Элементы векторной алгебры

1. Элементы векторной алгебры

Кафедра высшей
математики
ТПУ
Лектор:
доцент
Тарбокова Татьяна
Васильевна
1

2. § 6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется направленный
отрезок (т.е. отрезок, у которого одна из
ограничивающих его точек принимается за начало, а
вторая – за конец).
Обозначают: AB (где A – начало вектора, а B – его конец),
a , b и т. д.
Изображают:
a
A
B
2

3.

Расстояние между точками начала и конца вектора
называется длиной (или модулем) вектора.
Обозначают: AB
или a .
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется
нулевым. Обозначают: 0 .
Нулевой вектор не имеет определенного направления
и имеет длину, равную нулю.
Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых,
называются коллинеарными (параллельными).
Записывают: a
b – если векторыa bи
коллинеарные, и
a b – если a иb
неколлинеарные.
3

4.

Коллинеарные векторы обозначают: a b – если векторы
a и b сонаправленные,
и a b – если a , b противоположно направленные.
a
d
b
B
A
a b
N
D
P
c
C
AB CD
c
d
K
M
PK
MN
4

5.

Два вектора a и b называются равными, если они
сонаправлены и имеют одинаковую длину.
Записывают: a b .
Все нулевые векторы считаются равными.
Векторы a и b , лежащие на перпендикулярных прямых,
называются перпендикулярными (ортогональными).
Записывают: a b .
Три вектора, лежащие в одной или в параллельных плоскостях,
называются компланарными.
5

6. 2. Линейные операции на множестве векторов

1) Умножение на число;
2) Сложение векторов
Произведением вектора a 0 на число 0 называется
вектор, длина которого равна
a , а направление
совпадает с направлением вектора a при 0 и
противоположно ему при 0 .
Если a 0 или 0 , то их произведение полагают
равным 0 .
Обозначают: a .
Частный случай: произведение ( 1) a .
Вектор ( 1) a называют противоположным вектору a и
обозначают a .
Критерий коллинеарности векторов
Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только
6
тогда, когда a b , для некоторого числа 0 .

7.

Сумма векторов (правило треугольника). Пусть даны два
вектора a и b . Возьмем произвольную точку C и
построим последовательно векторы CA a и AB b .
Вектор CB , соединяющий начало первого и конец второго
построенных векторов, называется суммой векторов a и
A
b и обозначается a b . a
b
C
B
a b
(правило параллелограмма). Пусть даны два вектора a и b .
Возьмем произвольную точку
и построим векторы
C
CA a и CD b . Суммой векторов a и b будет
вектор CB , имеющий начало в точке C и совпадающий с
диагональю параллелограмма, построенного на векторах
B
CA a и CD b .
A
a b
b
a
D
C
7

8.

Частный случай: сумма a ( b ) .
a
a b
b
Сумму a ( b ) называют разностью векторов a и b и
обозначают a b .
8

9. СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ НАД ВЕКТОРАМИ

1) a b b a (коммутативность сложения векторов);
2) (a b) c a (b c) (ассоциативность сложения
векторов);
3) a 0 a ;
4) a ( a ) 0 ;
5) ( a ) ( )a (ассоциативность относительно умножения
на числа);
6) ( ) a a a (дистрибутивность умножения на
вектор относительно сложения чисел);
7) ( a b ) a b (дистрибутивность умножения на
число относительно сложения векторов);
8) 1a a .
9

10. 3. Понятия линейной зависимости и независимости. Базис

Векторы ā1, ā2, …, āk называют линейно зависимыми,
если существуют числа
1, 2, …, k , не все равные нулю и такие,
что линейная комбинация векторов
1 · ā1+ 2 · ā2+ …+ k · āk
равна нулевому вектору
ō.
Если равенство 1 · ā1+ 2 · ā2+ …+ k · āk = ō возможно
только когда все 1= 2= …= k=0, то векторы
ā1, ā2, …, āk называют линейно независимыми.
Теорема. Векторы ā1, ā2, …, āk линейно зависимы тогда
и только тогда, когда хотя бы один из них линейно
выражается через остальные .
10

11.

