Лекция №2
Векторы. Линейные операции над векторами.
Векторы. Линейные операции над векторами.
Векторы. Линейные операции над векторами.
Векторы. Линейные операции над векторами.
Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение векторов.
Свойства скалярного произведения векторов.
Векторное произведение.
Векторное произведение.
Свойства векторного произведения.
Смешанное произведение векторов.
Свойства смешанного произведения.
Примеры.
Примеры.
Примеры.
Примеры.
Примеры.
Аналитическая геометрия на плоскости.
Аналитическая геометрия на плоскости.
Аналитическая геометрия на плоскости.
Аналитическая геометрия на плоскости.
Аналитическая геометрия на плоскости.
Примеры.
Примеры.
Примеры.
Примеры.
Примеры.
Примеры.
Примеры.
Примеры.
Примеры.
Примеры.
Примеры.
Примеры.
458.50K
Category: mathematicsmathematics

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

1. Лекция №2

1
Лекция №2
Элементы векторной алгебры и
аналитической геометрии:
Векторы. Линейные операции над векторами. Базис
на плоскости и в пространстве. Координаты вектора.
Скалярное произведение. Векторное произведение.
Смешанное произведение векторов. Аналитическая
геометрия на плоскости.

2. Векторы. Линейные операции над векторами.

2 Векторы. Линейные операции над
векторами.
Вектор – направленный отрезок.
Обозначение a AB .
Длина вектора – длина отрезка АВ.
Обозначение длины
a AB
или a a .
Коллинеарные векторы – векторы, параллельные одной
прямой.
Обозначения:
a b – векторы сонаправлены;
a b – векторы противоположно направлены;
– в общем случае (без указания взаимной
a || b
направленности).

3. Векторы. Линейные операции над векторами.

3 Векторы. Линейные операции над
векторами.
Равные векторы – векторы, удовлетворяющие
условиям :
1) имеют одинаковую длину;
2) коллинеарны;
3) сонаправлены.
Компланарные векторы — векторы, параллельные
одной плоскости.

4. Векторы. Линейные операции над векторами.

4 Векторы. Линейные операции над
векторами.
Линейными операциями над векторами
называются операции сложения векторов и
умножения вектора на число.
Сумма векторов a и b определяется по правилу
треугольника или параллелограмма.
Обозначение суммы c a b
или AC AB BC .

5. Векторы. Линейные операции над векторами.

5 Векторы. Линейные операции над
векторами.
Произведением вектора ā на число λ называется
вектор b , удовлетворяющий следующим
условиям:
1) b a ;
b aпри λ<0 .
2) b a при λ>0 и
Обозначение b a .

6. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора

6 Базис на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора
Два неколлинеарных вектора a и b образуют
базис на плоскости.
Три некомпланарных вектора a , b и c
образуют базис в пространстве.
Ортонормированный (декартовый) базис –
это базис составляющие векторы которого
взаимно перпендикулярны и имеют
единичную длину.
Будем обозначать декартовый базис на
плоскости -i ,j ; в пространстве -i ,j k,

7. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора

7 Базис на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора
Разложить вектор по базису – значит представить его
в виде линейной комбинации базисных
векторов, т.е. в форме
d a b
- на плоскости,
d a b c
- в протранстве.
Числа α, β, γ, (коэффициенты линейной
комбинации)
называются
координатами
вектора в данном базисе. Вектор может быть
задан в координатной форме: d ; – на
плоскости; d ; ; – в пространстве.

8. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора

8 Базис на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора
Линейным операциям над векторами
a a1; a2 ; a3 и b b1 ; b2 ; b3
1.
2.
3.
a b a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3
a b a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3
a a1; a2 ; a3
Если заданы координаты начала и конца вектора
и
B y1; y2 ; y3
A x ;x ;x
1
2
3
тогда координаты вектора вычисляются:
a AB y1 x1; y2 x2 ; y3 x3

9. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора

9 Базис на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора
Условия коллинеарности и компланарности
векторов в координатной форме выглядит
следующим образом:
1. Два вектора коллинеарны, если
a || b
a b
a1 a2 a3
b1 b2 b3
2. Три вектора компланарны, если
a1
a2
a3
b1
c1
b2
c2
b3 0
c3

10. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора

10Базис на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора
Пример. Даны четыре вектора:
a1 1; 2; 0 , a2 1; 2;1 , a3 2;1; 1 , b 3; 2; 7
Показать, что три первых вектора образуют базис
в трехмерном пространстве и разложить
четвертый вектор по этому базису.
1 2 0
1 2 1
2 1 1
A11
2
1
2 ( 1) 1 1 3
1 1
1
31
A12 ( 1)
1(1 ( 1) 1 2) 3
2 1
1 ( 3) 2 3 9
Δ≠0, а значит это базис.

11. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора

11Базис на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора
b 3; 2; 7
Разложим четвертый вектор по этому базису:
b x a1 y a2 z a3
Запишем в координатном виде:
3
1
1
2
2 x 2 y 2 z 1
7
0
1
1

12. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора

12Базис на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора
Запишем систему уравнений:
3 x y 2 z
2 2x 2 y z
7
y z
1 1 2
A 2 2 1
0 1 1
x y 2z 3
2 x 2 y z 2
y z 7
3
f 2
7

13. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора

13Базис на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора
Осталось решить систему из 3-х уравнений на
3-и неизвестные:
1 1 2
2 2 1
0 1 1
3 1 1 2
2 0 4 5
7 0 1 1
3
8
7
1 1 2
0 1 1
0 4 5
3 1 1 2
7 0 1 1
8 0 0 9
3
7
36

14. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора

14Базис на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора
x y 2 z 3
y z 7
9 z 36
x y 2 z 3
y 4 7
z 4
x 2
y 3
z 4
b 2; 3;4
x ( 3) 2 4 3
y 3
z 4

15. Скалярное произведение векторов.

15
Скалярное произведение
векторов.
Скалярным произведением векторов называют сумму
произведений их координат:
a·b=a1·b1+a2·b2+a3·b3
Скалярным
произведением
векторов
называют
произведение длин этих векторов на косинус угла между
ними:
a·b=|a|·|b|·cos(α)
Скалярное произведение векторов можно еще представить:
где
проекция вектора а на вектор b.

16. Скалярное произведение векторов.

16
Скалярное произведение
векторов.
С помощью скалярного произведения можно вычислить:
Длину вектора:
a a a a
2
1
2
2
2
3
Расстояние между двумя точками:
AB AB
xB xA 2 yB y A 2 zB z A 2
Косинус угла между двумя векторами:
ax bx a y by az bz
a b
cos( )
a b
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2

17. Скалярное произведение векторов.

17
Скалярное произведение
векторов.
Условие
перпендикулярности
векторов:
a b
2
(ортогональности)
n cos( ) 0
a b 0 a1 b1 a2 b2 a3 b3 0, a 0, b 0 .

18. Свойства скалярного произведения векторов.

18
Свойства скалярного
произведения векторов.
1. a b b a ;
2. a b c a b a c ;
3.
4.
a b c a c b c ;
a b a b a b ;
5. a a a ;
2
6. a b 0 a b
a 0, b 0
(критерий ортогональности векторов);
7. Работа силы F , действующей на материальную точку
при перемещении её из начала в конец вектора s
вычисляется по формуле A F s (физический смысл).

19. Векторное произведение.

19
Векторное произведение.
Векторным произведением двух векторов a и b
называется вектор c такой, что:
1. c a b sin - модуль вектора с равен
площади параллелограмма, построенного на
векторах a и b;
2. c a , c b ;
3. Тройка векторов a , b , c правая.

20. Векторное произведение.

20
Векторное произведение.
Обозначение:
Координаты вектора
i
c ax
j
ay
bx
by
c c , c , c
c a,b , c a b
k
ay
az
by
bz
x
y
z
вычисляются по формуле:
az
ax
i
bz
bx
ax
az
j
bx
bz
ay
k.
by

21. Свойства векторного произведения.

21
Свойства векторного
произведения.
1. a b b a ;
2. a b c a b a c ;
3.
4.
a b c a c b c ;
a b a b a b ;
5. a a 0;
6. a b 0 a || b
критерий коллинеарности векторов.

22. Смешанное произведение векторов.

22
Смешанное произведение
векторов.
a b c
Смешанным произведением векторов
a , b , c
или
называется число:
ax
a b c a b c a b c bx
ay
by
az
bz ,
cx
cy
cz
Абсолютная величина смешанного произведения векторов
a , b , c равна объему параллелепипеда построенного
на этих векторах.
ax a y az
V a , b , c bx
by
bz .
cx
cy
cz

23. Свойства смешанного произведения.

23
1.
2.
3.
Свойства смешанного
произведения.
a , b , c b , a , c , a , b , c a , c , b ;
a , b , c a , b , c a , b , c a , b , c ;
a , b , c 0 a , b , c - компланарны.

24. Примеры.

