ВМ_1семестр_Л8_9

1. Лекция 8 Основы векторной алгебры (I)

2. Векторы (Vectors)

Опр. Вектором (геометрическим) (Euclidean)
называется
отрезок,
концы
которого
упорядочены. Первый из его концов называется
началом, второй – концом вектора.
Опр. Нулевой вектор (zero vector) - вектор, у
которого начало и конец совпадают:
0

3.

Опр. Модуль (длина) вектора – это расстояние
между его началом и концом:
a , MN .
Опр. Единичный вектор (unit vector): | e | 1.
Опр. Коллинеарные (collinear) векторы – векторы,
лежащие на одной прямой или на параллельных
прямых.
a
b
a
b
,
a || b,
a : a ||0.

4.

Опр. Компланарные (coplanar) векторы – векторы,
лежащие в одной плоскости или в параллельных
плоскостях.
Опр. Равные векторы:
a b a b a b .
Векторы бывают свободными, скользящими и
связанными.

5. Линейные операции над геометрическими векторами

1. Сложение векторов

6.

2. Умножение вектора на число:
b a b a 0 b a 0
b a , R.
3. Деление вектора на число:
a
1
b , 0 b a, 0 .

7. Свойства линейных операций над векторами

4. Вычитание векторов:
c a b c a ( 1) b .
Свойства линейных операций над векторами
4. a 0 a : a a 0
3. a 0 a
5. a a a , , R
6. a a a 7. a b a b.
1. a b b a
2. a b c a b c
Упр. Доказать любые три свойства.

8.

Опр. Линейная комбинация векторов (linear
combination of vectors):
n
a a a ... a , R
i 1
i
i
1 1
2
2
n
n
i
где αi – коэффициенты ЛК.
Опр. Линейно независимая (ЛНЗ) система
векторов {ai} (i=1,..,n):
i ai 0 i 0 i 1, n
i 1
n

9.

Опр. Линейно зависимая (ЛЗ) система векторов
{ i , i 1, n
n
2
i 0}: i ai 0
i 1
i 1
n
Т. Если векторы a1, a2,…, an ЛЗ, то хотя бы один из
них может быть представлен в виде ЛК остальных.
Доказательство.
n
1 0 : i ai 0 1 a1 i ai
i 1
i 2
n
i
a1 ai .
i 2 1
n

10.

Опр. Разложение вектора b по системе
векторов {ai}
n
i , i 1, n
: b i ai .
i 1
n
Т. b i ai единственно
i 1
a , i 1, n ЛНЗ .
Т. a , i 1, n ЛЗ a
a .
i
i
j
i j
i
i

11.

2. a , a , a ЛЗ a , a , a компланарны ;
Следствия. 1. a1 , a2 ЛЗ a1 || a2 ;
1
2
3
1
2
3
3. a1 , a2 , a3 , a4 ЛЗ.
Упр. Доказать п.1 следствия.
Опр. Множество векторов, замкнутое относительно
линейных операций над ними, называется
векторным пространством (vector space) Vn,
Rn. Характеризуется размерностью (dimension) n.

12.

Базис в векторном пространстве
Опр. Базисом (basis) в R3 называется
упорядоченная система ЛНЗ векторов {ei}, i=1,2,3
такая, что любой вектор может быть представлен в
виде ЛК этих векторов:
a a1 e1 a2 e2 a3 e3
( )
Опр.
Коэффициенты
разложения
(*)
называются координатами (coordinates) или
компонентами вектора в данном базисе :
a (a1 , a2 , a3 ).

13.

Т. В R1 базис – любой ненулевой вектор:
в R2 – любые два неколлинеарные вектора;
в R3 - любые три некомпланарные вектора.

14.

Выражение операций над векторами
через их координаты
Т. Пусть векторы заданы в одном базисе. Тогда
a b (a b , a b , a b ) ;
2. a (a , a , a ), R
a ( a , a , a ) .
1. a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 )
1
1
1
2
2
2
3
3
1
2
3
3

15.