Пространство называется n-мерным, если в нем
существует система n линейно независимых векторов,
а любая система из n+1 вектора линейно зависима.
Максимальное число линейно независимых векторов
пространства называется базисом этого пространства.
То есть, векторы ā1, ā2, …, ān образуют базис в некотором
множестве векторов, если выполняются два условия:
1) ā1, ā2, …, ān – линейно независимы;
2) ā1, ā2, …, ān , ā – линейно зависимы для любого вектора
ā из этого множества.
11

12.

ЛЕММА (о базисе в V(1) , V(2) и V(3) ).
1) Базисом множества V(1) (одномерного
векторного пространства) является
любой ненулевой вектор.
2) Базисом множества V(2)
(двумерного векторного пространства
(плоскости)) являются любые два
неколлинеарных вектора.
3) Базисом множества V(3)
(трехмерного векторного пространства)
являются любые три
некомпланарных вектора.
12

13.

Критерий линейной зависимости 2-х и 3-х
ненулевых векторов).
1) Два ненулевых вектора линейно
зависимы тогда и только тогда, когда
они коллинеарны.
2) Три ненулевых вектора линейно
зависимы тогда и только тогда, когда
они компланарны.
ТЕОРЕМА (о базисе).
Каждый вектор
множества
V(3)
(V(2),V(1))
линейно
выражается через любой его базис,
причем единственным образом.
13

14. 4. Координаты вектора

Коэффициенты в разложении вектора по базису
называются координатами этого вектора
в данном базисе.
Прямую, на которой выбрано направление, называют
осью.
Пусть – ось,
AB – некоторый вектор,
A 1 и B 1 – ортогональные проекции
на ось точек A и B соответственно.
B
A
A1
B1
Вектор A1B1 назовем векторной проекцией вектора AB
на ось .
14

15.

Проекцией (ортогональной проекцией) вектора AB на ось
называется длина его векторной проекции│ A1B1 │
на эту ось, взятая со знаком плюс, если вектор A1B1 и ось
сонаправлены, и со знаком минус – если вектор A1B1
и ось противоположно направлены.
Обозначают: Пр AB , Пр AB .
Проекция вектора на ось – ЧИСЛО.
15

16. Система базисных векторов, исходящих из одной точки О (начала координат), называется АФФИННОЙ системой координат.

• ДЕКАРТОВОЙ системой координат
(ДСК) называется система единичных
попарно ортогональных векторов.
16

17. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ координат свободных векторов в декартовом прямоугольном базисе:

ТЕОРЕМА. Координаты вектора
ā V(2) (V(3))
в декартовом прямоугольном базисе i, j
(i, j, k)
есть проекции этого вектора
на соответствующие координатные
оси.
17

18.

ТЕОРЕМА.
1) Если вектор a имеет в базисе e1, e2 , e3 координаты
{ 1, 2 , 3}, вектор b имеет в том же базисе координаты { 1, 2 , 3} , то вектор a b будет иметь в базисе
e1 , e2 , e3 координаты
{ 1 1, 2 2 , 3 3} .
2) Если вектор a имеет в базисе e1, e2 , e3 координаты
{ 1, 2 , 3} , то для любого действительного числа
вектор a будет иметь в том же базисе координаты
{ 1, 2 , 3} .
Вывод: линейным операциям над векторами соответствуют
такие же операции над их координатами.
18

19.

ТЕОРЕМА (критерий коллинеарности свободных векторов в
координатной форме).
Векторы a { 1; 2 ; 3 } и b { 1; 2 ; 3 } коллинеарны
тогда и только тогда, когда их координаты –
пропорциональны, т.е.
1 2 3
k.
1 2 3
Причем, если коэффициент пропорциональности k > 0 ,
то векторы a и b – сонаправлены, а если k < 0 – то
противоположно направлены
19

20.