24
Примеры.
Найти угол между векторами p и q, если p=2m+3n, q=m+2n,
|m|=2, |n|=3, а угол между векторами m и n равен π/3.
Напомним, что:
вычислим
p q
p q
cos( pˆ q)
p q
p, q
и
p q 2m 3n m 2n 2m m 3n m 4m n 6n n
2 m 7m n 6 n 2 4 7m n 6 9 7 m n 62
2
2
1
m n m n cos( ) 2 3 3
3
2

25. Примеры.

25
Примеры.
p q 7m n 62 7 3 62 83
Теперь вычислим длину наших векторов:
p
2m 3n 2m 3n
4 m 12m n 9 n
2
2
4 4 12 3 9 9 16 36 81 133
q
m 2n m 2n
m 4m n 4 n
2
4 4 3 4 9 4 12 36 52
2

26. Примеры.

26
Примеры.
В результате получим:
p 133
q 52
p q 83
83
83
83
cos( pqˆ )
0,998
133 52
6916 83,16
( pq) arccos( 0,998) 3,6
0
50

27. Примеры.

27
Примеры.
Найти векторное произведение векторов
a 3,2, 1
b 1,0,2
i
j k
2 1
3 1
3 2
c a b 3 2 1
i
j
k
0 2
1
2
1 0
1 0 2
4i 5 j 2k
c 4,5, 2

28. Примеры.

28
Примеры.
Вычислить смешанное произведение векторов
a 3,2, 1 b 1,0,2 c 4,5, 2
3 2
a b c 1
4
0
1
2 1 1
5 2
2
1
5 2
( 1) 2
1 ( 4 5) 2 ( 15 8) 1 2 ( 23) 45
3 2
4
5

29. Аналитическая геометрия на плоскости.

29 Аналитическая геометрия на
плоскости.
1. Расстояние d между точками M1(x1,y1) и M2(x2,y2)
на плоскости:
2
2
d
x2 x1 y2 y1 .
2. Деление отрезка в заданном отношении λ. Даны
точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2). Тогда координаты точки
N(x,y), делящей отрезок М1М2 в отношении M 1 N
NM 2
определяется по формуле:
При λ=1:
x1 x2
x
,
1
y1 y2
y
1
x1 x2
x
,
2
y1 y2
y
2

30. Аналитическая геометрия на плоскости.

30 Аналитическая геометрия на
плоскости.
3. Основные виды уравнений прямой на плоскости:
а) общее уравнение:
l : Ax By C 0,
n A, B - нормальный вектор прямой, n l;
б) уравнение прямой с угловым коэффициентом
l : y kx b, k - угловой коэффициент, равный
тангенсу угла α, который образует прямая с
положительным направлением оси Ox, b – ордината
точки пересечения прямой с осью Oy;

31. Аналитическая геометрия на плоскости.

31 Аналитическая геометрия на
плоскости.
x y
l:
1,
в) уравнение прямой в отрезках
a b
где а – абсцисса, b – ордината точек пересечения
прямой с осями Ох и Оу соответственно;
г) уравнение прямой, проходящей через две точки
M1(x1,y1) и M2(x2,y2)
x x
y y
l:
1
x2 x1
1
y2 y1
;
д) уравнение прямой, проходящей через данную
точку M0(x0,y0) в данном направлении
l : y y0 k x x0 , k - угловой коэффициент.

32. Аналитическая геометрия на плоскости.

32 Аналитическая геометрия на
плоскости.
4. Взаимное расположение двух прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2:
а) угол между прямыми:
k 2 k1
tg
,
1 k1 k 2
где k1 и k2 – угловые коэффициенты этих прямых;
– угол, на который нужно повернуть первую
прямую против часовой стрелки до совпадения со
второй прямой;

33. Аналитическая геометрия на плоскости.

33 Аналитическая геометрия на
плоскости.
б) признак параллельности двух прямых: k1=k2;
1
в) признак перпендикулярности двух прямых: k 2 .
k1
5. Расстояние от точки M0(x0,y0) до прямой
Ax+By+C=0 находиться по формуле:
d
Ax0 By 0 C
A2 B 2
.

34. Примеры.

34
Примеры.
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–2,1), В(2,9),
С(-7,8). Hайти: 1) систему неравенств, определяющих
множество точек треугольника АВС; 2) угол С в радианах с
точностью до двух знаков; 3) уравнение высоты AD и ее
длину; 4) уравнение медианы СE и координаты точки F
пересечения этой медианы с высотой AD; 5) уравнение
окружности, для которой высота AD есть диаметр.
Решение:
1) Каждая
прямая
разбивает
плоскость
на
две
полуплоскости: под прямой и над прямой – это
обозначается в уравнении прямой знаком неравенства.
Построим прямые проходящие через точки А, В и С по
x x1
y y1
формуле:
l:
;
x2 x1
y2 y1

35. Примеры.

