Similar presentations:
Векторный и тензорный анализ
1.
ВИТИ НИЯУ МИФИВекторный и тензорный анализ
(Курс лекций)
Лекция № 1
кафедра математики
2015г.
2. построим график функции в евклидовом пространстве (x=-25..25,y=-25..25), сферической (x=-1..1,y=-1..1) и в цилиндрической
построим графикфункции в
евклидовом
пространстве (x=25..25,y=-25..25),
сферической (x=1..1,y=-1..1) и в
цилиндрической
системах координат
(x=-5..5,y=-5..5).
в евклидовом пространстве
3. В сферической системе координат
В цилиндрическойсистемe координат
В сферической
системе координат
4. построим график функции в евклидовом пространстве, сферической цилиндрической системах координат
в евклидовом пространстве5. В сферической системе координат
В цилиндрическойсистемe координат
В сферической
системе координат
6. векторы
Свободный вектор - это направленный отрезок,который можно переносить в пространстве
параллельно его первоначальному положению.
Обычно такие векторы обозначают буквами
латинского алфавита: а, b, ..., x, y,...
Для простоты можно считать; что все эти векторы
имеют общую начальную точку; которую мы
обозначим буквой О и назовем началам
координат.
7. Сложение векторов
Правило треугольникаПравило параллелограмма
8. Сложение более двух векторов
9. Разность векторов
10. Умножение вектора на число
Произведением вектора Х на действительное числоназывается вектор У такой, что:
1.Его длина
y x
2. Вектор У коллинеарен вектору Х и имеет с ним
одинаковое направление, если 0
и противоположное, если 0
11. Свойства операций
Сложение векторов и умножение вектора на числообладают следующими свойствами.
1. х + у = у + х
2. (х + у) + z = х + (у + z)
З. Существует нулевой вектор 0 такой, что х + 0 = х
4. Для каждого вектора х существует
противоположный вектор у = - х такой, что
х + у = О.
x y x y
5. 1 х = х
6.
7. ( ) x x x
8. ( x) ( ) x
12. Линейные пространства
множества элементов, на которых определены этиоперации будем называть линейными (или
векторными) пространствами и обозначать их
буквой L. Элементы таких пространств будем
называть векторами.
Рассмотрим несколько примеров.
а) Совокупность векторов, лежащих на одной
прямой, образует линейное пространство, так как
сложение и умножение таких векторов на
действительное число приводит нас снова к
векторам, лежащим на этой пряной, и свойства 1- 8
выполняются. Обозначим такое линейное
пространство через
L1
13.
2)Совокупность векторов, лежащих в однойплоскости, также оказывается замкнутой по
отношению к сложению и умножению на
действительное число; свойства 1 -8 для них
выполняются, и поэтому эта совокупность образует
линейное пространство, которое мы обозначим
через
L2
3) Совокупность всех векторов пространства также
является линейным пространством. Обозначим
его
L
через L
1
3
14.
Рассмотрим множество, элементом которого являетсяупорядоченная совокупность действительных чисел:
х = x 1 , x2 ,...xn
Определим сложение элементов х и y = y1 , y 2 ,... y n
и умножение элемента х на действительное число
с помощью равенств х y = x1 y1 , x2 y2 ,...xn yn
х = x 1 , x2 ,... xn
Такое множество элементов образует линейное пространство,
так как определенные в нем операции сложения и умножения
на число обладают, всеми восемью указанными выше
свойствами этих операций. Например, нулевым вектором в
этом пространстве будет вектор 0 = {0,0,....0}. а вектором -х вектор - x 1 , x2 ,.. .xn
Будем обозначать это пространство через L
n
15. Подпространства
Подпространством линейного пространстваназывается непустое (т. е. содержащее хотя 6ы один
вектор) подмножество L' векторов из L, которые
сами образуют линейное пространство относительно
уже введенных в операций сложения и умножения
на число, т. е. такое подмножество L' , для которого
из того, что,
x L' y L'
следует, что x y L'
x L'
Простейшими подпространствами пространства
являются подпространство, состоящее из одного
нулевого элемента (нулевое подпространство), и все
пространство . Эти подпространства называются
несобственными.
16.