ТЕОРЕМА (связь координат вектора в разных базисах).
Пусть e1 , e2 , e3 и f1 , f2 , f3 два базиса в множестве V (3) .
Причем имеют место равенства:
f1 11e1 21e2 31e3 ,
f 2 12 e1 22 e2 32 e3 ,
f3 13 e1 23 e2 33 e3 .
Если вектор
a имеет в базисе e1, e2 , e3 (старом)
координаты { 1, 2 , 3} , а в базисе f1, f2 , f3 (новом) –
координаты { 1, 2 , 3} , то справедливо равенство
X c TX н ,
где
1
1
11
X c 2 , X н 2 , T 21
31
3
3
12 13
22 23
32 33
(матрицу
T , столбцами которой являются координаты
новых базисных векторов в старом базисе, называют
матрицей перехода от базиса e1 , e2 , e3 к базису f1, f2 , f3 ).
20

21. §7. Простейшие задачи векторной алгебры

Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова
прямоугольная система координат. Выберем во
множестве V(3) (V(2)) декартов прямоугольный базис
i, j, k (i, j).
ЗАДАЧА 1. Найти координаты вектора AB , если известны
декартовы координаты начала и конца вектора.
Вектор ОА называется радиусом-вектором точки А.
Координатами точки А называют координаты её радиусавектора.
y
O
A
B
x
21

22.

ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его
координаты в декартовом прямоугольном базисе.
y
B
ay
A
O
ax
C
x
ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты
его орта.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом вектора a называется вектор a0 ,
сонаправленный с вектором a и имеющий единичную
длину.
22

23. Геометрический смысл координат орта вектора

Будем обозначать через , и
углы, которые векторa
образует с координатными осями Ox , Oy и Oz
соответственно.
cos , cos , cos называются направляющими косинусами
a
вектора a0 .
a
0
0
1
x
x
B1
A1
Координаты орта вектора a0 являются его направляющими
косинусами.
Замечание. Так как a0 1 и a0 cos ; cos ; cos , то
cos 2 cos 2 cos 2 1 .
Это равенство называют основным тождеством для
23
направляющих косинусов вектора.

24.

ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти
координаты точки, которая делит отрезок в заданном
отношении.
Говорят, что точка M 0 делит отрезок M 1M 2
в отношении ( 1) , если M1M 0 M 0M 2 .
Если λ > 0 , то точка M0 лежит между точками M1 и M2. В этом
случае говорят, что точка M0 делит отрезок M1M2 во
внутреннем отношении.
Если λ < 0 , то точка M0 лежит на продолжении отрезка M1 M2.
В этом случае говорят, что точка M0 делит отрезок M1M2 во
внешнем отношении.
M1
r1
r0
O
M0
r2
M2
24

25. §8. Нелинейные операции на множестве векторов

1. Скалярное произведение векторов
2. Векторное произведение векторов
3. Смешанное произведение векторов
1. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых
векторов a и b называется число,
равное произведению их модулей на косинус
угла между ними, т.е. число a b cos .
Если a 0 или b 0 , то скалярное произведение векторов
a и b полагают равным нулю.
СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е.
(a, b ) (b, a )
25

26.

2) Скалярное произведение ненулевых векторов a и b равно
произведению длины вектора a на проекцию вектора b
на вектор a (длины вектора b на проекцию a на b ).
( a , b ) a Пр a b b Пр b a
Проекцией вектора a на вектор b
называется проекция вектора a на ось,
определяемую вектором b .
a
b
3) Числовой множитель любого из двух векторов можно
вынести за знак скалярного произведения. Т.е.
( a, b ) (a, b ) (a, b )
4) Если один из векторов записан в виде суммы,
то их скалярное произведение тоже можно
записать в виде суммы. Т.е.
(a1 a2 , b ) (a1, b ) (a2 , b )
(a, b1 b2 ) (a, b1) (a, b2 )
a1 a2
a1
a2
26
b

27.

5) Скалярное произведение вектора на себя (скалярный
квадрат вектора) равно квадрату его длины: ( a , a ) a
2
6) Ненулевые векторы a и b перпендикулярны тогда и
только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю
(критерий перпендикулярности векторов).
7) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы a
и b имеют координаты: a {ax ; ay ; az }, b {bx ;by ;bz } ,
то
(a, b ) axbx a yby azbz .
(1)
Формулу (1) называют выражением скалярного произведения
через декартовы координаты векторов.
8) Если под действием постоянной силы F точка перемещается по прямой из точки M 1 в M 2 , то работа силы F
будет равна A F, M1M 2
го произведения).
(физический смысл скалярно27

28. Скалярным произведением вычисляется:

28

29. 2. Векторное произведение векторов

Тройка векторов a , b и c называется
правой, если поворот от вектора a к
вектору b на меньший угол виден из конца
вектора c против хода часовой стрелки.
c
b
a
Правило правой руки. Если расположить четыре пальца
правой руки в сторону кратчайшего поворота
от вектора a к вектору b ,
то большой палец покажет расположение вектора c .
29

30.

