения» на скаляр, определённых в Rn.
Тривиальными подпространствами линейного пространства Rn
называются само Rn и пространство, состоящее из одного нулевого
вектора O.
3

4. Пример

1
2
U X ... , 1 , 2 ,.., n R : 1 n
...
n

5. Векторные подпространства. Способ задания

Подпространством, порождённым векторами
e1 , e 2, ...e k R n ,
называют подмножество U R n всех линейных комбинаций
этих векторов (линейная оболочка набора векторов), т.е.
U e1 , e2 ,..., ek x 1e1 2e2 ... k ek , i R
5

6. Пример

1 1 1 0
U 1 , 1 , 3 , 2 R 3
2 1 3 1

7. Векторные подпространства. Способ задания

Другой способ задания линейного подпространства в Rn может
служить задание набора ограничений, которым удовлетворяют
векторы подпространства. Например, в виде A X = O.
Теорема. Множество решений однородной системы уравнений
A X = O образует линейное подпространство пространства Rn .
7

8. Пример

x1 2 x2 3 x3 4 x4 0
4
V X R
x1 x2 x3 x4 0

9. Базис векторного пространства. Определение

Базис векторного пространства.
Q V Определение
Пусть (e , e ,..., e ) - произвольное множество векторов
1 2
s
линейного пространства Rn. Упорядоченная система векторов
называется базисом в Q, если :
а)
ek Q, k 1,2,..., s ;
б) система
(e1 , e2 ,..., es )
линейно независима;
в) для любого x Q найдутся такие числа
что
x1 , x2 ,..., xs ,
x x1e1 x2 e2 ... xs es
9

10. Размерность векторного пространства

Все базисы
M e1 , e2 , ... , en V
пространства V
имеют одинаковое число векторов, которое называется
размерностью векторного пространства V и обозначается
n dim( V )
Полагают, что размерность тривиального пространства
(состоящего из одного только нулевого вектора), равна нулю:
dim(O)= 0.
Размерность подпространства, заданного СЛУ, равна n –
rg(A).
10

11. Пример базиса координатного пространства

1
0
0
0
1
0
M e1 .. , e2 .. ,...., en ..
0
0
0
0
0
1
1
1
0
2
0
1
.. 1 .. 2 .. ... n
..
0
0
0
0
n
,
0
0
..
0
1
11

12. Теоремы о базисах

1. В любом ненулевом подпространстве
координатного пространства существует
базис.
2. Если размерность подпространства
координатного пространства равна k, то
любая линейно независимая система из k
векторов образует базис этого
подпространства.

13. Нахождение базиса подпространства

Для нахождения базиса в подпространстве, порожденном некоторой
совокупностью векторов, достаточно выбрать из системы образующих
векторов линейно независимую систему.
Например,
1 1 1 0
U 1 , 1 , 3 , 2 R 3
2 1 3 1
1 1
U 1 , 1 , dim( U ) 2
2 1
25.06.2018
Векторные пространства
13

14. Алгоритм построения базиса в

n
1.
2.
3.
U R
Столбцы, порождающие подпространство, записать в матрицу.
Элементарными преобразованиями над столбцами привести эту
матрицу к «ступенчатому» виду.
Ненулевые столбцы данной «ступенчатой» матрицы и будут
составлять базис исходного подпространства, а ранг матрицы будет
равен размерности этого подпространства.
U
1 1
1
2 2
2
.. , .. , ... , ..
.. ..
..
n n
n
1 1
2 2
.. ..
.. ..
n n
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..
1 0
1
c2 1
2
.. ..
..
cr d r
..
.. ..
n
cn d n
0 0
.. 0 0 0
.. ... .. ..
.. 1 0 0
.. .. .. ..
.. f n 0 0
.. 0
14

