Элементы функционального анализа

1. Элементы функционального анализа

Лекция № 22
1

2. Линейные пространства

Определение: Множество Е элементов x, y, z, ... называется линейным пространством, если в нем определены
две операции:
I. Каждым двум элементам множества Е поставлен в
соответствии определенный элемент Е, называемый
их суммой
x, y E x y E
II. Каждому элементу Е и каждому числу (скаляру)
поставлен в соответствие определенный элемент Е произведение элемента на число
x, E , R x E
2

3. Свойства(аксиомы) операций

1) x y y x
2) x ( y z ) ( x y ) z
3) 0 E : x 0 x
4) ( ) x ( ) x
5) 1 x x, 0 x 0
6) ( x y ) x y
7) ( ) x x x
Замечание:
, R или , C
3

4. Следствия аксиом

1. Во всяком линейном пространстве Е для всякого
элемента х можно определить противоположный
элемент (-х). (А значит и операцию вычитания y - x )
x ( 1) x x ( x) 1 x ( 1) x 0 x 0
2. Нулевой элемент единственен
01 02 01, 02 01 02 01 02
3. Если
x x, где x 0
4. Если
x y и 0, x y
4

5. Примеры линейных пространств

1. Множество векторов в трехмерном пространстве (на
плоскости или прямой)
2. Множество Rm - всевозможных упорядоченных
наборов (столбцов) из m действительных чисел
Пусть D - некоторое множество, пусть каждому t
поставлен в соответствие элемент x(t) линейного пространства Е. Введем операции:
( x y )(t ) x(t ) y (t )
( x)(t ) x(t )
5

6.

3. Пространство всех многочленов степени, не превышающей k:
x(t ) x0 x1t ... x t
k k
x0 , x1 ,..., xk
- произвольные вещественные числа
t R ( , )
4. Пространство непрерывных функций
C[ a , b ]
5. Пространство k - раз непрерывно дифференцируемых
функций
6. Множество Mmn всех прямоугольных матриц
6

7. Линейная зависимость и независимость элементов

Линейно зависимые элементы
l
k 1
l
k
xk 0, где не все k 0 ( k 0)
k 1
Задача1: Найти к, при котором вектора (1,2,3), (1,1,0) и
(к,1,1) линейно зависимы.
Задача2: Доказать, что в С[0,p] функции 1, cos(t), cos2(t) –
линейно независимы, а функции 1, cos(2t), cos2(t) – линейно зависимы.
7

8. Конечномерные и бесконечномерные пространства

Определение: Линейное пространство называется
m-мерным, если в нем существует m линейно независимых
векторов, а всякие m+1 векторов линейно зависимы.
Определение: Набор любых m линейно независимых
векторов в m-мерном линейном пространстве Е называется базисом в Е.
Задача: Любой вектор m-мерного пространства может быть
представлен в виде линейной комбинации базисных векторов – разложение вектора по базису.
Задача: Разложение вектора х по базису - единственно
8

9. Бесконечномерное пространство

Определение: Линейное пространство Е называется
бесконечномерным, если для каждого натурального n в
нем существует n линейно независимых элементов.
Задача: Пространство С[a,b] – бесконечномерно
Линейное многообразие
Определение: Множество М в линейном пространстве Е
называется линейным многообразием (линейным
множеством), если
x, y M , , R x y M
Примеры:
9

10. Выпуклые множества в линейных пространствах

Определение1: Отрезком, соединяющим точки х1 и х2
линейного пространства Е, называется совокупность всех
точек вида
x (1 t ) x1 tx2 , t 0,1].
Определение1: Множество W в линейном пространстве
Е называется выпуклым, если для любых двух точек из
множества в нем содержится и отрезок их соединяющий.
Замечание: Всякое линейное многообразие является
выпуклым множеством
10

11. Выпуклые функционалы

Пусть на линейном пространстве Е задана функция, ставящая в соответствие каждому элементу х число р(х).
Р(х) – функционал на Е.
Определение: Вещественный функционал р(х) называется
выпуклым, если
x1 , x2 E , t 0,1]
p((1 t ) x1 tx2 ) (1 t ) p( x1 ) tp( x2 )
Теорема: Если p(x) – выпуклый функционал, то
- выпукло
множество Q x E : p( x x0 ) c
p((1 t ) x1 tx2 x0 ) p((1 t )( x1 x0 ) t ( x2 x0 ))
(1 t ) p( x1 x0 ) tp( x2 x0 )
(1 t )c tc c
11

12. Нормированные пространства

Определение: Линейное пространство Е называется
нормированным пространством, если каждому его
элементу поставлено в соответствие неотрицательное число
||x|| (норма х) так, что выполнены 3 аксиомы:
1) x 0;
x 0 x 0
2) x x ;
3) x y x y
Следствие:
x y
- невырожденность
- однородность
- неравенство
треугольника
x y
12