35
Примеры.
А(–2,1), В(2,9), С(-7,8)
x 2 y 1
,
2 2 9 1
y 2x 5
x 2
y 1
,
7 2 8 1
7
14
y x 1,
5
5
l:
x x1
y y1
;
x2 x1 y2 y1
1
1
( x 2) ( y 1), 2( x 2) y 1
4
8
1
1
7
( x 2) ( y 1), ( x 2) y 1
5
7
5
7
9
y x
5
5

36. Примеры.

36
Примеры.
А(–2,1), В(2,9), С(-7,8)
y 2x 5
x 2
y 9
,
7 2 8 9
1
2
y x 9,
9
9
l:
x x1
y y1
;
x2 x1 y2 y1
7
9
y x
5
5
1
( x 2) 1( y 9),
9
1
79
y x
9
9
1
( x 2) y 9,
9

37. Примеры.

37
Примеры.
А(–2,1), В(2,9), С(-7,8)
y 2x 5
7
9
y x
5
5
1
79
y x
9
9
y 2x 5
7
9
y x
5
5
1
79
y x
9
9

38. Примеры.

38
Примеры.
2) угол С в радианах с точностью до двух знаков;
А(–2,1), В(2,9), С(-7,8)
Уравнения АС и ВС имеют вид:
7
9
1
79
y x
y x
9
9
5
5
Соответственно коэффициенты КА=-7/5, КВ=1/9.
k 2 k1
Мы знаем, что
tg
,
1 k1 k 2
7 1
63 5
68 38
68 45
34
5
9
45
ˆ
tgC
:
7
45 45
45 38
19
7 1
1
1
45
5 9

39. Примеры.

39
Примеры.
34
34
ˆ
ˆ
tgC , C arctg 2,08
19
19
3) уравнение высоты AD и ее длину;
Вспомним признак перпендикулярности прямых: k 1 .
k1
1
В нашем случае
k1 ,
9
Т.е. К=-9, тогда уравнение прямой будет записываться по
формуле:
А(–2,1)
y y0 k x x0
y 1 9( x 2)
AD : y 9 x 17

40. Примеры.

40
Примеры.
Расстояние от точки до прямой вычисляется
d
Ax0 By 0 C
A2 B 2
А(–2,1)
1
79
y x
9
9
1
79
x y
0
9
9
.
1
79
2 9 79
( 2) 1 1
9 9 9 9
AD 9
2
1 81
1
2
1
81 81
9
68
68
9
AD
7,51
82
82
9

41. Примеры.

41
Примеры.
4) уравнение медианы СE и координаты точки F пересечения
этой медианы с высотой AD.
Чтобы найти уравнение медианы СЕ, определим сначала
координаты точки Е, которая является серединой стороны
АВ.
x1 x2
x
,
2
y1 y2
y
2
А(–2,1), В(2,9)
2 2
x
0,
2
1 9
y
5
2

42. Примеры.

42
Примеры.
С(-7,8), Е(0,5)
l:
x x1
y y1
;
x2 x1 y2 y1
x 7 y 8 1
1
CE :
;
( x 7) ( y 8);
0 7 5 8 7
3
3
3
CE : y 8 ( x 7); y 8 x 3;
7
7
3
CE : y x 5.
7

43. Примеры.

43
Примеры.
Для нахождения координат точки пересечения медианы и
высоты, решим систем уравнений составленную их
уравнения медианы и уравнения высоты:
3
CE : y x 5 AD : y 9 x 17
7
3
y x 5
,
7
y 9 x 17
3
9 x 17 x 5 63 x 119 3 x 35
,
,
7
y 9 x 17
y 9 x 17
77
60 x 154 x 30
,
y 9 x 17 y 61
10

44. Примеры.

44
Примеры.
5) уравнение окружности, для которой высота AD
68
34
есть диаметр. AD 68
R
82
AD : y 9 x 17
2 82
82
1
79
BC : y x
9
9
79
1
9 x 17 x 79 81x 153
y 9 x 17 x
9
9
1
79 ,
,
y 1 x 79 ,
y x
1
79
y x
9
9
9
9
9
9
116
116
x
x
82 x 232
41
41
,
y 1 x 79 ,
116 3239
347
y
y
9
9
41 9
41

45. Примеры.

45
Примеры.
Осталось записать уравнение окружности
( x x0 ) ( y y0 ) R
2
116
x0 41
347
y0
41
2
2
34
R
82
2
2
116
347
578
x
y
41
41
41
English     Русский Rules