Векторным произведением двух ненулевых векторов a и
называется вектор
удовлетворяющий
b
c,
следующим условиям:
1) | c | | a | | b | sin , где – угол между векторами a
и b;
2) вектор c ортогонален векторам a и b ;
3) тройка векторов a , b и c – правая.
Если хотя бы один из векторовa илиb нулевой, то их
векторное произведение полагают равным нулевому
вектору.
Обозначают [a, b] или a b .
30

31. СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

1) При перестановке векторов a и b их векторное
произведение меняет знак, т.е.
[a, b] [b, a ].
2) Числовой множитель любого из двух векторов можно
вынести за знак векторного произведения. Т.е.
[ a, b] [a, b] [a, b] .
[a, b] ( 0 )
[a, b]
a ( 0 )
b
a
[a, b]
b
a
a ( 0 )
[a, b] ( 031)

32.

3) Если один из векторов записан в виде суммы, то
векторное произведение тоже можно записать в виде
суммы. А именно:
[a1 a2 , b] [a1, b] [a2 , b] ,
[a, b1 b2 ] [a, b1 ] [a, b2 ] .
4) Ненулевые векторы a и b коллинеарные тогда и только
тогда, когда их векторное произведение равно нулевому
вектору (Критерий коллинеарности векторов).
5) Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов a и b равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах (Геометрический смысл векторного произведения).
32

33.

6) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы a и b
имеют координаты: a {ax ; ay ; az }, b {bx ;by ;bz } , то
i j k
a y az az ax ax a y
[a, b ]
;
;
ax a y az .
b
b
b
b
b
b
x
y
z
x
y z
bx by bz
7) (Механический смысл векторного произведения). Если
вектор F это сила, приложенная к точке M , то
векторное произведение OM, F представляет собой
момент силы F относительно точки O .
33

34. 3. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов a , b и c
называется число, равное скалярному произведению
вектора a на векторное произведение векторов b и c ,
т.е. ( a,[b, c ]) .
Обозначают: ( a, b, c ) или a bc .
СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ВЕКТОРОВ
1) При циклической перестановке векторов a , b , c их
смешанное произведение не меняется, т.е.
( a, b, c ) ( b, c, a ) ( c, a, b) .
34

35.

2) При перестановке любых двух соседних векторов их смешанное произведение меняет знак.
3) Числовой множитель любого из трех векторов можно
вынести за знак смешанного произведения. Т.е.
( a, b, c ) ( a, b, c ) ( a, b, c ) ( a, b, c ) .
4) Если один из векторов записан в виде суммы, то смешанное произведение тоже можно записать в виде суммы. А
именно: ( a1 a2 , b, c ) ( a1, b, c ) ( a 2 , b, c ) ,
( a, b1 b2 , c ) ( a, b1, c ) ( a, b2 , c ) ,
( a, b, c1 c2 ) ( a, b, c1 ) ( a, b, c2 ) .
35

36.

5) Ненулевые векторы a , b , c компланарны
тогда и только тогда, когда их
смешанное произведение равно нулю
(Критерий компланарности векторов).
[a , b ]
c
c
b
b
a
рис. 1
a
рис. 2
36

37.

6) Если ( a, b, c ) 0 , то векторы a , b , c образуют
правую тройку.
Если ( a, b, c ) 0 , то тройка векторов a , b , c – левая.
[a , b ]
[a , b ]
c
b
a
рис. 3
b
a
c
рис.4
37

38.

7) Модуль смешанного произведения некомпланарных
векторов a , b , c равен объему параллелепипеда,
построенного на этих векторах
(Геометрический смысл смешанного произведения).
[a , b ]
[a , b ]
b
c
a
b
c
a
рис. 5
рис. 6
38

39.

8) (Следствие свойства 7). Объем пирамиды, построенной на
1
векторах a , b , c равен
модуля их смешанного про6
изведения.
9) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы a , b ,
b {bx ;by ;bz } ,
c имеют координаты: a {ax ; ay ; az },
c {cx ;cy ;cz } , то
ax a y az
( a, b, c ) bx by bz .
cx c y cz
39