13. Расстояние в нормированном пространстве

( x, y) x y
Из свойств нормы следуют следующие свойства расстояния:
) ( x, y ) 0
) ( x, y ) ( y , x )
) ( x, y ) ( x , z ) ( z , y )
Окрестности в нормированном пространстве:
Sr ( x0 ) x E : x x0 r
Sr ( x0 ) x E : x x0 r
r ( x0 ) x E : x x0 r
13

14. Неравенства Гельдера и Миньковского

1
p
m
m
p
q
k k k k
k 1
k 1
k 1
m
1
p
1
p
1
q
m
m
m
p
p
q
k k k k
k 1
k 1
k 1
1
q
1 1
1
p q
14

15. Примеры нормированных пространств

1. В пространстве Rm введем норму:
2
x c i
i 1
m
1
2
Полученное нормированное
пространство называют
евклидовым Еm
Как выглядят окрестности при m = 1, 2, 3?
2. В пространстве Rm введем норму:
Полученное нормированное
пространство называют cm
i
k
1 i k
x max
Как выглядят окрестности при m = 1, 2, 3?
15

16. Примеры нормированных пространств

3. В пространстве Rm введем норму:
p
i
i 1
m
x
p
1
p
Полученное нормированное
(m )
пространство называют l p
4. Иногда используют норму
n
x 1 xi
i 1
Замечание: Норма 3 является самой общей
16

17. Последовательности и пределы в нормированном пространстве

Пусть {xn} – последовательность элементов в
нормированном пространстве Е.
Определение: Элемент х0 называется пределом последовательности {xn}, если
xn x0 0 при n
17

18. Свойства сходящихся последовательностей

2.
3.
В любой окрестности точки х0 находятся все члены
последовательности {xn} за исключением, может
быть их конечного числа;
Предел х0 единственен;
Если n 0 n xn 0 x0
4.
Если x n x0 , yn y0 xn yn x0 y0
5.
Если
1.
x n x0 xn x0
Пример1: сm
xn x0 c max ni 0i 0 ni 0i
i
Сходимость покоординатная!
18

19. Пример2: Em

xn x0
1
2
c
m
2
ni 0i 0
i 1
Так как для любого х справедливы неравенства
1
2
m 2
x k max i i x c
i
i 1
xn x0
k
xn x0 c 0
Сходимость также покоординатная
19

20. Евклидовы пространства

Определение: Вещественное линейное пространство
называется евклидовым, если каждой паре его элементов
х и у поставлено в соответствие вещественное число,
(обычно обозначаемое (х,у) ) называемое скалярным
произведением, так что выполняются аксиомы:
1. ( x, x) 0, ( x, x) 0 x 0
2. x, y y, x ;
3. x, y x, y ;
4. x y, z x, z y, z .
20

21. Нормированное евклидово пространство

Всякое евклидово пространство можно превратить в
нормированное:
x, x
x
Аксиомы 1) и 2) выполняются очевидно. Докажем
аксиому треугольника.
( x y, x y ) 0
x, x 2 x, y y, y 0
2
x, y x, x y, y 0
x, y x y
2
21

22. Аксиома треугольника

x y x y, x y x, x 2 x, y y, y
2
x 2 x y y x y
2
2
2
Ортогональность и ортонормированность элементов
Если
xk , xl 0, k , l 1,2,..., m; k l
То система векторов х1,х2,….xm – называется ортогональной системой.
Теорема: Любая ортогональная система линейно
независима
22

23. Примеры пространств со скалярным произведением

1. Em
2. Пространство непрерывных функций С[a,b]
b
x, y x(t ) y(t )dt
a
Будем рассматривать системы, состоящие из
бесконечного числа элементов пространства Е со скалярным произведением. Введем понятие линейно
независимой, ортогональной и ортонормированной систем:
xk k 1 , ek , f k
23

24. Процесс ортогонализации Шмидта

Теорема: По любой линейно независимой системе
можно построить ортогональную (ортонормированную)
систему.
Пусть e1 = x1. Ищем e2 в виде:
x2 , e1
e2 x2 21e1 (e2 , e1 ) 0 21
e1 , e1
xk , el
ek xk ki ei kl
el , el
i 1
k 1
24

25. Задача:

Построить систему ортогональных многочленов в пространстве L2[-1;1]
Обычно используют систему ортогональных многочленов
Лежандра
]
k
1 dk 2
pk (t ) k
t 1 , k 1,2,...,
k
2 k! dt
25

26. Линейные операторы в конечномерных линейных пространствах

n
yi aik xk
- линейное преобразование
векторов
k 1
Линейное преобразование векторов полностью
определяется матрицей A (aik ) n n
Собственные числа и собственные вектора оператора:
Ax x
1 , 2 ,..., n
A E 0
- спектр оператора (матрицы)
( A) max i
1 i n
- спектральный радиус
26

27. Норма линейного оператора

A max
Ax
x 0
x
В зависимости от принятой нормы для векторов можно
получить соответствующую матричную норму:
n
A 1 max aij
1 j n
i 1
n
A max aij
1 i n
j 1
A 2 ( AT A)
]
1
2
A2
Для
( A) симметричных
матриц
27