Доказательство (1).
a a1 e1 a2 e2 a3 e3 ,
b b1 e1 b2 e2 b3 e3
a b a1 e1 a2 e2 a3 e3
b1 e1 b2 e2 b3 e3
a1 b1 e1 a2 b2 e2 a3 b3 e3
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ).

16.

Следствие. Условие коллинеарности векторов
a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ).
ai
a || b 0 :
.
bi
Утв. Условие компланарности векторов a, b, c:
a1 a2
a, b, c компланарны b1 b2
c1 c2
a3
b3 0.
c3

17.

П. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис
трехмерного пространства и найти координаты
вектора d в этом базисе.
a (4;1; 4); b ( 2; 1;1);
c (3;1;5); d ( 3; 2;1).
4 1 4 4 1 4
2 5
2 1 1 2 0 5 1
7 0.
1 1
3 1 5 1 0 1

18.

Так как Δ≠ 0,то векторы образуют базис. Тогда
d a b c
3
4
2
3
2 1 1 1
1
4
1
5
4 2 3 3
1
1 1 1 2 2 d
4 1 5 1
1
d a 2b c .

19.

Системы координат
Опр. Декартовой системой координат (ДСК)
(Cartesian
coordinate
system)
называется
совокупность точки начала отсчета (начала
координат) и некоторого базиса.
OM xe1 ye2 ze3

20.

Утв. Декартовы координаты вектора
AB xB xA ; yB y A ; zB z A .
Упр. Доказать утверждение.
Опр. Орт вектора (normalized vector):
a
a
.
|a|
0
Опр. Ортонормированный (orthonormal) базис
(ОНБ) – базис, векторы которого единичны и
попарно ортогональны.

21.

ПДСК
Опр. ДСК с ОНБ – прямоугольная декартова
система координат (ПДСК).
| i | | j | | k | 1;
i j k i.
r xi y j zk .
1
0
0
i 0 , j 1 , k 0 .
0
0
1

22.

Полярная СК (ПСК), Polar coordinate
system
Polar axe – полярная ось
Polar angle – полярный
угол
0 r ;
0 2 ;
x r cos ,
y r sin .

23.

Цилиндрическая СК (ЦСК), Cylindrical
coordinate system
0 r
0 2
z
x r cos ,
y r sin ,
z z.

24.

Сферическая СК (ССК), Spherical
coordinate system
0 r
0 2
0
x r sin cos ,
y r sin sin ,
z r cos .

25. Лекция 9 Основы векторной алгебры (II)

26. Скалярное произведение векторов

A F S cos
Опр. Скалярное произведение (dot product, scalar
product) векторов:
.
a, b a b a b cos
def

27. Свойства скалярного произведения

3. a, b 0 a b a 0 b 0 ;
4. a b, c a, c b, c ;
2
1. a, b b, a ; 2. a, a a ;
1, if i j
5. {ei } ОНБ (ei , e j ) ij
0, else
.
Упр. Доказать свойства 2-4.

28.

Т. (выражение СП через координаты). В ОНБ
a, b a b a b a b ,
1 1
где
2 2
3 3
a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ).
Доказательство
a, b a i a j a k , b
1
2
3
.
a1 (i, b) a2 ( j, b) a3 (k , b)
a1b1 a2b2 a3b3 .

29.

Следствие. В ОНБ
| a | a a a .
2
1
2
2
2
3
a, b
cos
a b
a1b1 a2b2 a3b3
.
a a a b b b
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
Ортогональные векторы a, b 0.

30.

Проекция вектора а на прямую, заданную
вектором l
a, l
a, l
Pr a | a | cos | a |
.
l
a1l1 a2 l2 a3l3
l l l
2
1
2
2
2
3
|l | | a |
|l |

31.

Проекции вектора а на оси ПДСК:
a, i
Pr a
a | a | cos ;
i
1
|i|
Pr j a a2 | a | cos ; Prk a a3 | a | cos .
Опр. Направляющие косинусы (direction
cosines) вектора – косинусы углов между
вектором и ортами ПДСК:
.
a
|a|
(cos , cos , cos )

32.