Суммой двух линейных подпространств L'и L"
линейного пространства L
называется
совокупность M L' + L"
всех векторов из L, каждый из которых
представляется в виде х = х' + x' '
где, x L' x" L"
17.
Пересечением двух линейных подпространствL' и L" линейного пространства L
называется
совокупность N = L' L"
всех векторов из L, каждый из которых
принадлежит как L' , так и L"
18. Линейная зависимость векторов
Пусть а, b, ..., е векторы линейноговекторного пространства L и , ,...,
— действительные числа.
Вектор x a b ... e
называется линейной комбинацией векторов
а, b, ..., е, а числа -коэффициентами этой
линейной комбинации.
Если ... 0 , то х = О.
19.
Но может быть и так, что существует линейнаякомбинация векторов а, b, ..., е, у которой не
все коэффициенты равны нулю, но которая
тем не менее равна нулю. В этом случае
векторы а, b, ..., е называются линейно
зависимыми. Иначе говоря, эти векторы будут
линейно зависимыми, если найдутся такие
действительные числа , ,...,
не все равные нулю, что a b ... e 0
Если же это равенство выполняется только
тогда, когда все числа , ,..., равны нулю,
то векторы а, b, ..., е называются линейно
независимыми.
20. свойства линейно зависимых векторов
а) Если векторы линейно зависимы, то один из них можетбыть представлен в виде линейной комбинации остальных,
и, обратно, если один из векторов есть линейная
комбинация остальных, то векторы линейно зависимы.
б) Если некоторые из векторов а, b, с, ..., е линейно
зависимы, то и вся эта система векторов линейно
зависима.
в) Если среди векторов а, b, с, ..., е имеется хотя бы один
нулевой, то эти векторы линейно зависимы.
Пусть, например, а = О. Тогда
a 0 b ... 0 e 0, 0
21. примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов пространства
L3а) Нулевой вектор 0 является линейно зависимым, так как
0 = 0 при любом 0
б) Любой вектор а 0 будет линейно независимым, так
как а = 0 только при а=0
в) Два коллинеарных вектора а и b линейно зависимы.
г) Два неколлинеарных вектора линейно независимы.
д) Три компланарных вектора линейно зависимы.
е) Три некомпланарных вектора всегда линейно независимы.
ж) Любые четыре вектора пространства линейно зависимы.
22. Размерность и базис линейного пространства
Размерностью линейного пространства называетсянаибольшее число имеющихся в нем линейно
независимых векторов.
Например, на прямой существует один линейно
независимый вектор, а любые два вектора линейно
зависимы. Следовательно, прямая представляет
собой одномерное линейное пространство. Мы
обозначили его L1 . Здесь нижний индекс как раз
означает размерность пространства.
23.
• На плоскости существуют два линейнонезависимых вектора, но любые три вектора
линейно зависимы. Поэтому плоскость
является двумерным пространством и
обозначается через L
2
В пространстве существуют три линейно
независимых вектора, а любые четыре
вектора линейно зависимы. Поэтому
размерность пространства равна трем, и мы
обозначили его через L3
24.
В линейном пространстве, элементамикоторого являются векторы x x1 , x2 ,..., xn
n линейно независимых векторов e1 , e2 ,..., en
Но любые n + 1 векторов этого пространства
будут линейно зависимыми. Следовательно,
размерность этого пространства равна n, и
обозначается оно поэтому через L
n
25.
Любой вектор х может быть, и притомединственным образом, представлен в виде
линейной комбинации линейно независимых
векторов e1 , e2 ,..., en
Совокупность этих векторов называется
базисом n-мерного линейного пространства, а
числа - координатами вектора x в этом
базисе. Любые n линейно независимых
векторов могут быть приняты за базис
пространства Ln
26.
В частности, на прямой любой вектор х может бытьпредставлен в виде x x1e1
где e1 - произвольный отличный от нуля вектор этой
прямой.
На плоскости вектор х может быть представлен в
виде x x e x e
1 1
2 2
где e1 и e2 — любые два неколлинеарных вектора
этой плоскости.
В трехмерном пространстве любой вектор х может
быть представлен в виде
x x1e1 x2 e2 x3e3
где e1 e2 e3
-любые три некомпланарных
вектора пространства.
27.
Разложение вектора х в n-мерномпространстве кратко может быть записано в
виде
n
x xk ek
k 1