15. Нахождение базиса подпространства. Пример

1 1 1 0
U 1 , 1 , 3 , 2 R 3
2 1 3 1
1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
3
2 ~ 1 2 2 2 ~ 1 2 0
1 1
2 1 3 1 2 1 1 1 2 1 0
1 1
1 0
U 1 , 1 1 , 2
2 1
2 1
0
0
0
1 1
M U 1 , 1
2 1
15

16. Нахождение базиса подпространства. Пример

x1 2 x2 3x3 4 x4 0
4
V X R
x
x
x
x
0
1
2
3
4
6 5
x1 6 5
1 2 3 4 1 2 3 4
5 4
x2 5 4
~
X
x3
0
1
1 1 1 1 0 1 4 5
x
1 0
4
6 5
5 4
M V ,
0 1
1 0
16

17. Координаты вектора в базисе

Пусть даны M e , e ,..., e V – базис векторного пространства V
1
2
n
и вектор X из V.
Координатами вектора Х в этом базисе называют коэффициенты в
разложении:
X 1e1 2e2 ... nen V
17

18. Нахождение координат вектора в базисе.

Найти координаты вектора X в заданном базисе
R4
1
1
0 ,
1
2 1 0
4
1 1 1
4
4
,
,
,
X
R
4
3 0 1
1
1 0 1
1
2
1
0 4
1
1
1
1 4
1 2 3 4
0
3
0
1
4
1
1
0
1 1
4
1 2 2 3
4
2
3
4
1
3 2
4 4
1 2
4 1
4
1
2
1
0
4
1
1
1
1
X 1 2 ( 1) 2
4
0
3
0
1
1
1
1
0
1
18

19. Ортогональный базис

Определение.
Базис
e , e ,..., en
n-мерного пространства называется
ортогональным, если
1
2
(ei , e j ) 0, i j , i, j 1,2, ... , n
Другими словами,
ортогональным базисом называется базис, состоящий
из попарно ортогональных векторов.
19

20. Ортонормированный базис

Определение.
Базис
e , e ,..., en
n-мерного пространства называется
ортонормированным, если
1
2
0, i j
(ei , e j ) ij
, i, j 1,2, ... , n
1, i j
Другими словами,
ортонормированным базисом называется базис,
состоящий из попарно ортогональных векторов,
каждый из которых имеет длину, равную единице.
20

21. Построение ортогонального базиса

Построение ортогонального
Задача.
базиса
Проверить ортогональность системы векторов
1
2
e1 ,
1
3
e2
2
1
R4
3
1
4
и дополнить ее до ортогонального базиса в R .
1. Вычислим скалярное произведение (e1,e2):
e1, e2 1 2 2 1 1 3 3 1 0
e1 e2 .
2. Задача сводится к построению векторов e3 и e4 таких, что e3 e4 и
оба ортогональны
e1, e2 .
21

22. Построение ортогонального базиса (продолжение)

Для определения
e
3
x1
x
2
x
3
x
4
частное решение системы
достаточно найти какое-либо
e3 , e1 0
e3 , e2 0
x1 2 x2 x3 3 x4 0
.
2 x1 x2 3 x3 x4 0
1 2 1
2 1 3
3 1 2 1 3 1 2 1 3
~
~
1 0 5 5 5 0 1 1 1
Выберем частное решение
e
3
4
2
.
1
3
e
3
с1 с2
с1 с2
.
с1
с
2
22

23. Построение ортогонального базиса (продолжение)

x1
x
Для определения e4 2 достаточно найти какое-либо
x
решение системы
3
x
4
x1 2 x2 x3 3 x4 0
e4 , e1 0
2 x1 x2 3 x3 x4 0 ,
e4 , e2 0
4 x 2 x x 3 x 0
e , e 0
1
2
3
4
4 3
3 1 2 1
3 1 2 1
3
1 2 1 3 1 2 1
1 3 1 ~ 0 5 5 5 ~ 0 1 1 1 ~ 0 1 1 1
2
4 2 1 3 0 6 3 15 0 2 1 5 0 0 1 3
2с1
4с1
e
Общее решение , выберем
4
3с
1
с
1
2
4
.
3
1
23