.
cos cos cos 1.
2
2
2

33.

П. Дано |a|=1, |b|=3, угол между ними φ=π/3.
Вычислить
2a b 3a 2b .
2a b 3a 2b 6a a 4a b 3b a 2b b
2
2
6 a a b 2 b
2
2
6 a a b cos 2 b
.
6 1 1 3 cos
2
3
2 3
2
1
21
2
6 1 1 3 2 3 .
2
2
2

34. Векторное произведение векторов

Опр. Векторным произведением (cross product)
векторов a и b называется вектор c,
удовлетворяющий следующим условиям:
1. c a c b
2. с a b sin(a, b)
3. {a, b, c} правая тройка векторов.
c a b или c [a,b]

35. Правая тройка векторов

Опр. Правый базис (right handed basis) –
кратчайший поворот от первого вектора ко
второму виден из конца третьего вектора
против часовой стрелки (CCW).

36. Свойства векторного произведения

1. a, b b, a ;
2. a, b 0 a b a 0 b 0 ;
3. a b, c a, c b, c ;
a, b c a , b a, c ;
.
4. a, b a, b a, b , R.
Упр. Доказать свойства 1-4.

37.

Т. (выражение ВП через координаты). В ПДСК
a ax i a y j a z k
b bx i by j bz k ,
тогда
i
a, b a x
bx
.
j
ay
by
k
az
bz

38. Геометрический и физический смысл ВП

a b a b sin ;
Sпараллелогр. a b ;
.
1
S тр-ка. a b ;
2
MO F r F

39.

П. Даны координаты вершин треугольника
АВС: А (1, 1, 1), В (2, 3, 4), С (4, 3, 2). Найти его
площадь.
AB (2 1; 3 1; 4 1) (1; 2;3);
AC (3, 2, 1);
1
S ABC AB AС ;
2
i j k
.
AB AC 1 2 3
3 2 1

40.

i (2 6) j (1 9) k (2 6) ( 4, 8, 4);
1
2
2
2
S ABC ( 4) 8 ( 4)
2
96
2
2 6 (ед ).
2
Упр.
.

41.

П. Найти площадь параллелограмма, построенного
на векторах a+2b и 2a+b, если а и b – единичные
векторы, угол между которыми π/3.
a 2b 2a b
a 2a b 2b 2a b
2a a a b 4a b 2b b
.
0 3a b 0 3b a.

42.

S 3b a 3 b a sin
3 3
2
ед .
3 1 1 sin
2
3
Упр.
.

43. Смешанное произведение векторов

Опр. Смешанным произведением (scalar triple
product) векторов a и b называется число:
(a ,[b , c ]).
Обозначение: (a, b, c),
abc.
Свойства смешанного произведения
1. (a, b, c) (b, c, a) (c, a, b);
2. (a, b, c) (b, a, c)
(b, c, a) (c, b, a) ...

44.

3. ( a, b, c) (a, b, c) (a, b, c);
4. (a1 a2 , b, c) (a1 , b, c) (a2 , b, c);
(a, b1 b2 , c) (a, b1 , c) (a, b2 , c);
(a, b, c1 c2 ) (a, b, c1 ) (a, b2 , c2 );
a 0 b 0 c 0 .
5. a, b, c 0 a, b, c компланарны
.
Упр. Доказать свойства 1-4.

45.

Критерий компланарности ненулевых
векторов
([a, b], c) 0
(a, b, c) 0
.

46.

Критерий правой / левой тройки
([a, b], c) 0
(a, b, c) 0.
.
([a, b], c) 0
(a, b, c) 0.

47. Геометрический смысл смешанного произведения

Vпаралл да Sh
[ a, b] h
.
[a, b] c cos (a, b, c) .
1
Vтетраэдра (a, b, c) .
6

48.

Т. (выражение СмП через координаты). В ПДСК
ax
(a, b, c) bx
cx
ay
by
cy
az
bz
cz
В любом базисе
a1
(a, b, c) b1
c1
.
a2
b2
c2
a3
b3 (e1 , e2 , e3 ).
c3

49.

Упр.
.